資源簡(jiǎn)介

6.1.3　共面向量定理
1.下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（　　）
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
2.（2024·蘇州月考）已知i與j不共線，則存在兩個(gè)非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量共面的是（　　）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
4.下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（　　）
A.若向量a，b平行，則a，b所在直線平行
B.若向量a，b所在直線是異面直線，則a，b不共面
C.若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面
D.若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面
5.（多選）下列條件中，點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)一定共面的是（　　）
A.＝＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＋＋＋＝0
6.（多選）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，P，M為空間內(nèi)任意兩點(diǎn)，且有＝＋6＋7＋4，則下列結(jié)論正確的有（　　）
A.，，共面
B.，，不共面
C.M∈平面A1BCD1
D.M 平面A1BCD1
7.已知向量a，b，c不共面，則使向量m＝2a－b，n＝b＋c，p＝xa＋5b＋3c共面的實(shí)數(shù)x的值是　　　　.
8.（2024·泰州月考）已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線且四點(diǎn)共面，且＝2x＋3y＋4z，則2x＋3y＋4z＝　　　　.
9.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O是平面ABC外任意一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋2＝6－3，則P與平面ABC的關(guān)系是　　　　.
10.已知P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別在PA，BD上，且＝，＝，求證：MN∥平面PBC.
11.（2024·鎮(zhèn)江月考）已知向量e1，e2不共線，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，則（　　）
A.與共線
B.與共線
C.A，B，C，D四點(diǎn)不共面
D.A，B，C，D四點(diǎn)共面
12.（多選）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則結(jié)論正確的有（　　）
A.P∈直線AB B.P 直線AB
C.O，A，B，P四點(diǎn)共面 D.P，A，B三點(diǎn)共線
13.如圖，M是三棱錐P-ABC的底面△ABC的重心，若＝x＋y＋z，則x＋y－z＝（　　）
A. B.
C. D.1
14.（2024·南通質(zhì)檢）在正四棱錐P-ABCD中，M，N，S分別是棱PA，PB，PC上的點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，＝z，其中x，y，z∈（0，1].
（1）若x＝1，y＝，且PD∥平面MNS，求z的值；
（2）若x＝，y＝，且點(diǎn)D∈平面MNS，求z的值.
15.已知四邊形ABCD是平行四邊形，P是 ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.
（1）試用向量方法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量方法證明你的判斷.
6.1.3　共面向量定理
1.C　C選項(xiàng)中，＝－－，∴點(diǎn)M，A，B，C共面.
2.A　若i與j不共線，則k與i，j共面 存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)組（x，y），使k＝xi＋yj，x，y不一定非零.故選A.
3.C　如圖，連接CD1，則＝，∴＝－，故，，共面，選項(xiàng)A、B、D均不共面.
4.D　若向量a，b平行，則向量a，b所在的直線平行或重合，則A不正確；若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b是共面向量，則B不正確；空間中的任意兩個(gè)向量通過平移可在一個(gè)平面內(nèi)，因此，是共面的，則C不正確；利用反證法即可證明若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面，則D正確.故選D.
5.AB　由＝＋得點(diǎn)A，B，C共線，故P，A，B，C共面；對(duì)于B，＋＋＝1，故P，A，B，C共面；對(duì)于C、D，顯然不滿足，故C、D錯(cuò)誤.故選A、B.
6.AC　因?yàn)椋剑?＋7＋4，所以－＝＋6＋6＋4，所以＝＋6＋4＝＋2＋4，所以－＝2＋4，所以＝2＋4，所以，，共面.又因?yàn)锳1M與平面A1BCD1有公共點(diǎn)A1，因此，M∈平面A1BCD1.
7.－4　解析：因?yàn)橄蛄縨，n，p共面，所以存在實(shí)數(shù)s，t，使p＝sm＋tn，即xa＋5b＋3c＝2sa＋（t－s）b＋tc，所以t＝3，s＝－2，x＝2s＝－4.
8.－1　解析：因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線且四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得＝λ1＋λ2＋λ3且λ1＋λ2＋λ3＝1.因?yàn)椋?x＋3y＋4z＝－2x－3y－4z，所以λ1＋λ2＋λ3＝－2x－3y－4z＝1，所以2x＋3y＋4z＝－1.
9.P在平面ABC內(nèi)　解析：由題意得＝＋＋，∵＋＋＝1，且A，B，C三點(diǎn)不共線，∴點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面.
10.證明：＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝－（－）＋＋（＋）＝－＋.
根據(jù)共面向量定理可知，，共面.
又因?yàn)镸N不在平面PBC內(nèi)，所以MN∥平面PBC.
11.D　對(duì)于A，∵≠，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ成立，∴與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵＝2e1＋8e2，＝3e1－5e2，∴＝－＝e1－13e2，又≠，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ成立，∴與不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則有＝x＋y＝（x＋2y）e1＋（x＋8y）e2＝3e1－5e2，∴即故＝－，故A，B，C，D四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤，D正確.
12.ACD　因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）＋n，即－＝n（－），即＝n，所以與共線.又，有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.因?yàn)椋絤＋n，故O，A，B，P四點(diǎn)共面.故選A、C、D.
13.A　因?yàn)镸為△ABC的重心，所以＝（＋）＝（－＋－），所以＝＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝y(tǒng)＝z＝，所以x＋y－z＝.故選A.
14.解：（1）因?yàn)椋絰，＝y(tǒng)，＝z，且x＝1，y＝，所以＝，＝.
在正四棱錐P-ABCD中，由＝＋，可得－＝－＋－，即＝－＋.
又因?yàn)镻D∥平面MNS，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得＝λ＋μ，即＝λ（－）＋μ（－）＝（－λ－μ）＋＋μz.
又因?yàn)椋剑遥还裁妫越獾脄＝1.
（2）由（1）可知＝－＋，
又因?yàn)椋絰，＝y(tǒng)，＝z，且x＝，y＝，可得＝－2＋.
因?yàn)辄c(diǎn)D∈平面MNS，即D，M，N，S四點(diǎn)共面，所以－2＋＝1，解得z＝.
15.證明：（1）分別連接PE，PF，PG，PH并延長(zhǎng)交對(duì)邊于點(diǎn)M，N，Q，R.
因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R為所在邊的中點(diǎn)，順次連接M，N，Q，R得到的四邊形為平行四邊形，且有＝，＝，＝，＝，
所以＝＋＝（－）＋（－）＝（－）＋（－）＝（＋）.
又因?yàn)椋剑剑剑裕剑ǎ矗剑?
由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
（2）平面EFGH∥平面ABCD.
證明如下：由（1）得＝，故MQ∥EG.
又因?yàn)镸Q 平面ABCD，EG 平面ABCD，所以EG∥平面ABCD.
又因?yàn)椋剑剑剑訫N∥EF.
又因?yàn)镸N 平面ABCD，EF 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
因?yàn)镋G與EF交于點(diǎn)E，所以平面EFGH∥平面ABCD.
1 / 26.1.3　共面向量定理
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.了解共面向量的概念，理解空間共面向量定理 數(shù)學(xué)抽象
2.能運(yùn)用共面向量定理解決空間中的共面問題 邏輯推理
李老師下班回家，先從學(xué)校大門口騎自行車向北行駛1 000 m，再向東行駛1 500 m，最后乘電梯上升15 m到5樓的住處.在這個(gè)過程中，李老師從學(xué)校大門口回到住處所發(fā)生的總位移就是三個(gè)位移的合成（如圖所示）.
【問題】　以上三個(gè)位移是同一個(gè)平面內(nèi)的向量嗎？為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　共面向量
一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.
提醒　（1）共面向量不僅包括在同一個(gè)平面內(nèi)的向量，還包括平行于同一平面的向量；（2）空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了.
知識(shí)點(diǎn)二　共面向量定理
如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得　　　　　　.即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面.（　　）
（2）空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量.（　　）
（3）若P，M，A，B共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使＝x＋y.（　　）
2.若a與b不共線，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，則（　　）
A.m，n，p共線 B.m與p共線
C.n與p共線 D.m，n，p共面
3.若＝λ＋μ，λ，μ∈R，則直線AB與平面CDE的關(guān)系是　　　　.
題型一 空間向量共面的判斷
【例1】　（鏈接教科書第15頁(yè)練習(xí)1題）對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b，2a－b，它們一定是（　　）
A.共面向量 B.共線向量
C.不共面向量 D.既不共線也不共面的向量
通性通法
向量共面的判定方法
　　充分利用題目條件將其中一個(gè)向量表示成另兩個(gè)不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb（a，b不共線），則向量p，a，b共面.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量，，是（　　）
A.有相同起點(diǎn)的向量 B.等長(zhǎng)向量
C.共面向量 D.不共面向量
2.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABC外的任意一點(diǎn)O，存在點(diǎn)M滿足＝＋＋.判斷，，三個(gè)向量是否共面.
題型二 利用共面向量定理證明線面平行
【例2】　（鏈接教科書第13頁(yè)例5）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn).求證：EF∥平面PAD.
通性通法
利用空間向量證明線面平行的一般方法
　　證明線面平行時(shí)，只需把直線上的一個(gè)向量用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量線性表示，并且說(shuō)明直線在平面外即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
　如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，E是PD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面AEC.
題型三 利用共面向量定理證明四點(diǎn)共面
【例3】　（鏈接教科書第14頁(yè)例6）（1）（多選）對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是（　　）
A.＝＋＋ B.＝＋＋
C.＝＋＋ D.＝2－－
（2）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
通性通法
四點(diǎn)共面的證明方法
（1）先證三向量共面，即＝x＋y，又三向量有公共點(diǎn)P，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
（2）若存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得對(duì)于空間中任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判定在下列條件下，點(diǎn)P是否與A，B，M共面.
（1）＋＝3－；
（2）＝4－－.
1.下列說(shuō)法正確的是（　　）
A.空間的任意三個(gè)向量都不共面
B.空間的任意兩個(gè)向量都共面
C.三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面
D.若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫瑒t這三個(gè)向量一定也共面
2.已知，是空間兩個(gè)不共線的向量，＝3－2，那么必有（　　）
A.，共線
B.，共線
C.，，共面
D.，，不共面
3.（2024·淮安月考）已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有＝x＋＋，則x的值為（　　）
A.1 B.0
C.3 D.
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，A1D1的中點(diǎn)，問：，與是否共面？
6.1.3　共面向量定理
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)二
p＝xa＋yb
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）×
2.D　由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m與n不共線，所以m，n，p共面.
3.AB∥平面CDE或AB 平面CDE
解析：∵＝λ＋μ（λ，μ∈R），∴，，共面，∴AB∥平面CDE或AB 平面CDE.
【典型例題·精研析】
【例1】　A　由共面向量定理可知，三個(gè)向量a，b，2a－b為共面向量.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　如圖所示.向量，，不是有相同起點(diǎn)的向量，故A錯(cuò)誤；三個(gè)向量的模不一定相等，故B錯(cuò)誤；又在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∵＝，而線段D1A，D1C，AC構(gòu)成△D1AC的三個(gè)邊，故向量，，是共面向量，故C正確，D錯(cuò)誤.
2.解：∵＋＋＝3，
∴－＝（－）＋（－），
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面.
【例2】　證明：因?yàn)椋剑剑ǎ?br/>＝＋
＝＋＝＋，
所以向量，，共面，
又EF 平面PAD，DA，PD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AB＝DC，而E是PD的中點(diǎn)，所以PD＝2ED.所以＝＋＋＝2＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋，
又因?yàn)榕c不共線，可知，，共面，
而PB 平面EAC，所以PB∥平面AEC.
【例3】　（1）BC　點(diǎn)P與A，B，C共面時(shí)，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判斷出只有選項(xiàng)B，C符合要求.
（2）證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝b－a，
∵M(jìn)為DD1的中點(diǎn)，∴＝c－a.
又∵AN∶NC＝2∶1，
∴＝＝（b＋c），
∴＝－＝（b＋c）－a＝（b－a）＋（c－a）＝＋，
∴，，為共面向量.
又三向量有相同的起點(diǎn)A1，∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）∵＋＝3－，
∴＝＋（－）＋（－）
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
∴，，為共面向量，
又，，過同一點(diǎn)P，
∴P與A，B，M共面.
（2）由＝4－－，得4＋（－1）＋（－1）＝2≠1.
又＝x＋y＋z中，P，A，B，M共面的條件為x＋y＋z＝1，
∴P與A，B，M不共面.
隨堂檢測(cè)
1.B
2.C　由共面向量定理知，，，共面.
3.D　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四點(diǎn)共面，∴x＋＋＝1，∴x＝.
4.解：＝＋＋＝－＋＝（＋）－＝－.又，不共線，根據(jù)共面向量定理可知向量，，共面.
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6.1.3　共面向量定理
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.了解共面向量的概念，理解
空間共面向量定理 數(shù)學(xué)抽象
2.能運(yùn)用共面向量定理解決空
間中的共面問題 邏輯推理
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
李老師下班回家，先從學(xué)校大門口騎自行車向北行駛1 000 m，再向東
行駛1 500 m，最后乘電梯上升15 m到5樓的住處.在這個(gè)過程中，李
老師從學(xué)校大門口回到住處所發(fā)生的總位移就是三個(gè)位移的合成（如
圖所示）.
【問題】　以上三個(gè)位移是同一個(gè)平面內(nèi)的向量嗎？為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識(shí)點(diǎn)一　共面向量
一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.
提醒　（1）共面向量不僅包括在同一個(gè)平面內(nèi)的向量，還包括平行
于同一平面的向量；（2）空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意
三個(gè)向量就不一定共面了.
知識(shí)點(diǎn)二　共面向量定理
如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件
是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得 .即向量p可以由
兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示.
p＝xa＋yb　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的
直線共面. （　×　）
（2）空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量. （　×　）
（3）若P，M，A，B共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，
y），使 ＝x ＋y . （　×　）
×
×
×
2. 若a與b不共線，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，則（　　）
A. m，n，p共線 B. m與p共線
C. n與p共線 D. m，n，p共面
解析： 　由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p
＝ m＋ n，又知m與n不共線，所以m，n，p共面.
3. 若 ＝λ ＋μ ，λ，μ∈R，則直線AB與平面CDE的關(guān)
系是 .
解析：∵ ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），∴ ， ， 共
面，∴AB∥平面CDE或AB 平面CDE.
AB∥平面CDE或AB 平面CDE　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 空間向量共面的判斷
【例1】　（鏈接教科書第15頁(yè)練習(xí)1題）對(duì)于空間的任意三個(gè)向量
a，b，2a－b，它們一定是（　　）
A. 共面向量
B. 共線向量
C. 不共面向量
D. 既不共線也不共面的向量
解析：由共面向量定理可知，三個(gè)向量a，b，2a－b為共面向量.
通性通法
向量共面的判定方法
　　充分利用題目條件將其中一個(gè)向量表示成另兩個(gè)不共線向量的線
性組合，即若p＝xa＋yb（a，b不共線），則向量p，a，b共面.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量 ， ， 是
（　　）
A. 有相同起點(diǎn)的向量 B. 等長(zhǎng)向量
C. 共面向量 D. 不共面向量
解析： 　如圖所示.向量 ， ， 不是有相
同起點(diǎn)的向量，故A錯(cuò)誤；三個(gè)向量的模不一定相等，
故B錯(cuò)誤；又在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，∵
＝ ，而線段D1A，D1C，AC構(gòu)成△D1AC的三個(gè)
邊，故向量 ， ， 是共面向量，故C正
確，D錯(cuò)誤.
2. 已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABC外的任意一點(diǎn)O，存在
點(diǎn)M滿足 ＝ ＋ ＋ .
判斷 ， ， 三個(gè)向量是否共面.
解：∵ ＋ ＋ ＝3 ，
∴ － ＝（ － ）＋（ － ），
∴ ＝ ＋ ＝－ － ，
∴向量 ， ， 共面.
題型二 利用共面向量定理證明線面平行
【例2】　（鏈接教科書第13頁(yè)例5）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底
面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝ AD，
若E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn).求證：EF∥平面PAD.
證明：因?yàn)?＝ － ＝ （ ＋ ）－
＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ ，
所以向量 ， ， 共面，
又EF 平面PAD，DA，PD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
通性通法
利用空間向量證明線面平行的一般方法
　　證明線面平行時(shí)，只需把直線上的一個(gè)向量用平面內(nèi)的兩個(gè)不共
線向量線性表示，并且說(shuō)明直線在平面外即可.
【跟蹤訓(xùn)練】
　如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，E是PD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面AEC.
證明：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AB＝DC，而E是PD的中點(diǎn)，
所以PD＝2ED. 所以 ＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ ＋ ＝
（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋ ，
又因?yàn)?與 不共線，可知 ， ， 共面，
而PB 平面EAC，所以PB∥平面AEC.
題型三 利用共面向量定理證明四點(diǎn)共面
【例3】　（鏈接教科書第14頁(yè)例6）（1）（多選）對(duì)空間任一點(diǎn)O
和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是
（　　）
A. ＝ ＋ ＋
B. ＝ ＋ ＋
C. ＝ ＋ ＋
D. ＝2 － －
解析： 點(diǎn)P與A，B，C共面時(shí)，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，都有 ＝x ＋y ＋z ，且x＋y＋z＝1，可判斷出只有選項(xiàng)B，C符合要求.
（2）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，
N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
證明：設(shè) ＝a， ＝b， ＝c，
則 ＝b－a，
∵M(jìn)為DD1的中點(diǎn)，∴ ＝c－ a.
又∵AN∶NC＝2∶1，∴ ＝ ＝ （b
＋c），
∴ ＝ － ＝ （b＋c）－a＝ （b－a）＋ （c－
a）＝ ＋ ，
∴ ， ， 為共面向量.
又三向量有相同的起點(diǎn)A1，∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
通性通法
四點(diǎn)共面的證明方法
（1）先證三向量共面，即 ＝x ＋y ，又三向量有公共點(diǎn)P，
則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
（2）若存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得對(duì)于空間中任一
點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有 ＝x ＋y ＋z ，
且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判定
在下列條件下，點(diǎn)P是否與A，B，M共面.
（1） ＋ ＝3 － ；
解： ∵ ＋ ＝3 － ，
∴ ＝ ＋（ － ）＋（ － ）
＝ ＋ ＋ ，
∴ － ＝ ＋ ，
∴ ＝ ＋ ，
∴ ， ， 為共面向量，
又 ， ， 過同一點(diǎn)P，
∴P與A，B，M共面.
（2） ＝4 － － .
解： 由 ＝4 － － ，得4＋（－1）＋（－1）
＝2≠1.
又 ＝x ＋y ＋z 中，P，A，B，M共面的條件為x
＋y＋z＝1，
∴P與A，B，M不共面.
1. 下列說(shuō)法正確的是（　　）
A. 空間的任意三個(gè)向量都不共面
B. 空間的任意兩個(gè)向量都共面
C. 三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面
D. 若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫瑒t這三個(gè)向量一定也共面
2. 已知 ， 是空間兩個(gè)不共線的向量， ＝3 －2 ，那
么必有（　　）
A. ， 共線 B. ， 共線
C. ， ， 共面 D. ， ， 不共面
解析： 　由共面向量定理知， ， ， 共面.
3. （2024·淮安月考）已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)
O，有 ＝x ＋ ＋ ，則x的值為（　　）
A. 1 B. 0
C. 3 D.
解析： 　∵ ＝x ＋ ＋ ，且M，A，B，C四點(diǎn)共
面，∴x＋ ＋ ＝1，∴x＝ .
4. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，A1D1的中點(diǎn)，
問： ， 與 是否共面？
解： ＝ ＋ ＋ ＝ － ＋ ＝ （ ＋
）－ ＝ － .又 ， 不共線，根據(jù)共面向量
定理可知向量 ， ， 共面.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（　　）
A. ＝2 － －
B. ＝ ＋ ＋
C. ＋ ＋ ＝0
D. ＋ ＋ ＋ ＝0
解析：C選項(xiàng)中， ＝－ － ，∴點(diǎn)M，A，B，C共面.
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2. （2024·蘇州月考）已知i與j不共線，則存在兩個(gè)非零常數(shù)m，
n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析： 若i與j不共線，則k與i，j共面 存在唯一的一對(duì)有序
實(shí)數(shù)組（x，y），使k＝xi＋yj，x，y不一定非零.故選A.
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3. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量共面的是（　　）
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
解析： 　如圖，連接CD1，則 ＝ ，∴
＝ － ，故 ， ， 共面，選項(xiàng)A、
B、D均不共面.
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4. 下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（　　）
A. 若向量a，b平行，則a，b所在直線平行
B. 若向量a，b所在直線是異面直線，則a，b不共面
C. 若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量 ， 不共面
D. 若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量 ， ， 不共面
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解析： 若向量a，b平行，則向量a，b所在的直線平行或重
合，則A不正確；若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量
a，b是共面向量，則B不正確；空間中的任意兩個(gè)向量通過平移可
在一個(gè)平面內(nèi)，因此 ， 是共面的，則C不正確；利用反證法
即可證明若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量 ， ， 不
共面，則D正確.故選D.
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5. （多選）下列條件中，點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)一定共面的是
（　　）
A. ＝ ＋
B. ＝ ＋ ＋
C. ＝ ＋ ＋
D. ＋ ＋ ＋ ＝0
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解析： 　由 ＝ ＋ 得點(diǎn)A，B，C共線，故P，A，
B，C共面；對(duì)于B， ＋ ＋ ＝1，故P，A，B，C共面；對(duì)于
C、D，顯然不滿足，故C、D錯(cuò)誤.故選A、B.
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6. （多選）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，P，M為空間內(nèi)任意兩
點(diǎn)，且有 ＝ ＋6 ＋7 ＋4 ，則下列結(jié)論正確的
有（　　）
A. ， ， 共面
B. ， ， 不共面
C. M∈平面A1BCD1
D. M 平面A1BCD1
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解析： 　因?yàn)?＝ ＋6 ＋7 ＋4 ，所以 －
＝ ＋6 ＋6 ＋4 ，所以 ＝ ＋6 ＋
4 ＝ ＋2 ＋4 ，所以 － ＝2 ＋
4 ，所以 ＝2 ＋4 ，所以 ， ， 共面.
又因?yàn)锳1M與平面A1BCD1有公共點(diǎn)A1，因此，M∈平面A1BCD1.
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7. 已知向量a，b，c不共面，則使向量m＝2a－b，n＝b＋c，p
＝xa＋5b＋3c共面的實(shí)數(shù)x的值是 .
解析：因?yàn)橄蛄縨，n，p共面，所以存在實(shí)數(shù)s，t，使p＝sm＋
tn，即xa＋5b＋3c＝2sa＋（t－s）b＋tc，所以t＝3，s＝－
2，x＝2s＝－4.
－4　
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8. （2024·泰州月考）已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿
足任意三點(diǎn)均不共線且四點(diǎn)共面，且 ＝2x ＋3y ＋
4z ，則2x＋3y＋4z＝ .
解析：因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線且四點(diǎn)共
面，所以存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得 ＝λ1 ＋λ2 ＋
λ3 且λ1＋λ2＋λ3＝1.因?yàn)?＝2x ＋3y ＋4z ＝－
2x －3y －4z ，所以λ1＋λ2＋λ3＝－2x－3y－4z＝1，
所以2x＋3y＋4z＝－1.
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9. 已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O是平面ABC外任意一點(diǎn)，點(diǎn)P滿
足 ＋2 ＝6 －3 ，則P與平面ABC的關(guān)系是
.
解析：由題意得 ＝ ＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，且
A，B，C三點(diǎn)不共線，∴點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面.
P在平面
ABC內(nèi)　
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10. 已知P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別在PA，BD
上，且 ＝ ， ＝ ，求證：MN∥平面PBC.
證明： ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋
＋ ＝－ （ － ）＋ ＋ （ ＋ ）＝－ ＋
.
根據(jù)共面向量定理可知 ， ， 共面.
又因?yàn)镸N不在平面PBC內(nèi)，所以MN∥平面PBC.
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11. （2024·鎮(zhèn)江月考）已知向量e1，e2不共線， ＝e1＋e2， ＝
2e1＋8e2， ＝3e1－5e2，則（　　）
A. 與 共線
B. 與 共線
C. A，B，C，D四點(diǎn)不共面
D. A，B，C，D四點(diǎn)共面
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解析： 　對(duì)于A，∵ ≠ ，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得 ＝λ
成立，∴ 與 不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵ ＝2e1＋8e2，
＝3e1－5e2，∴ ＝ － ＝e1－13e2，又 ≠ ，∴不
存在實(shí)數(shù)λ，使得 ＝λ 成立，∴ 與 不共線，B錯(cuò)
誤；對(duì)于C、D，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則有 ＝x ＋
y ＝（x＋2y）e1＋（x＋8y）e2＝3e1－5e2，
∴即故 ＝ － ，故A，
B，C，D四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤，D正確.
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12. （多選）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足 ＝m ＋
n ，其中m＋n＝1，則結(jié)論正確的有（　　）
A. P∈直線AB B. P 直線AB
C. O，A，B，P四點(diǎn)共面 D. P，A，B三點(diǎn)共線
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解析： 　因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以 ＝（1－
n） ＋n ，即 － ＝n（ － ），即 ＝n ，
所以 與 共線.又 ， 有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三
點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB. 因?yàn)?＝m ＋n ，故
O，A，B，P四點(diǎn)共面.故選A、C、D.
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13. 如圖，M是三棱錐P-ABC的底面△ABC的重心，若 ＝x ＋
y ＋z ，則x＋y－z＝（　　）
A. B.
C. D. 1
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解析： 　因?yàn)镸為△ABC的重心，所以 ＝ （ ＋ ）＝
（ － ＋ － ），所以 ＝ ＋ ＝ ＋
＋ ，又 ＝x ＋y ＋z ，所以x＝y(tǒng)＝z＝ ，所以x
＋y－z＝ .故選A.
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14. （2024·南通質(zhì)檢）在正四棱錐P-ABCD中，M，N，S分別是棱
PA，PB，PC上的點(diǎn)，且 ＝x ， ＝y(tǒng) ， ＝z ，
其中x，y，z∈（0，1].
（1）若x＝1，y＝ ，且PD∥平面MNS，求z的值；
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解： 因?yàn)?＝x ， ＝y(tǒng) ， ＝z ，且x
＝1，y＝ ，所以 ＝ ， ＝ .
在正四棱錐P-ABCD中，由 ＝ ＋ ，可得 －
＝ － ＋ － ，即 ＝ － ＋ .
又因?yàn)镻D∥平面MNS，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得 ＝
λ ＋μ ，即 ＝λ（ － ）＋μ（ －
）＝（－λ－μ） ＋ ＋μz .
又因?yàn)?＝ － ＋ ，且 ， ， 不共面，所
以解得z＝1.
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（2）若x＝ ，y＝ ，且點(diǎn)D∈平面MNS，求z的值.
解： 由（1）可知 ＝ － ＋ ，
又因?yàn)?＝x ， ＝y(tǒng) ， ＝z ，且x＝ ，y
＝ ，可得 ＝ －2 ＋ .
因?yàn)辄c(diǎn)D∈平面MNS，即D，M，N，S四點(diǎn)共面，所以
－2＋ ＝1，解得z＝ .
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15. 已知四邊形ABCD是平行四邊形，P是 ABCD
所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為
△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.
（1）試用向量方法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
證明： 分別連接PE，PF，PG，
PH并延長(zhǎng)交對(duì)邊于點(diǎn)M，N，Q，R.
因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的
重心，所以M，N，Q，R為所在邊的
中點(diǎn)，順次連接M，N，Q，R得到的四邊形為平行四邊形，且有 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，
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所以 ＝ ＋ ＝（ － ）＋（ － ）＝ （ － ）＋ （ － ）＝ （ ＋ ）.
又因?yàn)?＝ － ＝ － ＝ ，所以 ＝ （ ＋ ），即 ＝ ＋ .
由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
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（2）試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量方法
證明你的判斷.
證明： 平面EFGH∥平面ABCD.
證明如下：由（1）得 ＝ ，故MQ∥EG.
又因?yàn)镸Q 平面ABCD，EG 平面
ABCD，所以EG∥平面ABCD.
又因?yàn)?＝ － ＝ － ＝ ，所以
MN∥EF.
又因?yàn)镸N 平面ABCD，EF 平面ABCD，所以EF∥平
面ABCD.
因?yàn)镋G與EF交于點(diǎn)E，所以平面EFGH∥平面ABCD.
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