資源簡介

模塊綜合檢測
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.直線3x＋y－4＝0的斜率和在y軸上的截距分別是（　　）
A.－3，4　　B.3，－4　　C.－3，－4　　D.3，4
2.經過圓x2＋y2－2x＝0的圓心，且與直線x＋y＝0平行的直線方程是（　　）
A.x＋y－1＝0　　B.x＋y＋1＝0　　C.x－y－1＝0　　D.x－y＋1＝0
3.雙曲線－＝1的焦距是（　　）
A.2　　B.8　　C.4　　D.4
4.過點P（－2，4）作圓C：（x－2）2＋（y－1）2＝25的切線l，直線m： ax－3y＝0與切線l平行，則切線l與直線m間的距離為（　　）
A.4　　B.2　　C.　　D.
5.已知F是拋物線y2＝4x的焦點，過點F且斜率為的直線交拋物線于A，B兩點，則｜FA－FB｜的值為（　　）
A.　　B.　　C.　　D.
6.等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數列，則數列{an}的公比為（　　）
A.1　　B.3　　C.　　D.
7.中國明代商人程大位對文學和數學頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統宗》.這是一本風行東亞的數學名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現代文為：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，他們分得的米數構成等差數列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？請你計算甲應該分得（　　）
A.78石　　B.76石　　C.75石　　D.74石
8.已知a＝0.9，b＝，c＝1＋ln 0.9，則a，b，c的大小關系正確的是（　　）
A.c＞b＞a　　B.a＞b＞c　　C.b＞a＞c　　D.b＞c＞a
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.等差數列{an}是遞增數列，滿足a7＝3a5，前n項和為Sn，下列選項正確的是（　　）
A.d＞0　　B.a1＜0
C.當n＝5時Sn最小　　D.Sn＞0時n的最小值為8
10.已知P是橢圓E：＋＝1上一點，F1，F2為其左、右焦點，且△F1PF2的面積為3，則下列說法正確的是（　　）
A.P點縱坐標為3　　 B.∠F1PF2＞90°
C.△F1PF2的周長為4（＋1）　　 D.△F1PF2的內切圓半徑為（－1）
11.設函數f（x）＝，則下列選項正確的是（　　）
A.f（x）為奇函數　　 B.f（x）的圖象關于點（0，1）對稱
C.f（x）的最大值為＋1　　 D.f（x）的最小值為－＋1
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.已知點C在直線l：x＝－1上，點F（1，0），以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為　　　　.
13.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S4＝4S2.
（1）數列{an}的通項公式為an＝　　　　；
（2）若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180（m∈N*），則m＝　　　　.
14.如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線E的一部分，設該雙曲線E的方程為－＝1（a＞0，b＞0），右焦點為F，過點F的直線l與雙曲線E的右支交于B，C兩點，且CF＝3FB，點B關于原點O的對稱點為點A，若·＝0，則雙曲線E的離心率為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知直線l經過兩條直線2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點，且與直線x＋y－2＝0垂直.
（1）求直線l的方程；
（2）若圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為2，求圓C的標準方程.
16.（本小題滿分15分）已知函數f（x）＝x3＋6ln x，f'（x）為f（x）的導函數.
（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數g（x）＝f（x）－f'（x）＋的單調區間和極值.
17.（本小題滿分15分）已知橢圓G：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點為（2，0），斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（－3，2）.
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△PAB的面積.
18.（本小題滿分17分）已知函數f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x.
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當a＜0時，證明f（x）≤－－2.
19.（本小題滿分17分）設滿足以下兩個條件的有窮數列a1，a2，a3，…，an為n（n＝2，3，4，…）階“期待數列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0，②｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝1.
（1）若等比數列{an}為2k（k∈N*）階“期待數列”，求公比q；
（2）若一個等差數列{an}既為2k（k∈N*）階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
（3）記n階“期待數列”{ai}的前k項和為Sk（k＝1，2，3，…，n），求證：｜Sk｜≤.
模塊綜合檢測
1.A　直線3x＋y－4＝0的斜率為－3，在y軸上的截距為4.
2.A　圓x2＋y2－2x＝0可化為（x－1）2＋y2＝1，其圓心為（1，0）.設與直線x＋y＝0平行的直線方程為x＋y＋C＝0（C≠0），將（1，0）代入，得C＝－1，∴直線方程為x＋y－1＝0.
3.B　依題意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4.所以焦距2c＝8.
4.A　根據題意，知點P在圓C上，∴切線l的斜率k＝－＝＝，∴切線l的方程為y－4＝（x＋2），即4x－3y＋20＝0.又直線m與切線l平行，∴直線m的方程為4x－3y＝0.故切線l與直線m間的距離d＝＝4.
5.A　直線AB的方程為y＝（x－1），由得3x2－10x＋3＝0，故x1＝3，x2＝，所以｜FA－FB｜＝｜x1－x2｜＝，故選A.
6.C　設公比為q，則S1＝a1，S2＝a1＋a1q，S3＝a1＋a1q＋a1q2，由等差中項公式得：4S2＝S1＋3S3，代入消掉a1可得3q2－q＝0，解得q＝或q＝0（舍）.故選C.
7.A　有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，設他們分得的米數構成等差數列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，則前3項和S3＝3a1＋×（－18）＝180，解得a1＝78.所以甲應該分得78石.
8.C　設f（x）＝ex－x－1，則f'（x）＝ex－1，當x＜0時，f'（x）＝ex－1＜0，則f（x）在區間（－∞，0）上單調遞減.又f（0）＝0，所以當x＜0時，f（x）＝ex－x－1＞0恒成立.即當x＜0時，ex＞x＋1恒成立.則e－0.1＞－0.1＋1＝0.9，即b＞0.9＝a.設g（x）＝ln x－x＋1（x＞0），則g'（x）＝－1＝，當0＜x＜1時，g'（x）＞0，即g（x）在區間（0，1）上單調遞增；當x＞1時，g'（x）＜0，即g（x）在區間（1，＋∞）上單調遞減.所以當0＜x＜1時，g（x）＜g（1）＝ln 1－1＋1＝0恒成立.即當0＜x＜1時，ln x＜x－1恒成立.則ln 0.9＜0.9－1＝－0.1，所以c＝ln 0.9＋1＜－0.1＋1＝0.9＝a.所以c＜a＜b.
9.ABD　設等差數列{an}的公差為d，因為a7＝3a5，可得a1＋6d＝3（a1＋4d），解得a1＝－3d，又由等差數列{an}是遞增數列，可知d＞0，則a1＜0，故A、B正確；因為Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，當n＝3或n＝4時Sn最小，故C錯誤；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7，即Sn＞0時n的最小值為8，故D正確.故選A、B、D.
10.CD　由橢圓方程，可知a＝2，b＝2，c＝2.由＝3可得3＝·F1F2·｜yP｜，故｜yP｜＝，故A錯誤；把｜yP｜＝代入橢圓方程，可求得＝.∴·＝（－2－xP，－yP）·（2－xP，－yP）＝＋－4＝＋－4＞0，故∠F1PF2＜90°，故B錯誤；△F1PF2的周長為PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋4，故C正確；＝·（PF1＋PF2＋F1F2）·R＝3，∴R＝（－1），故D正確.
11.BCD　f（x）＝＋1，不滿足f（－x）＝－f（x），故A項錯誤；令g（x）＝，則g（－x）＝＝＝－g（x），所以g（x）為奇函數，則f（x）關于點（0，1）對稱，B項正確；設f（x）＝＋1的最大值為M，則g（x）的最大值為M－1，設f（x）＝＋1的最小值為N，則g（x）的最小值為N－1，當x＞0時，g（x）＝，所
以g'（x）＝，當0＜x＜1時，g'（x）＞0，當x＞1時，g'（x）＜0，所以當0＜x＜1時，g（x）單調遞增，當x＞1時，g（x）單調遞減，所以g（x）在x＝1處取得最大值，最大值為g（1）＝，由于g（x）為奇函數，所以g（x）在x＝－1處取得最小值，最小值為g（－1）＝－，所以f（x）的最大值為M＝＋1，最小值為N＝－＋1，故C、D項正確.故選B、C、D.
12.（x＋1）2＋（y－）2＝1　解析：由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切，可得點C的橫坐標為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°.又因為∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以OA＝，所以點C的縱坐標為，所以圓的方程為（x＋1）2＋（y－）2＝1.
13.（1）2n－1　（2）5　解析：（1）設等差數列{an}的公差為d，由S4＝4S2得，4a1＋6d＝8a1＋4d，整理得d＝2a1.又∵a1＝1，∴d＝2，∴an＝a1＋（n－1）d＝2n－1（n∈N*）.
（2）∵an＝2n－1，∴am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180可化為10am＋45d＝20m＋80＝180，解得m＝5.
14.　解析：如圖所示，設雙曲線E的左焦點為點F'，連接CF'，AF'，BF'，設BF＝m，則CF＝3m，由雙曲線的定義可得BF'＝2a＋m，CF'＝2a＋3m，由于·＝0，則AF⊥BF，又OA＝OB，OF＝OF'，則四邊形AFBF'為矩形，在Rt△BCF'中，由勾股定理得CF'2＝BC2＋BF'2，即（2a＋3m）2＝16m2＋（2a＋m）2，解得m＝a，∴BF＝a，BF'＝3a，在Rt△FBF'中，由勾股定理得BF2＋BF'2＝FF'2，即a2＋9a2＝4c2，∴＝，∴e＝.
15.解：（1）由解得兩直線交點為（2，1），
∵l與x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.
又∵l過點（2，1），
∴l的方程為y－1＝x－2即x－y－1＝0.
（2）設圓C的標準方程為（x－a）2＋y2＝r2（a＞0），則解得a＝3，r＝2.
∴圓C的標準方程為（x－3）2＋y2＝4.
16.解：（1）f（x）＝x3＋6ln x，故f'（x）＝3x2＋.可得f（1）＝1，f'（1）＝9，
所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y－1＝9（x－1），即y＝9x－8.
（2）依題意，g（x）＝x3－3x2＋6ln x＋，x∈（0，＋∞）.
從而可得g'（x）＝3x2－6x＋－，整理可得g'（x）＝.
令g'（x）＝0，解得x＝1.
當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如表：
x （0，1） 1 （1，＋∞）
g'（x） － 0 ＋
g（x） ↘ 極小值 ↗
所以函數g（x）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，＋∞）；g（x）的極小值為g（1）＝1，無極大值.
17.解：（1）由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以橢圓G的方程為＋＝1.
（2）設直線l的方程為y＝x＋m.
由
消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ①
設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB中點為E（x0，y0），
則x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；
因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此時方程①為4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.
所以A（－3，－1），B（0，2）.所以AB＝3.
此時，點P（－3，2）到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝，
所以△PAB的面積S＝AB·d＝.
18.解：（1）f（x）的定義域為（0，＋∞），
f'（x）＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，則當x∈（0，＋∞）時，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，＋∞）上是增函數.
若a＜0，則當x∈時，f'（x）＞0；
當x∈時，f'（x）＜0.
故f（x）在上單調遞增，在（－，＋∞）上單調遞減.
（2）證明：由（1）知，當a＜0時，f（x）在x＝－處取得最大值，最大值為f＝ln－1－.
所以f（x）≤－－2等價于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.
設g（x）＝ln x－x＋1，則g'（x）＝－1.
當x∈（0，1）時，g'（x）＞0；當x∈（1，＋∞）時，g'（x）＜0.所以g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減.
故當x＝1時，g（x）取得極大值且為最大值，最大值為g（1）＝0.
所以當x＞0時，g（x）≤0.
從而當a＜0時，ln＋＋1≤0，
即f（x）≤－－2.
19.解：（1）若q≠1，則由①a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝＝0，
由a1≠0，所以1－q2k＝0，得q＝－1，
由②得a1＝或a1＝－，滿足題意.
若q＝1，由①得，a1·2k＝0，得a1＝0，不合題意，舍去.
綜上所述q＝－1.
（2）設等差數列a1，a2，a3，…，a2k（k∈N*）的公差為d（d＞0）.
因為a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝0，所以＝0.
所以a1＋a2k＝ak＋ak＋1＝0.
因為d＞0，所以由ak＋ak＋1＝0，得ak＜0，ak＋1＞0.
由題中的①②得a1＋a2＋a3＋…＋ak＝－，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k＝，
兩式相減得k2·d＝1，即d＝.
又a1k＋d＝－，得a1＝.
所以an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）·＝.
（3）證明：記a1，a2，a3，…，an中非負項和為A，負項和為B.
則A＋B＝0，A－B＝1，得A＝，B＝－.
因為－＝B≤Sk≤A＝，所以｜Sk｜≤.
3 / 3(共40張PPT)
模塊綜合檢測
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 直線3 x ＋ y －4＝0的斜率和在 y 軸上的截距分別是（　　）
A. －3，4 B. 3，－4
C. －3，－4 D. 3，4
解析：　直線3 x ＋ y －4＝0的斜率為－3，在 y 軸上的截距為4.
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2. 經過圓 x2＋ y2－2 x ＝0的圓心，且與直線 x ＋ y ＝0平行的直線方程
是（　　）
A. x ＋ y －1＝0 B. x ＋ y ＋1＝0
C. x － y －1＝0 D. x － y ＋1＝0
解析：　圓 x2＋ y2－2 x ＝0可化為（ x －1）2＋ y2＝1，其圓心為
（1，0）.設與直線 x ＋ y ＝0平行的直線方程為 x ＋ y ＋ C ＝0（ C
≠0），將（1，0）代入，得 C ＝－1，∴直線方程為 x ＋ y －1＝0.
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3. 雙曲線 － ＝1的焦距是（　　）
B. 8
C. 4
解析：　依題意知， a2＝ m2＋12， b2＝4－ m2，所以 c ＝
＝ ＝4.所以焦距2 c ＝8.
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4. 過點 P （－2，4）作圓 C ：（ x －2）2＋（ y －1）2＝25的切線 l ，
直線 m ： ax －3 y ＝0與切線 l 平行，則切線 l 與直線 m 間的距離為
（　　）
A. 4 B. 2
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解析： 　根據題意，知點 P 在圓 C 上，∴切線 l 的斜率 k ＝－
＝ ＝ ，∴切線 l 的方程為 y －4＝ （ x ＋2），即4 x －3 y ＋20
＝0.又直線 m 與切線 l 平行，∴直線 m 的方程為4 x －3 y ＝0.故切線
l 與直線 m 間的距離 d ＝ ＝4.
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5. 已知 F 是拋物線 y2＝4 x 的焦點，過點 F 且斜率為 的直線交拋物
線于 A ， B 兩點，則｜ FA － FB ｜的值為（　　）
解析：　直線 AB 的方程為 y ＝ （ x －1），由
得3 x2－10 x ＋3＝0，故 x1＝3， x2＝ ，所以｜ FA － FB ｜＝｜ x1－
x2｜＝ ，故選A.
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6. 等比數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，已知 S1，2 S2，3 S3成等差數列，則
數列{ an }的公比為（　　）
A. 1 B. 3
解析： 　設公比為 q ，則 S1＝ a1， S2＝ a1＋ a1 q ， S3＝ a1＋ a1 q ＋
a1 q2，由等差中項公式得：4 S2＝ S1＋3 S3，代入消掉 a1可得3 q2－ q
＝0，解得 q ＝ 或 q ＝0（舍）.故選C.
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7. 中國明代商人程大位對文學和數學頗感興趣，他于60歲時完成杰作
《直指算法統宗》.這是一本風行東亞的數學名著，該書第五卷有
問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云
甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現代文為：今有白米
一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，他們分得的米數構成等差數
列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？請你
計算甲應該分得（　　）
A. 78石 B. 76石
C. 75石 D. 74石
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解析： 　有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，設他們分
得的米數構成等差數列{ an }，只知道甲比丙多分三十六石，因此公
差 d ＝ ＝ ＝－18，則前3項和 S3＝3 a1＋ ×（－18）＝
180，解得 a1＝78.所以甲應該分得78石.
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8. 已知 a ＝0.9， b ＝ ， c ＝1＋ln 0.9，則 a ， b ， c 的大小關系正
確的是（　　）
A. c ＞ b ＞ a B. a ＞ b ＞ c
C. b ＞ a ＞ c D. b ＞ c ＞ a
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解析： 　設 f （ x ）＝e x － x －1，則f'（ x ）＝e x －1，當 x ＜0時，
f'（ x ）＝e x －1＜0，則 f （ x ）在區間（－∞，0）上單調遞減.又 f
（0）＝0，所以當 x ＜0時， f （ x ）＝e x － x －1＞0恒成立.即當 x
＜0時，e x ＞ x ＋1恒成立.則e－0.1＞－0.1＋1＝0.9，即 b ＞0.9＝
a .設 g （ x ）＝ln x － x ＋1（ x ＞0），則g'（ x ）＝ －1＝ ，當
0＜ x ＜1時，g'（ x ）＞0，即 g （ x ）在區間（0，1）上單調遞增；
當 x ＞1時，g'（ x ）＜0，即 g （ x ）在區間（1，＋∞）上單調遞
減.所以當0＜ x ＜1時， g （ x ）＜ g （1）＝ln 1－1＋1＝0恒成立.
即當0＜ x ＜1時，ln x ＜ x －1恒成立.則ln 0.9＜0.9－1＝－0.1，所
以 c ＝ln 0.9＋1＜－0.1＋1＝0.9＝ a .所以 c ＜ a ＜ b .
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對
的得部分分，有選錯的得0分）
9. 等差數列{ an }是遞增數列，滿足 a7＝3 a5，前 n 項和為 Sn ，下列選
項正確的是（　　）
A. d ＞0
B. a1＜0
C. 當 n ＝5時 Sn 最小
D. Sn ＞0時 n 的最小值為8
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解析： 　設等差數列{ an }的公差為 d ，因為 a7＝3 a5，可得 a1
＋6 d ＝3（ a1＋4 d ），解得 a1＝－3 d ，又由等差數列{ an }是遞增
數列，可知 d ＞0，則 a1＜0，故A、B正確；因為 Sn ＝ n2＋
n ＝ n2－ n ，由 n ＝－ ＝ 可知，當 n ＝3或 n ＝4時 Sn 最
小，故C錯誤；令 Sn ＝ n2－ n ＞0，解得 n ＜0或 n ＞7，即 Sn ＞0
時 n 的最小值為8，故D正確.故選A、B、D.
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10. 已知 P 是橢圓 E ： ＋ ＝1上一點， F1， F2為其左、右焦點，且
△ F1 PF2的面積為3，則下列說法正確的是（　　）
A. P 點縱坐標為3
B. ∠ F1 PF2＞90°
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解析： 由橢圓方程，可知 a ＝2 ， b ＝2， c ＝2.由
＝3可得3＝ · F1 F2·｜ yP ｜，故｜ yP ｜＝ ，故A錯誤；把｜ yP ｜
＝ 代入橢圓方程，可求得 ＝ .∴ · ＝（－2－ xP ，－
yP ）·（2－ xP ，－ yP ）＝ ＋ －4＝ ＋ －4＞0，故∠ F1 PF2
＜90°，故B錯誤；△ F1 PF2的周長為 PF1＋ PF2＋ F1 F2＝2 a ＋2 c
＝4 ＋4，故C正確； ＝ ·（ PF1＋ PF2＋ F1 F2）· R ＝
3，∴ R ＝ （ －1），故D正確.
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11. 設函數 f （ x ）＝ ，則下列選項正確的是（　　）
A. f （ x ）為奇函數
B. f （ x ）的圖象關于點（0，1）對稱
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解析： 　 f （ x ）＝ ＋1，不滿足 f （－ x ）＝－ f
（ x ），故A項錯誤；令 g （ x ）＝ ，則 g （－ x ）＝
＝ ＝－ g （ x ），所以 g （ x ）為奇函數，則 f （ x ）關于點
（0，1）對稱，B項正確；設 f （ x ）＝ ＋1的最大值為 M ，則 g （ x ）的最大值為 M －1，設 f （ x ）＝ ＋1的最小值為 N ，則 g （ x ）的最小值為 N －1，
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當 x ＞0時， g （ x ）＝ ，所以g'（ x ）＝ ，當0＜ x ＜1時，g'（ x ）
＞0，當 x ＞1時，g'（ x ）＜0，所以當0＜ x ＜1時， g （ x ）單調遞增，
當 x ＞1時， g （ x ）單調遞減，所以 g （ x ）在 x ＝1處取得最大值，最
大值為 g （1）＝ ，由于 g （ x ）為奇函數，所以 g （ x ）在 x ＝－1處
取得最小值，最小值為 g （－1）＝－ ，所以 f （ x ）的最大值為 M ＝
＋1，最小值為 N ＝－ ＋1，故C、D項正確.故選B、C、D.
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解析：由圓心 C 在 l 上，且圓 C 與 y 軸正半軸相切，可得點 C 的橫
坐標為－1，圓的半徑為1，∠ CAO ＝90°.又因為∠ FAC ＝
120°，所以∠ OAF ＝30°，所以 OA ＝ ，所以點 C 的縱坐標
為 ，所以圓的方程為（ x ＋1）2＋（ y － ）2＝1.
（ x
＋1）2＋（ y － ）2＝1　
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13. 已知等差數列{ an }的前 n 項和為 Sn ， a1＝1， S4＝4 S2.
（1）數列{ an }的通項公式為 an ＝ ；
解析： 設等差數列{ an }的公差為 d ，由 S4＝4 S2得，4
a1＋6 d ＝8 a1＋4 d ，整理得 d ＝2 a1.又∵ a1＝1，∴ d ＝2，
∴ an ＝ a1＋（ n －1） d ＝2 n －1（ n ∈N*）.
（2）若 am ＋ am＋1＋ am＋2＋…＋ am＋9＝180（ m ∈N*），則 m
＝ .
解析： ∵ an ＝2 n －1，∴ am ＋ am＋1＋ am＋2＋…＋ am＋9
＝180可化為10 am ＋45 d ＝20 m ＋80＝180，解得 m ＝5.
2 n －1　
5　
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14. 如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具
有玲瓏剔透之美，充分體現唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代
金銀細工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線
E 的一部分，設該雙曲線 E 的方程為 － ＝1（ a ＞0， b ＞
0），右焦點為 F ，過點 F 的直線 l 與雙曲線 E 的右支交于 B ， C 兩
點，且 CF ＝3 FB ，點 B 關于原點 O 的對稱點為點 A ，若 · ＝
0，則雙曲線 E 的離心率為 .
　
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解析：如圖所示，設雙曲線 E 的左焦點為點
F'，連接CF'，AF'，BF'，設 BF ＝ m ，則 CF
＝3 m ，由雙曲線的定義可得BF'＝2 a ＋ m ，
CF'＝2 a ＋3 m ，由于 · ＝0，則 AF ⊥
BF ，又 OA ＝ OB ， OF ＝OF'，則四邊形AFBF'為矩形，在Rt△BCF'中，由勾股定理得CF'2＝ BC2＋BF'2，即（2 a ＋3 m ）2＝16 m2＋（2 a ＋ m ）2，解得 m ＝ a ，∴ BF ＝ a ，BF'＝3 a ，在Rt△FBF'中，由勾股定理得 BF2＋BF'2＝FF'2，即 a2＋9 a2＝4 c2，∴ ＝ ，∴ e ＝ .
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知直線 l 經過兩條直線2 x － y －3＝0和4 x －
3 y －5＝0的交點，且與直線 x ＋ y －2＝0垂直.
（1）求直線 l 的方程；
解：由解得兩直線交點為（2，1），
∵ l 與 x ＋ y －2＝0垂直，∴ kl ＝1.
又∵ l 過點（2，1），
∴ l 的方程為 y －1＝ x －2，即 x － y －1＝0.
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（2）若圓 C 過點（1，0），且圓心在 x 軸的正半軸上，直線 l 被該
圓所截得的弦長為2 ，求圓 C 的標準方程.
解：設圓 C 的標準方程為（ x － a ）2＋ y2＝ r2（ a ＞
0），則解得 a ＝3， r ＝2.
∴圓 C 的標準方程為（ x －3）2＋ y2＝4.
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16. （本小題滿分15分）已知函數 f （ x ）＝ x3＋6ln x ，f'（ x ）為 f
（ x ）的導函數.
（1）求曲線 y ＝ f （ x ）在點（1， f （1））處的切線方程；
解：f （ x ）＝ x3＋6ln x ，故f'（ x ）＝3 x2＋ .可得 f
（1）＝1，f'（1）＝9，
所以曲線 y ＝ f （ x ）在點（1， f （1））處的切線方程為 y －
1＝9（ x －1），即 y ＝9 x －8.
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（2）求函數 g （ x ）＝ f （ x ）－f'（ x ）＋ 的單調區間和極值.
解：依題意， g （ x ）＝ x3－3 x2＋6ln x ＋ ， x ∈（0，＋∞）.
從而可得g'（ x ）＝3 x2－6 x ＋ － ，整理可得g'（ x ）＝
.
令g'（ x ）＝0，解得 x ＝1.
當 x 變化時，g'（ x ）， g （ x ）的變化情況如表：
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x （0，1） 1 （1，＋∞）
g'（ x ） － 0 ＋
g （ x ） ↘ 極小值 ↗
所以函數 g （ x ）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增
區間為（1，＋∞）； g （ x ）的極小值為 g （1）＝1，
無極大值.
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17. （本小題滿分15分）已知橢圓 G ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的離
心率為 ，右焦點為（2 ，0），斜率為1的直線 l 與橢圓 G 交于
A ， B 兩點，以 AB 為底邊作等腰三角形，頂點為 P （－3，2）.
（1）求橢圓 G 的方程；
解：由已知得 c ＝2 ， ＝ .
解得 a ＝2 ，又 b2＝ a2－ c2＝4，
所以橢圓 G 的方程為 ＋ ＝1.
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（2）求△ PAB 的面積.
解：設直線 l 的方程為 y ＝ x ＋ m .
由
消去 y 得4 x2＋6 mx ＋3 m2－12＝0.　①
設 A ， B 的坐標分別為（ x1， y1），（ x2， y2）（ x1＜ x2），
AB 中點為 E （ x0， y0），
則 x0＝ ＝－ ， y0＝ x0＋ m ＝ ；
因為 AB 是等腰△ PAB 的底邊，所以 PE ⊥ AB .
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所以 PE 的斜率 k ＝ ＝－1，解得 m ＝2.
此時方程①為4 x2＋12 x ＝0.
解得 x1＝－3， x2＝0.
所以 y1＝－1， y2＝2.
所以 A （－3，－1）， B （0，2）.所以 AB ＝3 .
此時，點 P （－3，2）到直線 AB ： x － y ＋2＝0的距離 d ＝
＝ ，
所以△ PAB 的面積 S ＝ AB · d ＝ .
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18. （本小題滿分17分）已知函數 f （ x ）＝ln x ＋ ax2＋（2 a ＋1） x .
（1）討論 f （ x ）的單調性；
解： f （ x ）的定義域為（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ＋2 ax ＋2 a ＋1＝ .
若 a ≥0，則當 x ∈（0，＋∞）時，f'（ x ）＞0，
故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函數.
若 a ＜0，則當 x ∈ 時，f'（ x ）＞0；
當 x ∈ 時，f'（ x ）＜0.
故 f （ x ）在 上單調遞增，在（－ ，＋∞）上單調遞減.
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（2）當 a ＜0時，證明 f （ x ）≤－ －2.
解：證明：由（1）知，當 a ＜0時， f （ x ）在 x ＝－
處取得最大值，最大值為 f ＝ln －1－ .
所以 f （ x ）≤－ －2等價于ln －1－ ≤－ －2，
即ln ＋ ＋1≤0.
設 g （ x ）＝ln x － x ＋1，則g'（ x ）＝ －1.
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當 x ∈（0，1）時，g'（ x ）＞0；當 x ∈（1，＋∞）時，g'
（ x ）＜0.所以 g （ x ）在（0，1）上單調遞增，在（1，＋
∞）上單調遞減.
故當 x ＝1時， g （ x ）取得極大值且為最大值，最大值為 g
（1）＝0.
所以當 x ＞0時， g （ x ）≤0.
從而當 a ＜0時，ln ＋ ＋1≤0，
即 f （ x ）≤－ －2.
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19. （本小題滿分17分）設滿足以下兩個條件的有窮數列 a1， a2，
a3，…， an 為 n （ n ＝2，3，4，…）階“期待數列”：
① a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ＝0，②｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜
an ｜＝1.
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（1）若等比數列{ an }為2 k （ k ∈N*）階“期待數列”，求公比
q ；
解：若 q ≠1，則由① a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 k ＝
＝0，
由 a1≠0，所以1－ q2 k ＝0，得 q ＝－1，
由②得 a1＝ 或 a1＝－ ，滿足題意.
若 q ＝1，由①得， a1·2 k ＝0，得 a1＝0，不合題意，舍去.
綜上所述 q ＝－1.
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（2）若一個等差數列{ an }既為2 k （ k ∈N*）階“期待數列”又是
遞增數列，求該數列的通項公式；
解：設等差數列 a1， a2， a3，…， a2 k （ k ∈N*）的公
差為 d （ d ＞0）.
因為 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a2 k ＝0，所以 ＝0.
所以 a1＋ a2 k ＝ ak ＋ ak＋1＝0.
因為 d ＞0，所以由 ak ＋ ak＋1＝0，得 ak ＜0， ak＋1＞0.
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由題中的①②得 a1＋ a2＋ a3＋…＋ ak ＝－ ， ak＋1＋ ak＋2＋
ak＋3＋…＋ a2 k ＝ ，
兩式相減得 k2· d ＝1，即 d ＝ .
又 a1 k ＋ d ＝－ ，得 a1＝ .
所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝ ＋（ n －1）· ＝ .
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（3）記 n 階“期待數列”{ ai }的前 k 項和為 Sk （ k ＝1，2，
3，…， n ），求證：｜ Sk ｜≤ .
解：證明：記 a1， a2， a3，…， an 中非負項和為 A ，
負項和為 B .
則 A ＋ B ＝0， A － B ＝1，得 A ＝ ， B ＝－ .
因為－ ＝ B ≤ Sk ≤ A ＝ ，所以｜ Sk ｜≤ .
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