資源簡介

6.2　空間向量的坐標表示
6.2.1　空間向量基本定理
1.設p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基底，則p是q的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.若{a，b，c}是空間的一個基底，則下列向量不共面的是（　　）
A.b＋c，b，b－c B.b，a＋b，a－b
C.a＋b，a－b，c D.a＋b，a＋b＋c，c
3.（2024·宿遷月考）若{a，b，c}為空間的一個基底，且存在實數x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z的值分別為（　　）
A.0，0，1 B.0，0，0
C.1，0，1 D.0，1，0
4.已知空間四邊形OABC中，M在AO上，滿足＝，N是BC的中點，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量為（　　）
A.a＋b＋c B.a＋b－c
C.－a＋b＋c D.a－b＋c
5.（多選）已知A，B，C，D，E是空間中的五點，且任意三點均不共線.若{，，}與{，，}均不能構成空間的一個基底，則下列結論中正確的有（　　）
A.{，，}不能構成空間的一個基底
B.{，，}能構成空間的一個基底
C.{，，}不能構成空間的一個基底
D.{，，}能構成空間的一個基底
6.（多選）（2024·南京質檢）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等.下列結論中正確的是（　　）
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
7.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點O為空間任意一點，設＝a，＝b，＝c，則向量用a，b，c表示為　　　　.
8.已知{a，b，c}是空間的一個基底，{a＋b，a－b，3c}是空間的另一個基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示為m＝3a＋5b＋9c，則m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示為　　　　.
9.（2024·鎮江月考）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分別是DC，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值為　　　　.
10.已知平行六面體OABC-O'A'B'C'中，＝a，＝b，＝c.
（1）用a，b，c表示向量；
（2）設G，H分別是側面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示.
11.已知＝－3a－3b＋3c，＝5a＋3b－5c，＝a＋b－c，其中{a，b，c}是空間的一個基底，則直線AD與BC的位置關系是（　　）
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或重合
12.（2024·揚州質檢）設OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則（x，y，z）＝（　　）
A. B.
C. D.
13.（2024·鹽城月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點，則｜｜＝　　　　.
14.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E，F分別為BB1，BC的中點.
（1）求A1B和B1C的夾角；
（2）求證：AC1⊥EF.
15.如圖，在三棱錐P-ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM＝3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求證：＋＋為定值，并求出該定值.
6.2.1　空間向量基本定理
1.B　當非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以構成基底，否則不能構成基底.當{a，b，c}為基底時，一定有a，b，c為非零向量.因此p / q，q p.
2.C　對于A選項，b＝（b＋c）＋（b－c），所以b＋c，b，b－c三個向量共面；對于B選項，b＝（a＋b）－（a－b），所以b，a＋b，a－b三個向量共面；對于C選項，利用反證法可證得a＋b，a－b，c三個向量不共面；對于D選項，a＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三個向量共面.故選C.
3.B　若x，y，z中存在一個不為0的數，不妨設x≠0，則a＝－b－c，∴a，b，c共面，這與{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.
4.C　＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故選C.
5.AC　由題意可得空間五點A，B，C，D，E共面.所以A，B，C，D，E這五點中，任意兩點組成的三個向量都不可能構成空間的一個基底，所以A、C正確，B、D錯誤.故選A、C.
6.ACD　依題意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四點共面.因為＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，則A1M∥D1P，結合線面平行的判定定理可知A、C、D正確.而B1Q與D1P不平行，所以B不正確.故選A、C、D.
7.a－b＋c　解析：∵＝－2，∴－＝－2（－），∴b－a＝－2（－c），∴＝a－b＋c.
8.4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）　解析：由題意知，m＝3a＋5b＋9c，設m＝x（a＋b）＋y（a－b）＋z（3c），則有解得則m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示為m＝4（a＋b）－（a－b）＋3（3c）.
9.0　解析：根據題意可得，·＝（＋＋）·（＋＋） ＝（－＋＋）·（－－－） ＝ － －＝×4－1－×4＝0，從而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值為0.
10.解：（1）＝＋
＝－＋
＝b－a＋c.
（2）＝＋＝－＋
＝－（＋）＋（＋）
＝－（a＋b＋c＋b）＋（a＋b＋c＋c）
＝（c－b）.
11.B　因為＝－3，所以A，B，C，D四點共面.因為＝＋＋＝3a＋b－3c，所以對 λ∈R，≠λ，所以直線AD與BC不平行，故直線AD與BC相交.
12.A　如圖所示，連接AG1并延長交BC于點E，則點E為BC的中點，＝（＋）＝（－2＋），＝＝（－2＋），∵＝3＝3（－），∴＝＝（＋）＝（＋－＋）＝＋＋，故選A.
13.　解析：設＝a，＝b，＝c，因為AB＝AD＝1，PA＝2，所以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因為AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1.易得＝（－a＋b＋c），所以｜｜2＝（－a＋b＋c）2＝[a2＋b2＋c2＋2×（－a·b－a·c＋b·c）]＝×[12＋12＋22＋2×（0－1＋1）]＝，所以｜｜＝.
14.解：（1）設＝a，＝b，＝c，
則＝－＝a－c，｜｜＝，
＝＝－＝b－c，
｜｜＝，
∴·＝（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，
∴cos＜，＞＝＝＝.
又＜，＞∈[0，π]，
∴＜，＞＝，∴A1B和B1C的夾角為.
（2）證明：∵＝a＋b＋c，
＝＝
＝（－）＝（b－c），
·＝（a＋b＋c）·（b－c）
＝（a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2）
＝（0－0＋1－0＋0－1）＝0，
∴⊥，∴AC1⊥EF.
15.證明：連接AG并延長交BC于點H（圖略），由題意，可令{，，}為空間的一個基底.
＝＝（＋）＝＋×＝＋×（＋）＝＋（－）＋（－）＝＋＋.
連接DM（圖略）.因為點D，E，F，M共面，所以存在實數λ，μ，使得＝λ＋μ，即－＝λ（－）＋μ（－），所以＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）m＋λn＋μt.
由空間向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt，所以＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，為定值.
3 / 36.2.1　空間向量基本定理
新課程標準解讀 核心素養
1.理解空間向量基本定理及其推論 數學抽象、直觀想象
2.會根據需要選擇適當的基底來表示任一空間向量 數學運算
3.會用向量基底法求解簡單的幾何問題 數學運算、邏輯推理
　　如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，在AB，AD，AA1上分別取單位向量e1，e2，e3.
【問題】　（1）e1，e2，e3共面嗎？
（2）如何用e1，e2，e3表示向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　空間向量基本定理
1.定理：如果三個向量e1，e2，e3　　　　，那么對空間任一向量p，存在　　　　的有序實數組（x，y，z），使p＝　　　　　　　　，其中{e1，e2，e3}稱為空間的一個　　　　，e1，e2，e3叫作　　　　.
2.推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在唯一的有序實數組（x，y，z），使得＝　　　　　　　　.
【想一想】
1.構成基底的三個向量中，可以有零向量嗎？
2.在四棱錐O-ABCD中，可表示為＝x＋y＋z且唯一，這種說法對嗎？
知識點二　正交基底與單位正交基底
1.正交基底：如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底.
2.單位正交基底：當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）空間向量的基底是唯一的.（　　）
（2）若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量.（　　）
（3）已知A，B，M，N是空間四點，若，，不能構成空間的一個基底，則A，B，M，N共面.（　　）
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，可以構成空間的一個基底的是（　　）
A.，，　　　 　 B.，，
C.，， D.，，
3.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，則＝（　　）
A.i＋j＋k B.i＋j＋k
C.3i＋2j＋5k D.3i＋2j－5k
題型一 基底的判斷
【例1】　（鏈接教科書第20頁練習1題）（多選）已知{a，b，c}是空間的一個基底，則下列選項中不能構成空間的一個基底的是（　　）
A.{a，a－2b，2a＋b} B.{b，b＋c，b－c}
C.{2a－3b，a＋b，a－b} D.{a＋b，b－c，c＋2a}
通性通法
判斷基底的基本思路
（1）判斷一組向量能否構成空間的一個基底，實質是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以構成一個基底；
（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的方向向量為基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷.
【跟蹤訓練】
1.若向量，，的起點M與終點A，B，C互不重合且無三點共線，且滿足下列關系（O是空間任一點），則能使向量，，構成空間一個基底的關系是（　　）
A.＝＋＋
B.≠＋
C.＝＋＋
D.＝2－
2.已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底.
題型二 用基底表示空間向量
【例2】　（鏈接教科書第19頁例1）如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，點M，N分別是BC'，B'C'的中點，試用基底{a，b，c}表示向量，.
通性通法
用基底表示向量的策略
（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及向量數乘的運算律；
（2）若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.
【跟蹤訓練】
如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點.用基向量，，表示和.
題型三 空間向量基本定理的應用
【例3】　如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱的長度都為1，且兩兩夾角為60°.
（1）求AC1的長；
（2）求BD1與AC所成角的余弦值.
通性通法
用空間向量基本定理解決立體幾何問題的步驟
　　首先根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底，如果存在三個兩兩垂直的空間向量也可以確定一個正交基底.然后根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算用確定的基底（或已知基底）表示目標向量，最后把空間向量的運算轉化為基向量的運算.
【跟蹤訓練】
　（2024·揚州月考）如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
（1）證明：A，E，C1，F四點共面；
（2）若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
1.（多選）下列結論正確的是（　　）
A.三個非零向量能構成空間的一個基底，則它們不共面
B.兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線
C.若a，b是兩個不共線的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），則{a，b，c}構成空間的一個基底
D.若，，不能構成空間的一個基底，則O，A，B，C四點共面
2.（2024·鹽域月考）若{a，b，c}是空間的一個基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，則可以與向量m，n構成空間的另一個基底的向量是（　　）
A.a　　　　　　　　　 B.b
C.c D.2a
3.在四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝　　　.（用a，b，c表示）
4.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求證：AB⊥AC1.
6.2.1　空間向量基本定理
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.不共面　唯一　xe1＋ye2＋ze3　基底　基向量　2.x＋y＋z
想一想
1.提示：不可以.
2.提示：對.
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.C　由題意知，，不共面，可以構成空間向量的一個基底.
3.C　因為＝＋＋＝＋＋，所以＝3i＋2j＋5k，故選C.
【典型例題·精研析】
【例1】　ABC　只有D選項中的三個向量不共面，其他選項中的三個向量都共面.
跟蹤訓練
1.C　A中，因為＋＋＝1，所以M，A，B，C四點共面，不滿足題意；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四點可能共面，不滿足題意；D中，因為＝2－，所以M，A，B，C四點共面，不滿足題意.只有C中式子滿足題意，故選C.
2.解：設＝x＋y，則e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3），
即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3，
所以此方程組無解.
即不存在實數x，y，使得＝x＋y，
所以，，不共面，
所以{，，}能作為空間的一個基底.
【例2】　解：＝＋
＝＋（＋）
＝＋＋
＝＋（－）＋
＝＋＋
＝（a＋b＋c）.
連接A'N（圖略），
＝＋＝＋（＋）
＝＋（＋）
＝a＋b＋c.
跟蹤訓練
　解：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋×（＋）＝＋＋.
＝＋＝＋＋＋＝＋＋.
【例3】　解：（1）設＝a，＝b，＝c，
則｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，
＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
｜｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6，
所以｜｜＝，即AC1的長為.
（2）＝b＋c－a，＝a＋b，
所以｜｜＝，｜｜＝，
·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
所以cos＜，＞＝＝.
所以AC與BD1所成角的余弦值為.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：∵＝＋＋＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋，
∴，，共面，又它們有公共點A，
∴A，E，C1，F四點共面.
（2）∵＝－＝＋－（＋）＝＋－－＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
隨堂檢測
1.ABD　由基底的概念可知A、B、D正確.對于C，因為滿足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能構成基底，故錯誤.
2.C　由題意知，a，b，c不共面，對于選項A，a＝[（a＋b）＋（a－b）]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；對于選項B，b＝[（a＋b）－（a－b）]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；對于選項D，由選項A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故選C.
3.a＋b＋c　解析：＝＋＝＋×（＋）＝＋×（－＋－）＝＋＋＝a＋b＋c.
4.證明：設＝a，＝b，＝c，
則＝＋＝b＋c.
所以·＝a·（b＋c）
＝a·b＋a·c.
因為AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
所以a·b＝0，a·c＝0，
得·＝0，故AB⊥AC1.
4 / 4(共59張PPT)
6.2.1　空間向量基本定理
新課程標準解讀 核心素養
1.理解空間向量基本定理及其推論 數學抽象、直觀想象
2.會根據需要選擇適當的基底來表
示任一空間向量 數學運算
3.會用向量基底法求解簡單的幾何
問題 數學運算、邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，在AB，AD，AA1上分別取單位向量e1，e2，e3.
【問題】　（1）e1，e2，e3共面嗎？
（2）如何用e1，e2，e3表示向量 ？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　空間向量基本定理
1. 定理：如果三個向量e1，e2，e3 ，那么對空間任一向量
p，存在 的有序實數組（x，y，z），使p＝
，其中{e1，e2，e3}稱為空間的一個 ，e1，e2，e3
叫作 .
不共面　
唯一　
xe1＋ye2
＋ze3　
基底　
基向量　
2. 推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，
都存在唯一的有序實數組（x，y，z），使得 ＝
.
x ＋y
＋z 　
【想一想】
1. 構成基底的三個向量中，可以有零向量嗎？
提示：不可以.
2. 在四棱錐O-ABCD中， 可表示為 ＝x ＋y ＋z 且唯
一，這種說法對嗎？
提示：對.
知識點二　正交基底與單位正交基底
1. 正交基底：如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這
個基底叫作正交基底.
2. 單位正交基底：當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱
這個基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）空間向量的基底是唯一的. （　×　）
（2）若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向
量. （　√　）
（3）已知A，B，M，N是空間四點，若 ， ， 不能構
成空間的一個基底，則A，B，M，N共面. （　√　）
×
√
√
2. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，可以構成空間的一個基底的是
（　　）
解析： 　由題意知 ， ， 不共面，可以構成空間向
量的一個基底.
3. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若 ＝3i， ＝2j， ＝5k，
則 ＝（　　）
A. i＋j＋k
C. 3i＋2j＋5k D. 3i＋2j－5k
解析： 　因為 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以
＝3i＋2j＋5k，故選C.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 基底的判斷
【例1】　（鏈接教科書第20頁練習1題）（多選）已知{a，b，c}是
空間的一個基底，則下列選項中不能構成空間的一個基底的是（　　）
A. {a，a－2b，2a＋b}
B. {b，b＋c，b－c}
C. {2a－3b，a＋b，a－b}
D. {a＋b，b－c，c＋2a}
解析： 　只有D選項中的三個向量不共面，其他選項中的三個向
量都共面.
通性通法
判斷基底的基本思路
（1）判斷一組向量能否構成空間的一個基底，實質是判斷這三個向
量是否共面，若不共面，就可以構成一個基底；
（2）判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體
等幾何體，用它們從同一頂點出發的三條棱對應的方向向量為
基底，并在此基礎上構造其他向量進行相關的判斷.
【跟蹤訓練】
1. 若向量 ， ， 的起點M與終點A，B，C互不重合且無三
點共線，且滿足下列關系（O是空間任一點），則能使向量 ，
， 構成空間一個基底的關系是（　　）
解析： 　A中，因為 ＋ ＋ ＝1，所以M，A，B，C四點共
面，不滿足題意；B中， ≠ ＋ ，但可能 ＝λ ＋
μ ，所以M，A，B，C四點可能共面，不滿足題意；D中，
因為 ＝2 － ，所以M，A，B，C四點共面，不滿足題
意.只有C中式子滿足題意，故選C.
2. 已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且 ＝e1＋2e2－e3，
＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，試判斷{ ， ， }能
否作為空間的一個基底.
解：設 ＝x ＋y ，則e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）
＋y（e1＋e2－e3），
即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3，
所以此方程組無解.
即不存在實數x，y，使得 ＝x ＋y ，
所以 ， ， 不共面，
所以{ ， ， }能作為空間的一個基底.
題型二 用基底表示空間向量
【例2】　（鏈接教科書第19頁例1）如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'
中，已知 ＝a， ＝b， ＝c，點M，N分別是BC'，B'C'的
中點，試用基底{a，b，c}表示向量 ， .
解： ＝ ＋
＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋
＝ ＋ （ － ）＋
＝ ＋ ＋
＝ （a＋b＋c）.
連接A'N（圖略），
＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）
＝ ＋ （ ＋ ）＝a＋ b＋ c.
通性通法
用基底表示向量的策略
（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行
四邊形法則，以及向量數乘的運算律；
（2）若沒給定基底時，首先選擇基底，選擇時要盡量使所選的基向
量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角已知
或易求.
【跟蹤訓練】
如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點.用基向量 ， ， 表示 和 .
解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
（ － ）＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ＋ . ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .
題型三 空間向量基本定理的應用
【例3】　如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點
的三條棱的長度都為1，且兩兩夾角為60°.
（1）求AC1的長；
解： 設 ＝a， ＝b， ＝c，
則｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，
＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝ .
｜ ｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2
（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（ ＋ ＋ ）＝6，
所以｜ ｜＝ ，即AC1的長為 .
（2）求BD1與AC所成角的余弦值.
解： ＝b＋c－a， ＝a＋b，
所以｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
· ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ .
所以AC與BD1所成角的余弦值為 .
通性通法
用空間向量基本定理解決立體幾何問題的步驟
　　首先根據已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基
底，如果存在三個兩兩垂直的空間向量也可以確定一個正交基底.然
后根據三角形法則及平行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的
運算用確定的基底（或已知基底）表示目標向量，最后把空間向量的
運算轉化為基向量的運算.
【跟蹤訓練】
　（2024·揚州月考）如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分別在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1.
（1）證明：A，E，C1，F四點共面；
解： 證明：∵ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋
（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋（ ＋
）＝ ＋ ，
∴ ， ， 共面，又它們有公共點A，
∴A，E，C1，F四點共面.
（2）若 ＝x ＋y ＋z ，求x＋y＋z.
解： ∵ ＝ － ＝ ＋ －（ ＋ ）＝ ＋ － － ＝－ ＋ ＋ ，
又 ＝x ＋y ＋z ，
∴x＝－1，y＝1，z＝ ，∴x＋y＋z＝ .
1. （多選）下列結論正確的是（　　）
A. 三個非零向量能構成空間的一個基底，則它們不共面
B. 兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這
兩個向量共線
C. 若a，b是兩個不共線的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且
λμ≠0），則{a，b，c}構成空間的一個基底
解析： 　由基底的概念可知A、B、D正確.對于C，因為滿足
c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能構成基底，故錯誤.
2. （2024·鹽域月考）若{a，b，c}是空間的一個基底，且向量m＝
a＋b，n＝a－b，則可以與向量m，n構成空間的另一個基底的
向量是（　　）
A. a B. b
C. c D. 2a
解析： 由題意知，a，b，c不共面，對于選項A，a＝ [（a
＋b）＋（a－b）]＝ m＋ n，故a，m，n共面，排除A；對于
選項B，b＝ [（a＋b）－（a－b）]＝ m－ n，故b，m，n
共面，排除B；對于選項D，由選項A得，2a＝m＋n，故2a，
m，n共面，排除D. 故選C.
3. 在四面體OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，D為BC的中
點，E為AD的中點，則 ＝ .（用a，b，c表
示）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ×
（ － ＋ － ）＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ c.
a＋ b＋ c　
4. 如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求證：AB⊥AC1.
證明：設 ＝a， ＝b， ＝c，
則 ＝ ＋ ＝b＋c.
所以 · ＝a·（b＋c）＝a·b＋a·c.
因為AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
所以a·b＝0，a·c＝0，
得 · ＝0，故AB⊥AC1.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 設p：a，b，c是三個非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個基
底，則p是q的（　　）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析： 　當非零向量a，b，c不共面時，{a，b，c}可以構成
基底，否則不能構成基底.當{a，b，c}為基底時，一定有a，
b，c為非零向量.因此p / q，q p.
2. 若{a，b，c}是空間的一個基底，則下列向量不共面的是
（　　）
A. b＋c，b，b－c B. b，a＋b，a－b
C. a＋b，a－b，c D. a＋b，a＋b＋c，c
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解析： 　對于A選項，b＝ （b＋c）＋ （b－c），所以b＋
c，b，b－c三個向量共面；對于B選項，b＝ （a＋b）－ （a
－b），所以b，a＋b，a－b三個向量共面；對于C選項，利用
反證法可證得a＋b，a－b，c三個向量不共面；對于D選項，a
＋b＋c＝（a＋b）＋c，所以a＋b，a＋b＋c，c三個向量共
面.故選C.
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3. （2024·宿遷月考）若{a，b，c}為空間的一個基底，且存在實數
x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z的值分別為（　　）
A. 0，0，1 B. 0，0，0
C. 1，0，1 D. 0，1，0
解析： 　若x，y，z中存在一個不為0的數，不妨設x≠0，則a
＝－ b－ c，∴a，b，c共面，這與{a，b，c}是基底矛盾，
故x＝y＝z＝0.
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4. 已知空間四邊形OABC中，M在AO上，滿足 ＝ ，N是BC的
中點，且 ＝a， ＝b， ＝c，用a，b，c表示向量 為
（　　）
解析： 　 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝
－ ＋ ＋ ＝－ a＋ b＋ c.故選C.
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5. （多選）已知A，B，C，D，E是空間中的五點，且任意三點均
不共線.若{ ， ， }與{ ， ， }均不能構成空間的
一個基底，則下列結論中正確的有（　　）
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解析： 　由題意可得空間五點A，B，C，D，E共面.所以
A，B，C，D，E這五點中，任意兩點組成的三個向量都不可能
構成空間的一個基底，所以A、C正確，B、D錯誤.故選A、C.
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6. （多選）（2024·南京質檢）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1
中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的
各棱長均相等.下列結論中正確的是（　　）
A. A1M∥D1P
B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1
D. A1M∥平面D1PQB1
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解析： 　依題意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1
四點共面.因為 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋
＝ ＋ ，所以 ＝ ，則A1M∥D1P，結合線面平行
的判定定理可知A、C、D正確.而B1Q與D1P不平行，所以B不正
確.故選A、C、D.
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7. 如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點O為空間任意
一點，設 ＝a， ＝b， ＝c，則向量 用a，b，c表示
為 .
解析：∵ ＝－2 ，∴ － ＝－2（ － ），∴b－a
＝－2（ －c），∴ ＝ a－ b＋c.
a－ b＋c　
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8. 已知{a，b，c}是空間的一個基底，{a＋b，a－b，3c}是空間
的另一個基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示為m＝3a＋5b
＋9c，則m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示為
.
4（a＋b）
－（a－b）＋3（3c）　
解析：由題意知，m＝3a＋5b＋9c，設m＝x（a＋b）＋y（a
－b）＋z（3c），則有解得則m在基底
{a＋b，a－b，3c}下可表示為m＝4（a＋b）－（a－b）＋3
（3c）.
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9. （2024·鎮江月考）如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝
2，AD＝1，E，F，G分別是DC，AB，CC1的中點，則異面直
線A1E與GF所成角的余弦值為 .
0　
解析：根據題意可得， · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋
＋ ） ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝
－ － ＝ ×4－1－ ×4＝0，從而得到A1E和GF
垂直，故其所成角的余弦值為0.
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10. 已知平行六面體OABC-O'A'B'C'中， ＝a， ＝b， ＝c.
（1）用a，b，c表示向量 ；
解： ＝ ＋ ＝ － ＋
＝b－a＋c.
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（2）設G，H分別是側面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，
b，c表示 .
解： ＝ ＋ ＝－ ＋
＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）
＝－ （a＋b＋c＋b）＋ （a＋b＋c＋c）
＝ （c－b）.
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11. 已知 ＝－3a－3b＋3c， ＝5a＋3b－5c， ＝a＋b－
c，其中{a，b，c}是空間的一個基底，則直線AD與BC的位置
關系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 平行或重合
解析： 　因為 ＝－3 ，所以A，B，C，D四點共面.因為
＝ ＋ ＋ ＝3a＋b－3c，所以對 λ∈R，
≠λ ，所以直線AD與BC不平行，故直線AD與BC相交.
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12. （2024·揚州質檢）設OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是
OG1上的一點，且OG＝3GG1，若 ＝x ＋y ＋z ，則
（x，y，z）＝（　　）
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解析： 　如圖所示，連接AG1并延長交BC于點
E，則點E為BC的中點， ＝ （ ＋ ）
＝ （ －2 ＋ ）， ＝ ＝ （
－2 ＋ ），∵ ＝3 ＝3（ － ），∴ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ＋ ）＝ ＋ ＋ ，故選A.
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13. （2024·鹽城月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊
長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB，AD的夾角都等
于60°.若M是PC的中點，則｜ ｜＝ .
　
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解析：設 ＝a， ＝b， ＝c，因為AB＝AD＝1，PA＝
2，所以｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2.又因為AB⊥AD，∠PAB
＝∠PAD＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1× cos 60°＝1.
易得 ＝ （－a＋b＋c），所以｜ ｜2＝ （－a＋b＋
c）2＝ [a2＋b2＋c2＋2×（－a·b－a·c＋b·c）]＝ ×[12＋12
＋22＋2×（0－1＋1）]＝ ，所以｜ ｜＝ .
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14. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E，F分別為BB1，BC的中點.
（1）求A1B和B1C的夾角；
解： 設 ＝a， ＝b， ＝c，
則 ＝ － ＝a－c，｜ ｜＝ ，
＝ ＝ － ＝b－c，｜ ｜＝ ，
∴ · ＝（a－c）·（b－c）＝a·b－
a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋1＝1，
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∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
又＜ ， ＞∈[0，π]，
∴＜ ， ＞＝ ，∴A1B和B1C的夾角為 .
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（2）求證：AC1⊥EF.
解： 證明：∵ ＝a＋b＋c， ＝ ＝
＝ （ － ）＝ （b－c），
· ＝（a＋b＋c）· （b－c）
＝ （a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2）
＝ （0－0＋1－0＋0－1）＝0，
∴ ⊥ ，∴AC1⊥EF.
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15. 如圖，在三棱錐P-ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG
上，且PM＝3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，
PB，PC于點D，E，F，若 ＝m ， ＝n ， ＝
t ，求證： ＋ ＋ 為定值，并求出該定值.
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證明：連接AG并延長交BC于點H（圖略），由題意，可令
{ ， ， }為空間的一個基底.
＝ ＝ （ ＋ ）＝ ＋ × ＝ ＋ ×
（ ＋ ）＝ ＋ （ － ）＋ （ － ）＝
＋ ＋ .
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連接DM（圖略）.因為點D，E，F，M共面，所以存在實數
λ，μ，使得 ＝λ ＋μ ，即 － ＝λ（ －
）＋μ（ － ），所以 ＝（1－λ－μ） ＋λ
＋μ ＝（1－λ－μ）m ＋λn ＋μt .
由空間向量基本定理，知 ＝（1－λ－μ）m， ＝λn， ＝
μt，所以 ＋ ＋ ＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，為定值.
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