資源簡介

6.1.2　空間向量的數量積
1.已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，則兩直線的夾角為（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知單位向量a，b滿足｜a｜＝｜a＋b｜，則（a＋b）·b＝（　　）
A. B.1
C. D.0
3.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC＝（　　）
A.6 B.6
C.12 D.144
4.（2024·揚州月考）設平面上有四個互異的點A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，則△ABC是（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
5.（多選）如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對角線長都為a，點E，F，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數量積等于a2的是（　　）
A.2· B.2·
C.2· D.2·
6.（多選）設a，b，c是任意的非零空間向量，且它們互不共線，給出下列命題，其中正確的是（　　）
A.（a·b）·c－（c·a）·b＝0
B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
C.（b·a）·c－（c·a）·b一定不與c垂直
D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
7.如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分別是對角線AC，A1C1的中點，則＜，＞＝　　　　，＜，＞＝　　　　，＜，＞＝　　　　.
8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則在直線CB1上的投影向量是　　　　，·＝　　　　.
9.（2024·南京月考）如圖，空間四邊形的各邊和對角線長均相等，E是BC的中點，則·＝　　　，·　　·.（填“＜”“＝”或“＞”）
10.如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且SA＝2，SA⊥底面ABCD.
（1）確定向量在平面SAD上的投影向量，并求·；
（2）確定向量在向量上的投影向量，并求·.
11.（2024·無錫月考）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1（即A1A⊥平面ABC）中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，則異面直線AE與A1C所成的角是（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
12.（多選）已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是（　　）
A.（＋＋）2＝3
B.·（－）＝0
C.向量與向量的夾角是60°
D.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為｜··｜
13.（2024·徐州質檢）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動點P在線段BD1上運動，則·的取值范圍是　　　　.
14.如圖，正四棱錐P-ABCD的各棱長都為a.
（1）用向量法證明BD⊥PC；
（2）求｜＋｜的值.
15.（2024·南通質檢）如圖所示，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八個點，則·（i＝1，2，…，8）的不同值的個數為（　　）
A.8 B.4
C.2 D.1
6.1.2　空間向量的數量積
1.B　設向量a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝－，所以θ＝120°，則兩個方向向量對應的直線的夾角為180°－120°＝60°.
2.D　∵a，b是單位向量，∴a2＝b2＝1.∵｜a｜＝｜a＋b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－，∴（a＋b）·b＝a·b＋b2＝－＋＝0.
3.C　因為＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.
4.B　因為＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形.
5.BC　對于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，錯誤；對于B，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，正確；對于C，2·＝·＝a2，正確；對于D，2·＝·＝－·＝－a2，錯誤.
6.BD　A項，∵（a·b）·c是表示與向量c共線的向量，而（c·a）·b是表示與向量b共線的向量，∴A錯誤；B項，∵a，b是兩個不共線的向量，根據三角形任意兩邊之差小于第三邊可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正確；C項，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C錯誤；D項，∵向量的運算滿足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正確，故選B、D.
7.0°　0°　90°　解析：由題意得，方向相同，且在同一條直線AC上，故＜，＞＝0°；可平移到直線AC上，與方向相同，故＜，＞＝0°；由題意知OO1是正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜，＞＝90°.
8.　a2　解析：如圖，連接BC1交B1C于O，因為BO⊥B1C，A1B1⊥B1C，所以向量在直線CB1上的投影向量是，·＝·＝a·a＝a2.
9.0　＜　解析：由題易知AE⊥BC，所以·＝0，而·＝（＋）·＝·（－）＋·＝｜｜·｜｜·cos 120°－｜｜·｜｜·cos 120°＋｜｜·｜｜·cos 120°＜0，所以·＜·.
10.解：（1）向量在平面SAD上的投影向量是，·＝·＝2×2×cos 135°＝－4.
（2）向量在向量上的投影向量是，·＝·＝｜｜2＝4.
11.C　∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC.又BC＝2AE＝2，∴E為BC的中點，∴＝（＋）.∵AA1＝，∴A1C＝2.∵·＝（＋）·（－）＝｜｜2＝1，∴cos＜，＞＝＝，∴＜，＞＝60°，即異面直線AE，A1C所成的角是60°.
12.AB　由向量的加法得到：＋＋＝，∵A1C2＝3A1，∴＝3，∴A正確；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正確；∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線AD1與A1B所成的角為60°，但是向量與向量的夾角是120°，故C不正確；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故｜··｜＝0，因此D不正確.
13.[0，1]　解析：依題意，設＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·（＋）＝·（＋λ）＝＋λ·＝1＋λ×1××（－）＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范圍是[0，1].
14.解：（1）證明：∵＝＋，
∴·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜｜｜cos 60°＋｜｜｜｜cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.
（2）∵＋＝＋＋，
∴｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，
∴｜＋｜＝a.
15.D　·＝·（＋）＝＋·，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴·＝0，∴·＝｜｜2＝1，則·（i＝1，2，…，8）的不同值的個數為1.
3 / 36.1.2　空間向量的數量積
新課程標準解讀 核心素養
1.了解空間向量的夾角，掌握空間向量的數量積 數學抽象、數學運算
2.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義 直觀想象
3.能利用空間向量數量積解決簡單的立體幾何問題 數學運算、邏輯推理
　　我們在必修第二冊“平面向量”中已經學習了兩個平面向量a和b的數量積的定義、性質及運算.
【問題】　（1）平面向量的數量積a·b是如何定義的？滿足哪些運算律？
（2）類比平面向量的數量積的定義，你能給出空間兩向量數量積的定義嗎？空間向量的數量積運算滿足哪些運算律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　空間向量的夾角
定義 a，b是空間兩個非零向量，過空間任意一點O，作＝a，＝b，　　　＝θ（0≤θ≤π）叫作向量a與向量b的夾角，記作　　　
范圍 ＜a，b＞∈　　　
特殊夾角 ①如果＜a，b＞＝0，a與b　　　　； ②如果＜a，b＞＝π，a與b　　　　； ③如果＜a，b＞＝　　　，a與b互相垂直，記作a　　b
知識點二　空間向量的數量積
1.定義：設a，b是空間兩個非零向量，我們把數量　　　　　　叫作向量a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝　　　　　　.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2.數量積的運算律
交換律 a·b＝　　　
數乘結合律 （λa）·b＝　　　　（λ∈R）
分配律 （a＋b）·c＝a·c＋b·c
3.數量積的性質
兩個向量數量積的 性質 ①若a，b是非零向量，則a⊥b 　　　
②若a與b同向，則a·b＝　　　　； 若反向，則a·b＝　　　　. 特別地，a·a＝　　　或｜a｜＝　　　　
③若θ為a，b的夾角，則cos θ＝　　　
【想一想】
1.若a·b＝0，則一定有a⊥b嗎？為什么？
2.對于向量a，b，若a·b＝k，能否寫成a＝？
知識點三　空間向量的投影向量
1.空間投影向量的定義
如圖，設向量m＝，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量.向量　　　　稱為向量m在平面α上的投影向量.
2.空間向量數量積的幾何意義
空間向量m，n（n在平面α內）的數量積就是向量m在平面α上的　　　　　　與向量n的數量積.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）對于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.（　　）
（2）若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c.（　　）
（3）兩個非零向量a，b的夾角滿足＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞.（　　）
（4）向量a在平面β上的投影是一個向量.（　　）
2.在正四面體ABCD中，與的夾角等于（　　）
A.30° B.60°
C.150° D.120°
3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則·＝　　　　.
4.已知正方體ABCD-A'B'C'D'，則向量在平面ABCD上的投影向量為　　　　.
題型一 空間向量數量積的運算
【例1】　（鏈接教科書第12頁練習5題）已知正四面體OABC的棱長為1，如圖所示，求：
（1）·；
（2）（＋）·（＋）.
通性通法
求空間向量數量積的步驟
（1）將待求數量積的兩向量的模長及它們的夾角厘清；
（2）利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角余弦值的乘積；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解.
【跟蹤訓練】
1.（2024·宿遷月考）如圖，在棱長為的正方體ABCD-A1B1C1D1中，·＝（　　）
A.2　　　　　　　　 B.1
C.2 D.
2.如圖所示，空間四邊形ABCD每條邊和對角線長都為a，點E，F分別是AB，AD的中點，則·＝　　　　.
題型二 空間向量的投影向量
【例2】　（鏈接教科書第11頁例4）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點.
（1）確定向量在平面BCC1B1上的投影向量，并求·；
（2）確定向量在直線B1C1上的投影向量，并求·.
通性通法
　　利用空間向量的數量積的幾何意義求兩個向量的數量積時，準確探尋某一向量在平面（或直線）上的投影向量是解題的關鍵.
【跟蹤訓練】
　已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則·＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
題型三 空間向量數量積的應用
角度1　利用空間向量數量積求夾角
【例3】　如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，M是側棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成角的大小是　　　　.
通性通法
利用數量積求夾角或其余弦值的步驟
提醒　注意兩向量的夾角與兩異面直線所成角的區別.
角度2　利用空間向量數量積求線段長度（模）
【例4】　已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC-A1B1C1的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，求EF的長.
通性通法
利用數量積求線段長度的步驟
（1）將線段用向量表示；
（2）用其他已知夾角和模的向量表示該向量；
（3）利用｜a｜＝得所求長度.
【跟蹤訓練】
1.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量與向量的夾角為（　　）
A.60° B.150°
C.90° D.120°
2.已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實數k＝　　　　.
3.（2024·鎮江月考）已知空間向量a，b，c兩兩夾角為60°，其模都為1，則｜a－b＋2c｜＝　　　　.
1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是（　　）
A.與 B.與 C.與 D.與
2.（2024·常州月考）已知｜a｜＝1，且a－b與a垂直，且a與b的夾角為45°，則｜b｜＝（　　）
A.1 B. C.2 D.2
3.已知兩條異面直線的方向向量分別為a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，則a在b上的投影向量為　　　　.
4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝135°，m⊥n，則λ＝　　　　.
6.1.2　空間向量的數量積
【基礎知識·重落實】
知識點一
∠AOB　＜a，b＞　[0，π]　①同向
②反向　③　⊥
知識點二
1.｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞
2.b·a　λ（a·b）　3.①a·b＝0
②｜a｜｜b｜　－｜a｜｜b｜　｜a｜2　　③
想一想
1.提示：若a·b＝0，則不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
2.提示：不能.向量沒有除法運算.
知識點三
1.　2.投影向量
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.D　＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°.
3.a2　解析：如圖，·＝·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝a·acos 45°＝a2.
4.　解析：因為A'A⊥平面ABCD，因此在平面ABCD上的投影向量是.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：在正四面體OABC中，｜｜＝｜｜＝｜｜＝1.
＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝60°.
（1）·＝｜｜｜｜cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
（2）（＋）·（＋）
＝（＋）·（－＋－）
＝（＋）·（＋－2）
＝＋2·－2·＋－2·
＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°
＝1＋1－1＋1－1＝1.
跟蹤訓練
1.A　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以·＝·＝（＋）·＝·＋·＝0＋×2×cos 45°＝2.故選A.
2.－a2　解析：因為點E，F分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以，的夾角為120°，所以·＝｜｜·｜｜cos 120°＝－a2.
【例2】　解：（1）因為A1B1⊥平面BCC1B1，PC1⊥平面BCC1B1，
所以向量在平面BCC1B1上的投影向量為.
所以·＝·＝×1×cos 45°＝1.
（2）因為A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，
所以向量在直線B1C1上的投影向量為，故·＝·＝1.
跟蹤訓練
　C　法一　＝＋＝＋（＋）＝＋（＋），＝＋，則·＝（｜｜2＋｜｜2）＝1，故選C.
法二　設下底面ABCD的中心為O，則向量在底面ABCD上的投影向量為，故·＝·＝＝1，故選C.
【例3】　90°　解析：不妨設正三棱柱的棱長為2，∵＝－，＝＋，∴cos＜，＞＝＝
＝0，故異面直線AB1和BM所成角的大小是90°.
【例4】　解：如圖所示，設＝a，＝b，＝c，
由題意知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，
且＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝90°.
因為＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以｜｜2＝a2＋b2＋c2＋2（－a·b＋b·c－a·c）＝×22＋×22＋22＋2×（－）×2×2×cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝.
跟蹤訓練
D　如圖，＝＋，｜｜＝a，＝＋，｜｜＝a.∴·＝·＋·＋·＋·＝－a2.∴cos＜，＞＝＝－，∴＜，＞＝120°.
2.6　解析：由題意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.
3.　解析：∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，∴a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1，
∴｜a－b＋2c｜＝
＝
＝
＝＝.
隨堂檢測
1.A　與的夾角為45°，與的夾角為135°，與的夾角為90°，與的夾角為180°，故選A.
2.B　∵a－b與a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜×＝0，解得｜b｜＝.
3.－b　解析：設a與b的夾角為θ，∵｜a｜＝｜b｜＝1，且a·b＝－，∴cos θ＝＝－，∴a在b上的投影向量為cos θ·b＝－b.
4.－　解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，∴m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝a2＋a·b＋λa·b＋λb2＝（3）2＋（1＋λ）×3×4cos 135°＋λ×42＝18＋（1＋λ）×12×（－）＋16λ＝6＋4λ＝0，∴λ＝－.
4 / 4(共60張PPT)
6.1.2　空間向量的數量積
新課程標準解讀 核心素養
1.了解空間向量的夾角，掌握空間向量
的數量積 數學抽象、數學運算
2.了解空間向量投影的概念以及投影向
量的意義 直觀想象
3.能利用空間向量數量積解決簡單的立
體幾何問題 數學運算、邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　我們在必修第二冊“平面向量”中已經學習了兩個平面向量a和
b的數量積的定義、性質及運算.
【問題】　（1）平面向量的數量積a·b是如何定義的？滿足哪些運
算律？
（2）類比平面向量的數量積的定義，你能給出空間兩向量數量積的
定義嗎？空間向量的數量積運算滿足哪些運算律？
知識點一　空間向量的夾角
定義
范圍 ＜a，b＞∈
特殊 夾角 ①如果＜a，b＞＝0，a與b ；
②如果＜a，b＞＝π，a與b ；
③如果＜a，b＞＝ ，a與b互相垂直，記作a b
∠AOB　
＜a，b＞　
[0，π]　
同向　
反向　
　
⊥　
知識點二　空間向量的數量積
1. 定義：設a，b是空間兩個非零向量，我們把數量
叫作向量a，b的數量積，記作a·b，即a·b
＝ .
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
2. 數量積的運算律
交換律 a·b＝
數乘結合律 （λa）·b＝ （λ∈R）
分配律 （a＋b）·c＝a·c＋b·c
｜a｜｜b｜
cos ＜a，b＞　
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　
b·a　
λ（a·b）　
3. 數量積的性質
兩個向
量 數量積
的 性質 ①若a，b是非零向量，則a⊥b
②若a與b同向，則a·b＝ ；
若反向，則a·b＝ .
特別地，a·a＝ 或｜a｜＝
③若θ為a，b的夾角，則 cos θ＝
a·b＝0　
｜a｜｜b｜　
－｜a｜｜b｜　
｜a｜2　
　
　
【想一想】
1. 若a·b＝0，則一定有a⊥b嗎？為什么？
提示：若a·b＝0，則不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
2. 對于向量a，b，若a·b＝k，能否寫成a＝ ？
提示：不能.向量沒有除法運算.
知識點三　空間向量的投影向量
1. 空間投影向量的定義
如圖，設向量m＝ ，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別
為C1，D1，得向量 .向量 　 　稱為向量m在平面α上的
投影向量.
　
2. 空間向量數量積的幾何意義
空間向量m，n（n在平面α內）的數量積就是向量m在平面α上
的 與向量n的數量積.
投影向量　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）對于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.
（　×　）
（2）若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c. （　×　）
（3）兩個非零向量a，b的夾角滿足＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝
π－＜a，b＞. （　√　）
（4）向量a在平面β上的投影是一個向量. （　√　）
×
×
√
√
2. 在正四面體ABCD中， 與 的夾角等于（　　）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
解析： 　＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝
120°.
3. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則 · ＝ .
解析：如圖， · ＝ · ＝｜
｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝a· a
cos 45°＝a2.
a2　
4. 已知正方體ABCD-A'B'C'D'，則向量 在平面ABCD上的投影向
量為 .
解析：因為A'A⊥平面ABCD，因此 在平面ABCD上的投影向
量是 .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 空間向量數量積的運算
【例1】　（鏈接教科書第12頁練習5題）已知正四面體OABC的棱長為1，如圖所示，求：
（1） · ；
（1） · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠AOB＝
1×1× cos 60°＝ .
解：在正四面體OABC中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝60°.
（2）（ ＋ ）·（ ＋ ）.
解： （ ＋ ）·（ ＋ ）
＝（ ＋ ）·（ － ＋ － ）
＝（ ＋ ）·（ ＋ －2 ）
＝ ＋2 · －2 · ＋ －2 ·
＝12＋2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos 60°
＋12－2×1×1× cos 60°
＝1＋1－1＋1－1＝1.
通性通法
求空間向量數量積的步驟
（1）將待求數量積的兩向量的模長及它們的夾角厘清；
（2）利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角余弦值
的乘積；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解.
【跟蹤訓練】
1. （2024·宿遷月考）如圖，在棱長為 的正方體ABCD-A1B1C1D1中， · ＝（　　）
A. 2 B. 1
解析： 　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所
以AB⊥AD1，所以 · ＝ · ＝（ ＋ ）· ＝
· ＋ · ＝0＋ ×2× cos 45°＝2.故選A.
2. 如圖所示，空間四邊形ABCD每條邊和對角線長都為a，點E，F分別是AB，AD的中點，則 · ＝ .
－ a2　
解析：因為點E，F分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD，所以
， 的夾角為120°，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos
120°＝－ a2.
題型二 空間向量的投影向量
【例2】　（鏈接教科書第11頁例4）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點.
（1）確定向量 在平面BCC1B1上的投影向量，并求 · ；
解： 因為A1B1⊥平面BCC1B1，PC1⊥平面BCC1B1，
所以向量 在平面BCC1B1上的投影向量為 .
所以 · ＝ · ＝ ×1× cos 45°＝1.
（2）確定向量 在直線B1C1上的投影向量，并求 · .
解： 因為A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，
所以向量 在直線B1C1上的投影向量為 ，
故 · ＝ · ＝1.
通性通法
　　利用空間向量的數量積的幾何意義求兩個向量的數量積時，準確
探尋某一向量在平面（或直線）上的投影向量是解題的關鍵.
【跟蹤訓練】
　已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心
為O1，則 · ＝（　　）
A. －1 B. 0
解析： 　法一　 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝
＋ （ ＋ ）， ＝ ＋ ，則 · ＝ （｜ ｜2
＋｜ ｜2）＝1，故選C.
法二　設下底面ABCD的中心為O，則向量 在底面ABCD上的投
影向量為 ，故 · ＝ · ＝ ＝1，故選C.
C. 1 D. 2
題型三 空間向量數量積的應用
角度1　利用空間向量數量積求夾角
【例3】　如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等，M是側
棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成角的大小是 .
90°　
解析：不妨設正三棱柱的棱長為2，∵ ＝ － ， ＝ ＋ ，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝0，故異面直線AB1和BM所成角的大小是90°.
通性通法
利用數量積求夾角或其余弦值的步驟
提醒　注意兩向量的夾角與兩異面直線所成角的區別.
角度2　利用空間向量數量積求線段長度（模）
【例4】　已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC-A1B1C1
的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，求EF的長.
解：如圖所示，設 ＝a， ＝b， ＝c，
由題意知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，
且＜a，b＞＝60°，＜a，c＞＝＜b，c＞＝90°.
因為 ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝
－ a＋ b＋c，
所以｜ ｜2＝ a2＋ b2＋c2＋2（－ a·b＋ b·c－a·c）＝ ×22＋ ×22＋22＋2×（－ ）×2×2× cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝ .
通性通法
利用數量積求線段長度的步驟
（1）將線段用向量表示；
（2）用其他已知夾角和模的向量表示該向量；
（3）利用｜a｜＝ 得所求長度.
【跟蹤訓練】
1. 在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量 與向量 的夾
角為（　　）
A. 60° B. 150°
C. 90° D. 120°
解析： 　如圖， ＝ ＋ ，｜ ｜＝
a， ＝ ＋ ，｜ ｜＝ a.∴ · ＝
· ＋ · ＋ · ＋ · ＝－a2.∴
cos ＜ ， ＞＝ ＝－ ，∴＜ ，
＞＝120°.

解析：由題意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以
（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.
　

解析：∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜
c，a＞＝60°，∴a·b＝b·c＝a·c＝ ，a2＝b2＝c2＝1，
∴｜a－b＋2c｜＝
＝
＝
＝ ＝ .
1. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為
45°的是（　　）
解析： 　 與 的夾角為45°， 與 的夾角為135°， 與 的夾角為90°， 與 的夾角為180°，故選A.
2. （2024·常州月考）已知｜a｜＝1，且a－b與a垂直，且a與b的
夾角為45°，則｜b｜＝（　　）
A. 1
D. 2
解析： 　∵a－b與a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b
＝｜a｜2－｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜× ＝0，
解得｜b｜＝ .
3. 已知兩條異面直線的方向向量分別為a，b，且｜a｜＝｜b｜＝
1，a·b＝－ ，則a在b上的投影向量為 　－ b　.
解析：設a與b的夾角為θ，∵｜a｜＝｜b｜＝1，且a·b＝－ ，
∴ cos θ＝ ＝－ ，∴a在b上的投影向量為 cos θ·b＝－
b.
－ b　
4. 已知｜a｜＝3 ，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，
b＞＝135°，m⊥n，則λ＝ .
解析：∵m⊥n，∴m·n＝0，∴m·n＝（a＋b）·（a＋λb）＝
a2＋a·b＋λa·b＋λb2＝（3 ）2＋（1＋λ）×3 ×4 cos
135°＋λ×42＝18＋（1＋λ）×12 ×（－ ）＋16λ＝6＋
4λ＝0，∴λ＝－ .
－ 　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，
a·b＝－ ，則兩直線的夾角為（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　設向量a，b的夾角為θ，則 cos θ＝ ＝－ ，
所以θ＝120°，則兩個方向向量對應的直線的夾角為180°－
120°＝60°.
2. 已知單位向量a，b滿足｜a｜＝｜a＋b｜，則（a＋ b）·b＝
（　　）
B. 1
D. 0
解析： 　∵a，b是單位向量，∴a2＝b2＝1.∵｜a｜＝｜a＋
b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝1，故a·b＝－ ，∴（a＋ b）·b＝a·b
＋ b2＝－ ＋ ＝0.
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3. 如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，
則PC＝（　　）
B. 6
C. 12 D. 144
解析： 　因為 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ ＋ ＋
＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝36＋36＋36＋2×36 cos
60°＝144，所以PC＝12.
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4. （2024·揚州月考）設平面上有四個互異的點A，B，C，D，已知
（ ＋ －2 ）·（ － ）＝0，則△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等邊三角形
解析： 　因為 ＋ －2 ＝（ － ）＋（ － ）
＝ ＋ ，所以（ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜
｜2＝0，所以｜ ｜＝｜ ｜，即△ABC是等腰三角形.
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5. （多選）如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對角線長都為a，點
E，F，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數量積等
于a2的是（　　）
解析： 　對于A，2 · ＝2a2 cos 120°＝－a2，錯誤；對于
B，2 · ＝2 · ＝2a2 cos 60°＝a2，正確；對于C，
2 · ＝ · ＝a2，正確；對于D，2 · ＝ · ＝－
· ＝－ a2，錯誤.
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6. （多選）設a，b，c是任意的非零空間向量，且它們互不共線，
給出下列命題，其中正確的是（　　）
A. （a·b）·c－（c·a）·b＝0
B. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
C. （b·a）·c－（c·a）·b一定不與c垂直
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
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解析： 　A項，∵（a·b）·c是表示與向量c共線的向量，而
（c·a）·b是表示與向量b共線的向量，∴A錯誤；B項，∵a，b
是兩個不共線的向量，根據三角形任意兩邊之差小于第三邊可
得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正確；C項，∵[（b·a）·c－
（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C錯
誤；D項，∵向量的運算滿足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－
2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正確，故選B、D.
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7. 如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分別是對角線
AC，A1C1的中點，則＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞
＝ ，＜ ， ＞＝ .
0°　
0°　
90°　
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解析：由題意得 ， 方向相同，且在同一條直線AC上，故＜
， ＞＝0°； 可平移到直線AC上，與 方向相同，故
＜ ， ＞＝0°；由題意知OO1是正四棱臺ABCD-A1B1C1D1
的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜ ，
＞＝90°.
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8. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則 在直線CB1上的投
影向量是 　 　， · ＝ .
解析：如圖，連接BC1交B1C于O，因為
BO⊥B1C，A1B1⊥B1C，所以向量 在直線
CB1上的投影向量是 ， · ＝ ·
＝ a· a＝a2.
　
a2　
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9. （2024·南京月考）如圖，空間四邊形的各邊和對角線長均相等，
E是BC的中點，則 · ＝ ， · · .（填
“＜”“＝”或“＞”）
0　
＜　
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解析：由題易知AE⊥BC，所以 · ＝0，而 · ＝（ ＋
）· ＝ ·（ － ）＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos
120°－｜ ｜·｜ ｜· cos 120°＋ ｜ ｜·｜ ｜· cos
120°＜0，所以 · ＜ · .
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10. 如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且SA＝2，
SA⊥底面ABCD.
（1）確定向量 在平面SAD上的投影向量，并求 · ；
解： 向量 在平面SAD上的投影向量
是 ， · ＝ · ＝2 ×2× cos
135°＝－4.
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（2）確定向量 在向量 上的投影向量，并求 · .
解： 向量 在向量 上的投影向量是 ， · ＝ · ＝｜ ｜2＝4.
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11. （2024·無錫月考）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1（即A1A⊥平
面ABC）中，AC＝AB＝AA1＝ ，BC＝2AE＝2，則異面直線
AE與A1C所成的角是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
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解析： 　∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC
＝AB＝ ，BC＝2，∴AB⊥AC. 又BC＝2AE＝2，∴E為BC
的中點，∴ ＝ （ ＋ ）.∵AA1＝ ，∴A1C＝
2.∵ · ＝ （ ＋ ）·（ － ）＝ ｜ ｜2＝1，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，∴＜ ， ＞＝60°，即異
面直線AE，A1C所成的角是60°.
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12. （多選）已知ABCD-A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是
（　　）
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解析： 　由向量的加法得到： ＋ ＋ ＝ ，
∵A1C2＝3A1 ，∴ ＝3 ，∴A正確；∵ －
＝ ，AB1⊥A1C，∴ · ＝0，故B正確；∵△ACD1是等
邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線AD1與
A1B所成的角為60°，但是向量 與向量 的夾角是120°，
故C不正確；∵AB⊥AA1，∴ · ＝0，故｜ · · ｜
＝0，因此D不正確.
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13. （2024·徐州質檢）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，若動
點P在線段BD1上運動，則 · 的取值范圍是 .
解析：依題意，設 ＝λ ，其中λ∈[0，1]， · ＝
·（ ＋ ）＝ ·（ ＋λ ）＝ ＋λ · ＝
1＋λ×1× ×（－ ）＝1－λ∈[0，1].因此 · 的取值
范圍是[0，1].
[0，1]　
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14. 如圖，正四棱錐P-ABCD的各棱長都為a.
（1）用向量法證明BD⊥PC；
解： 證明：∵ ＝ ＋ ，
∴ · ＝（ ＋ ）· ＝ ·
＋ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°
＋｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝ a2－ a2
＝0.∴BD⊥PC.
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（2）求｜ ＋ ｜的值.
解： ∵ ＋ ＝ ＋ ＋ ，
∴｜ ＋ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2
＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋
2 · ＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2 cos 60°
＋2a2 cos 60°＝5a2，
∴｜ ＋ ｜＝ a.
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15. （2024·南通質檢）如圖所示，四個棱長為1的正方體排成一個正
四棱柱，AB是一條側棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余
的八個點，則 · （i＝1，2，…，8）的不同值的個數為
（　　）
A. 8 B. 4
C. 2 D. 1
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解析： 　 · ＝ ·（ ＋ ）＝ ＋ · ，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴ ⊥ ，∴ · ＝0，∴ ·
＝｜ ｜2＝1，則 · （i＝1，2，…，8）的不同值的個數
為1.
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