資源簡介

6.1.1　空間向量的線性運算
1.化簡（－）－（－）的結果是（　　）
A.0 B.
C. D.
2.向量a，b互為相反向量，已知｜b｜＝3，則下列結論正確的是（　?。?br/>A.a＝b B.a＋b為實數0
C.a與b方向相同 D.｜a｜＝3
3.（2024·南通月考）如圖，在四面體ABCD中，設E，F分別是BC，CD的中點，則＋（－）＝（　　）
A. B.
C. D.
4.如果向量，，滿足｜｜＝｜｜＋｜｜，那么下列判斷正確的是（　?。?br/>A.＝＋ B.＝－－
C.與同向 D.與同向
5.（多選）下列命題是真命題的是（　?。?br/>A.若點A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量
B.若點A，B，C，D不在一條直線上，則與一定不是共線向量
C.若與是共線向量，則點A，B，C，D一定在一條直線上
D.若與是共線向量，則點A，B，C一定在一條直線上
6.（多選）（2024·揚州月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算的結果為的是（　?。?br/>A.（－）－ B.（＋）－
C.（－）＋ D.（－）－
7.如圖所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，與是　　　　向量，與是　　　　向量.（用相等、相反填空）
8.設e1，e2是不共線的空間向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則實數k的值為　　　　.
9.（2024·鹽城月考）已知四邊形ABCD，O為空間任意一點，且＋＝＋，則四邊形ABCD的形狀是　　　　.
10.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量.
（1）＋；
（2）＋＋；
（3）－－.
11.（2024·鎮江月考）在四面體O-ABC中，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點.若＝＋＋，則使G，M，N三點共線的x的值是（　?。?br/>A.1 B.2 C. D.
12.（多選）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點，若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與共線的向量是（　?。?br/>A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b－c D.－a－b＋c
13.設G為△ABC的重心，O為△ABC所在平面外一點，設＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示＝　　　　.
14.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
（1）；（2）；（3）.
15.（2024·宿遷月考）如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形.
6.1.1　空間向量的線性運算
1.A　原式＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
2.D　向量a，b互為相反向量，則a，b模相等、方向相反，故選D.
3.C　因為－＝，（－）＝＝，所以＋（－）＝＋＝.故選C.
4.D　∵｜｜＝｜｜＋｜｜，∴A，B，C共線且點C在AB之間，即與同向.故選D.
5.AD　對選項A，由點A，B，C，D在一條直線上，可得，的方向相同或相反，所以與一定是共線向量，故A為真命題；對選項B，由點A，B，C，D不在一條直線上，則，的方向不確定，所以不能判斷與是否為共線向量，故B為假命題；對選項C，，兩向量所在的直線是否有公共點不確定，所以四點不一定在同一條直線上，故C為假命題；對選項D，由，兩向量所在的直線至少有一個公共點A，且與是共線向量，所以三點一定共線，故D為真命題.故選A、D.
6.ABC　對于選項A，（－）－＝－＝；對于選項B，（＋）－＝＋＝；對于選項C，（－）＋＝＋＝；對于選項D，（－）－＝（－）－＝＋＝，故選A、B、C.
7.相等　相反　解析：由相等向量與相反向量的定義知：與是相等向量，與是相反向量.
8.－8　解析：因為＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A，B，D三點共線，且e1與e2不共線，故由向量共線的充要條件得＝，所以k＝－8.
9.平行四邊形　解析：由已知可得＝，由相等向量的定義可知，四邊形ABCD的一組對邊平行且相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形.
10.解：（1）＋＝.
（2）因為M是BB1的中點，
所以＝＝.
所以＋＋＝＋＝.
（3）－－＝－＝.
向量，，如圖所示.
11.A　由題意得＝（＋），＝，所以＝·＋·2＝＋.因為G，M，N三點共線，所以設＝λ，即－＝λ（－），即＝（1＋λ）·－λ，所以解得
12.AC　因為＝＋＝＋（＋）＝c＋（－a＋b）＝－a＋b＋c，a－b－c＝－（－a＋b＋c），所以與共線的向量是－a＋b＋c和a－b－c.
13.（a＋b＋c）
解析：如圖所示.∵＝＋（D為BC邊的中點），＝（＋）＝（b＋c），＝＝＝－[（b－a）＋（c－a）]＝－（b＋c）＋a，∴＝（b＋c）－（b＋c）＋a＝（a＋b＋c）.
14.解：（1）∵P是C1D1的中點，
∴＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
（2）∵N是BC的中點，
∴＝＋＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
（3）∵M是AA1的中點，
∴＝＋＝＋
＝－a＋
＝a＋b＋c.
15.證明：∵E，H分別是AB，AD的中點，
∴＝，＝，
則＝－
＝－＝
＝（－）＝
＝（－）＝，
∴∥且｜｜＝｜｜≠｜｜.
又點F不在直線EH上，
∴四邊形EFGH是梯形.
2 / 26.1.1　空間向量的線性運算
新課程標準解讀 核心素養
1.經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，了解空間向量的概念 數學抽象、直觀想象
2.經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程 邏輯推理
3.掌握共線向量定理及其應用 數學抽象、數學運算
一天，梭子魚、蝦和天鵝發現路上有一輛車裝滿了好吃的東西，于是就想把車子從路上拖下來，三個家伙一齊鉚足了勁，使出了平生的力氣一起拖車，可是，無論它們怎樣用力，小車還是在老地方一步也不動.原來，天鵝使勁往天上提，蝦一步步向后倒拖，梭子魚又朝著池塘拉去.
【問題】　同學們，你知道為什么車會一動不動嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　空間向量的概念
1.定義：在空間，把像位移、力、速度、加速度這樣既有　　　　又有　　　　的量，叫作空間向量.
2.幾何表示法：空間向量用　　　　　　表示.
3.幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 規定長度為0的向量稱為　　　　記作0
單位向量 　　　　　　　　的向量，叫作單位向量
相反向量 與向量a長度　　　　，方向　　　　的向量，叫作a的相反向量，記作－a
相同的向量 所有　　　　相等且　　　　　　的向量都看作相同的向量，向量a與b是相同的向量，也稱a與b　　　　
知識點二　空間向量的線性運算
1.空間向量的線性運算
已知空間向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，＝c，與平面向量的運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算的意義為：
＝＋＝　　　?。?br/>＝－＝　　　　＝　　　.
若P在直線OA上，則＝　　?。é恕蔙）.
2.空間向量的加法和數乘運算滿足如下運算律
（1）a＋b＝　　　　；
（2）（a＋b）＋c＝　　　　　?。?br/>（3）λ（a＋b）＝　　　　　　（λ∈R）.
【想一想】
1.由數乘λa＝0，可否得出λ＝0？
2.λa的長度是a的長度的λ倍嗎？
知識點三　共線向量與共線向量定理
1.共線向量（平行向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相　　　　或　　　　，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作　　　　.規定零向量與　　　　向量共線.
2.共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實數λ，使　　　　.
提醒　在共線向量定理中，要特別注意a≠0，若不加a≠0，則該充要性不一定成立.例如，若b≠0，a＝0，則a∥b，但λ不存在，該充要性也就不成立了.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）向量的長度與向量的長度相等.（　　）
（2）若A，B，C三點共線，則與共線.（　　）
（3）對于空間向量a，b，c，若a∥b且b∥c，則a∥c.（　　）
2.化簡－＋所得的結果是（　?。?br/>A. B.
C.0 D.
3.已知非零空間向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點是（　　）
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
題型一 空間向量的概念辨析
【例1】?。ǘ噙x）下列命題為真命題的是（　?。?br/>A.若空間向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜，則a＝b B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有＝
C.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p D.空間中任意兩個單位向量必相等
通性通法
空間向量的概念辨析
　　在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是模相等、方向相反.
【跟蹤訓練】
如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中的兩點為始點和終點的向量中：
（1）試寫出與是相等向量的所有向量；
（2）試寫出的相反向量.
題型二 空間向量的線性運算
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?頁例1）已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：
（1）＋＋；
（2）－＋；
（3）＋＋（－）.
通性通法
解決空間向量線性運算問題的方法
　　進行向量的線性運算，實質上是在正確運用向量的數乘運算及運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和.運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中.
【跟蹤訓練】
1.（2024·無錫月考）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱CC1的中點.若＝a，＝b，＝c，則＝（　?。?br/>A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b＋c D.a－b＋c
2.已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，點P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心，Q是邊CD的中點，若＝＋x＋y，則x＝　　　　，y＝　　　　.
題型三 共線向量定理
【例3】　（鏈接教科書第7頁例2）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：CE∥MN.
通性通法
1.判斷兩個非零向量共線的方法
判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實數λ，使a＝λb成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.
2.證明空間三點P，A，B共線的方法
（1）＝λ（λ∈R）；
（2）對空間任一點O，＝＋t（t∈R）；
（3）對空間任一點O，＝x＋y（x＋y＝1）.
【跟蹤訓練】
1.（2024·南京月考）若空間非零向量e1，e2不共線，則使2ke1－e2與e1＋2（k＋1）e2共線的k的值為　　　　.
2.（2024·常州月考）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在對角線A1C上，且＝.求證：E，F，B三點共線.
1.空間中任意四個點A，B，C，D，則＋－＝（　?。?br/>A. B.
C. D.
2.（多選）下列說法正確的是（　?。?br/>A.若｜a｜＜｜b｜，則a＜b
B.若a，b為相反向量，則a＋b＝0
C.對于空間內任意一個向量a，存在λ∈R，使得λa＝0
D.在四邊形ABCD中，－＝
3.（2024·淮安月考）設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，則實數k的值是（　?。?br/>A.1 B.2
C.3 D.4
4.在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E為其中心，則＋－－的化簡結果為　　　　.
6.1.1　空間向量的線性運算
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.大小　方向　2.有向線段　3.零向量　長度等于1個單位長度　相等　相反　長度　方向相同　相等
知識點二
1.a＋c　a－b?。璫　λa　2.（1）b＋a
（2）a＋（b＋c）?。?）λa＋λb
想一想
1.提示：不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
2.提示：不是，應是｜λ｜倍.
知識點三
1.平行　重合　a∥b　任意　2.b＝λa
自我診斷
1.（1）√?。?）√?。?）×
2.C?。剑剑?，故選C.
3.A　∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三點共線.
【典型例題·精研析】
【例1】　BC　A為假命題，根據相等向量的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；B為真命題，與的方向相同，模也相等，故＝；C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等.故選B、C.
跟蹤訓練
　解：（1）與向量是相等向量（除它自身之外）的有，，，共3個.
（2）向量的相反向量為，，，.
【例2】　解：（1）＋＋＝＋＋＝.
（2）－＋＝－（－）＝－＝.
（3）＋＋（－）
＝＋（＋）
＝＋.
設M是線段CB'的中點，
則＋＋（－）
＝＋＝.
向量，，如圖所示.
跟蹤訓練
1.A　由題意得＝，＝，所以＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.故選A.
2.－?。?br/>解析：畫出如圖所示圖形，∵＝－＝－（＋）＝－－，∴x＝y＝－.
【例3】　證明：法一　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴＝＋＋
＝＋＋. ①
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－， ②
①＋②得2＝，∴∥.
又直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.
法二　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴＝－
＝（＋）－
＝（＋）－（＋）
＝（－）＝（－）＝.
∴∥.
又直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.
跟蹤訓練
1.－　解析：由題意知，存在實數λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2（k＋1）e2]，又e1與e2不共線，所以
解得
2.證明：設＝a，＝b，＝c，
因為＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝（－）＝（＋－）＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，又EF，EB有公共點E，所以E，F，B三點共線.
隨堂檢測
1.C?。剑剑?
2.CD　向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小，A錯；相反向量的和為0，不是0，B錯；對于任意一個向量a，存在實數λ＝0，使得0·a＝0，C正確；由向量的減法法則，D正確.
3.A　∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，∴＝＋＝（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝6e1＋6e2.∵A，B，D三點共線，∴＝λ，∴e1＋ke2＝λ（6e1＋6e2）.∵e1，e2是不共線向量，∴∴k＝1.
4.0　解析：如圖，取BC的中點F，連接DF，則＝.故＋－－＝＋－＋＝＋＋＋＝0.
4 / 4(共60張PPT)
6.1.1　空間向量的線性運算
新課程標準解讀 核心素養
1.經歷向量及其運算由平面向空間
推廣的過程，了解空間向量的概念 數學抽象、直觀想象
2.經歷由平面向量的運算及其法則
推廣到空間向量的過程 邏輯推理
3.掌握共線向量定理及其應用 數學抽象、數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
一天，梭子魚、蝦和天鵝發現路上有一輛車裝滿了好吃的東西，于是
就想把車子從路上拖下來，三個家伙一齊鉚足了勁，使出了平生的力
氣一起拖車，可是，無論它們怎樣用力，小車還是在老地方一步也不
動.原來，天鵝使勁往天上提，蝦一步步向后倒拖，梭子魚又朝著池
塘拉去.
【問題】　同學們，你知道為什么車會一動不動嗎？
知識點一　空間向量的概念
1. 定義：在空間，把像位移、力、速度、加速度這樣既有 又
有 的量，叫作空間向量.
2. 幾何表示法：空間向量用 表示.
大小　
方向　
有向線段　
名稱 定義及表示
零向量 規定長度為0的向量稱為 記作0
單位向量 的向量，叫作單位向量
相反向量 與向量a長度 ，方向 的向量，叫作a
的相反向量，記作－a
相同的 向量 所有 相等且 的向量都看作相同的
向量，向量a與b是相同的向量，也稱a與b
零向量　
長度等于1個單位長度　
相等　
相反　
長度　
方向相同　
相等　
3. 幾類特殊的空間向量
知識點二　空間向量的線性運算
1. 空間向量的線性運算
已知空間向量a，b，在空間任取一點O，作 ＝a， ＝b，
＝c，與平面向量的運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘
運算的意義為：
＝ ＋ ＝ ；
＝ － ＝ ＝ .
若P在直線OA上，則 ＝ （λ∈R）.
a＋c　
a－b　
－c　
λa　
2. 空間向量的加法和數乘運算滿足如下運算律
（1）a＋b＝ ；
（2）（a＋b）＋c＝ ；
（3）λ（a＋b）＝ （λ∈R）.
b＋a　
a＋（b＋c）　
λa＋λb　
【想一想】
1. 由數乘λa＝0，可否得出λ＝0？
提示：不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
2. λa的長度是a的長度的λ倍嗎？
提示：不是，應是｜λ｜倍.
知識點三　共線向量與共線向量定理
1. 共線向量（平行向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的
直線互相 或 ，那么這些向量叫作共線向量或
平行向量.向量a與b平行，記作 .規定零向量與
向量共線.
2. 共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b（a≠0），b與a共線
的充要條件是存在實數λ，使 .
提醒　在共線向量定理中，要特別注意a≠0，若不加a≠0，則該
充要性不一定成立.例如，若b≠0，a＝0，則a∥b，但λ不存
在，該充要性也就不成立了.
平行　
重合　
a∥b　
任意　
b＝λa　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）向量 的長度與向量 的長度相等. （　√?。?br/>（2）若A，B，C三點共線，則 與 共線. （　√?。?br/>（3）對于空間向量a，b，c，若a∥b且b∥c，則a∥c.
（　×?。?br/>√
√
×
2. 化簡 － ＋ 所得的結果是（　?。?br/>C. 0
解析： 　 － ＋ ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故
選C.
3. 已知非零空間向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b，
＝7a－2b，則一定共線的三點是（　?。?br/>A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
解析： 　∵ ＝ ＋ ＝2a＋4b＝2 ，∴A，B，D三點
共線.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 空間向量的概念辨析
【例1】?。ǘ噙x）下列命題為真命題的是（　?。?br/>A. 若空間向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜，則a＝b
C. 若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p
D. 空間中任意兩個單位向量必相等
解析： 　A為假命題，根據相等向量的定義知，兩向量相等，不僅
模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；
B為真命題， 與 的方向相同，模也相等，故 ＝ ；C為
真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，空間中任意兩個單位
向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等.故選B、C.
通性通法
空間向量的概念辨析
　　在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相
關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模
相等.兩向量互為相反向量的充要條件是模相等、方向相反.
【跟蹤訓練】
如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中的兩點為始點和
終點的向量中：
（1）試寫出與 是相等向量的所有向量；
解： 與向量 是相等向量（除它自身之
外）的有 ， ， ，共3個.
（2）試寫出 的相反向量.
解： 向量 的相反向量為 ， ， ， .
題型二 空間向量的線性運算
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?頁例1）已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，
化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡得到的向量：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
.
（2） － ＋ ；
解： － ＋ ＝ －（ － ）＝ － ＝ .
（3） ＋ ＋ （ － ）.
解： ＋ ＋ （ － ）
＝ ＋ （ ＋ ）
＝ ＋ .
設M是線段CB'的中點，
則 ＋ ＋ （ － ）
＝ ＋ ＝ .
向量 ， ， 如圖所示.
通性通法
解決空間向量線性運算問題的方法
　　進行向量的線性運算，實質上是在正確運用向量的數乘運算及運
算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法則
或三角形法則求和.運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或
平行四邊形中.
【跟蹤訓練】
1. （2024·無錫月考）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱
CC1的中點.若 ＝a， ＝b， ＝c，則 ＝（　?。?br/>解析： 　由題意得 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＋
＋ ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋ c.故選A.
2. 已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，
點P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心，Q是邊
CD的中點，若 ＝ ＋x ＋y ，則x＝ ，y
＝ .
解析：畫出如圖所示圖形，∵ ＝ － ＝
－ （ ＋ ）＝ － － ，∴x＝
y＝－ .
－ 　
－ 　
題型三 共線向量定理
【例3】　（鏈接教科書第7頁例2）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是
平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：
CE∥MN.
證明：法一　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和
ABEF都是平行四邊形，
∴ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ .?、?br/>又∵ ＝ ＋ ＋ ＋
＝－ ＋ － － ，?、?br/>①＋②得2 ＝ ，∴ ∥ .
又直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.
法二　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都
是平行四邊形，
∴ ＝ －
＝ （ ＋ ）－
＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ）
＝ （ － ）＝ （ － ）＝ .
∴ ∥ .
又直線CE與MN不重合，∴CE∥MN.
通性通法
1. 判斷兩個非零向量共線的方法
判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實數λ，使a＝
λb成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將
目標向量化簡或用同一組向量表達.
2. 證明空間三點P，A，B共線的方法
（1） ＝λ （λ∈R）；
（2）對空間任一點O， ＝ ＋t （t∈R）；
（3）對空間任一點O， ＝x ＋y （x＋y＝1）.
【跟蹤訓練】

解析：由題意知，存在實數λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2（k＋1）
e2]，又e1與e2不共線，所以
解得
－ 　
2. （2024·常州月考）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在
A1D1上，且 ＝2 ，F在對角線A1C上，且 ＝ .求
證：E，F，B三點共線.
證明：設 ＝a， ＝b， ＝c，
因為 ＝2 ， ＝ ，
所以 ＝ ， ＝ ，
所以 ＝ ＝ b，
＝ （ － ）＝ （ ＋ － ）
＝ a＋ b－ c，
所以 ＝ － ＝ a－ b－ c
＝ .
又 ＝ ＋ ＋ ＝－ b－c＋a
＝a－ b－c，
所以 ＝ ，又EF，EB有公共點E，所以E，F，B三點共
線.
1. 空間中任意四個點A，B，C，D，則 ＋ － ＝（　?。?br/>解析： 　 ＋ － ＝ ＋ ＝ － ＝ .
2. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 若｜a｜＜｜b｜，則a＜b
B. 若a，b為相反向量，則a＋b＝0
C. 對于空間內任意一個向量a，存在λ∈R，使得λa＝0
解析： 　向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小，A
錯；相反向量的和為0，不是0，B錯；對于任意一個向量a，存在
實數λ＝0，使得0·a＝0，C正確；由向量的減法法則，D正確.
3. （2024·淮安月考）設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知 ＝
e1＋ke2， ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三點共
線，則實數k的值是（　?。?br/>A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 　∵ ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，∴ ＝ ＋
＝（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝6e1＋6e2.∵A，B，D三點共
線，∴ ＝λ ，∴e1＋ke2＝λ（6e1＋6e2）.∵e1，e2是不共
線向量，∴∴k＝1.
4. 在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD. 若△BCD是正三角形，且
E為其中心，則 ＋ － － 的化簡結果為 .
解析：如圖，取BC的中點F，連接DF，則 ＝
.故 ＋ － － ＝ ＋ － ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
0　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 化簡（ － ）－（ － ）的結果是（　?。?br/>A. 0
解析： 　原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＝0.
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2. 向量a，b互為相反向量，已知｜b｜＝3，則下列結論正確的是
（　?。?br/>A. a＝b B. a＋b為實數0
C. a與b方向相同 D. ｜a｜＝3
解析： 　向量a，b互為相反向量，則a，b模相等、方向相反，
故選D.
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3. （2024·南通月考）如圖，在四面體ABCD中，設E，F分別是
BC，CD的中點，則 ＋ （ － ）＝（　　）
解析： 　因為 － ＝ ， （ － ）＝ ＝ ，所
以 ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ .故選C.
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4. 如果向量 ， ， 滿足｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜，那么
下列判斷正確的是（　?。?br/>解析： 　∵｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜，∴A，B，C共線且
點C在AB之間，即 與 同向.故選D.
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5. （多選）下列命題是真命題的是（　?。?br/>1
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解析： 　對選項A，由點A，B，C，D在一條直線上，可得
， 的方向相同或相反，所以 與 一定是共線向量，
故A為真命題；對選項B，由點A，B，C，D不在一條直線上，
則 ， 的方向不確定，所以不能判斷 與 是否為共線
向量，故B為假命題；對選項C， ， 兩向量所在的直線是
否有公共點不確定，所以四點不一定在同一條直線上，故C為
假命題；對選項D，由 ， 兩向量所在的直線至少有一個
公共點A，且 與 是共線向量，所以三點一定共線，故D為
真命題.故選A、D.
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6. （多選）（2024·揚州月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
下列各式中運算的結果為 的是（　　）
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解析： 　對于選項A，（ － ）－ ＝ － ＝
；對于選項B，（ ＋ ）－ ＝ ＋ ＝ ；
對于選項C，（ － ）＋ ＝ ＋ ＝ ；對于選項
D，（ － ）－ ＝（ － ）－ ＝ ＋
＝ ，故選A、B、C.
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7. 如圖所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中， 與 是 向量，
與 是 向量.（用相等、相反填空）
解析：由相等向量與相反向量的定義知： 與 是相等向量，
與 是相反向量.
相等　
相反　
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8. 設e1，e2是不共線的空間向量，已知 ＝2e1＋ke2， ＝e1＋
3e2， ＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則實數k的值為 .
解析：因為 ＝ － ＝e1－4e2， ＝2e1＋ke2，又A，
B，D三點共線，且e1與e2不共線，故由向量共線的充要條件得
＝ ，所以k＝－8.
－ 8
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9. （2024·鹽城月考）已知四邊形ABCD，O為空間任意一點，且
＋ ＝ ＋ ，則四邊形ABCD的形狀是 .
解析：由已知可得 ＝ ，由相等向量的定義可知，四邊形
ABCD的一組對邊平行且相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形.
平行四邊形　
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10. 如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列
各式，并在圖中標出化簡得到的向量.
（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ；
解： 因為M是BB1的中點，
所以 ＝ ＝ .
所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
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（3） － － .
解： － － ＝ － ＝
.
向量 ， ， 如圖所示.
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11. （2024·鎮江月考）在四面體O-ABC中，點M在OA上，且OM＝
2MA，N為BC的中點.若 ＝ ＋ ＋ ，則使G，
M，N三點共線的x的值是（　　）
A. 1 B. 2
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解析： 　由題意得 ＝ （ ＋ ）， ＝ ，所以
＝ · ＋ ·2 ＝ ＋ .因為G，M，N三點共
線，所以設 ＝λ ，即 － ＝λ（ － ），即
＝（1＋λ）· －λ ，所以解得
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12. （多選）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與
B1D1的交點，若 ＝a， ＝b， ＝c，則下列向量中與
共線的向量是（　?。?br/>1
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解析： 　因為 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）
＝c＋ （－a＋b）＝－ a＋ b＋c， a－ b－ c＝－ （－
a＋ b＋c），所以與 共線的向量是－ a＋ b＋c和 a－ b
－ c.
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13. 設G為△ABC的重心，O為△ABC所在平面外一點，設 ＝a，
＝b， ＝c，試用a，b，c表示 ＝
.
解析：如圖所示.∵ ＝ ＋ （D為BC邊的
中點）， ＝ （ ＋ ）＝ （b＋c），
＝ ＝ ＝－ [（b－a）＋
（c－a）]＝－ （b＋c）＋ a，∴ ＝ （b＋
c）－ （b＋c）＋ a＝ （a＋b＋c）.
（a＋b＋
c）　
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14. 如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設 ＝a，
＝b， ＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用
a，b，c表示以下各向量：
（1） ；
解： ∵P是C1D1的中點，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝a＋ ＋
＝a＋c＋ ＝a＋c＋ b.
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（2） ；
解： ∵N是BC的中點，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝－a＋b＋
＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋ c.
（3） .
解： ∵M是AA1的中點，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋
＝－ a＋ ＝ a＋ b＋c.
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15. （2024·宿遷月考）如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，
E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的
點，且 ＝ ， ＝ .求證：四邊形EFGH是梯形.
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證明：∵E，H分別是AB，AD的中點，
∴ ＝ ， ＝ ，
則 ＝ － ＝ － ＝
＝ （ － ）＝
＝ （ － ）＝ ，
∴ ∥ 且｜ ｜＝ ｜ ｜≠｜ ｜.
又點F不在直線EH上，
∴四邊形EFGH是梯形.
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謝 謝 觀 看！

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