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第2課時　空間向量數(shù)量積的坐標表示及空間兩點間的距離公式
1.若向量a＝（4，2，－4），b＝（6，－3，2），則（2a－3b）·（a＋2b）＝（　　）
A.－212 B.－106
C.106 D.212
2.（2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，則a與c的夾角為（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.已知空間三點A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0，2），若向量3－與＋k垂直，則k的值為（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.在空間直角坐標系中，已知點A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則△ABC一定是（　　）
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.（多選）若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），則（　　）
A.cos＜a，b＞＝－ B.a⊥b
C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜
6.（多選）已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），則下列結論中正確的是（　　）
A.若｜a｜＝2，則m＝±
B.若a⊥b，則m＝－1
C.不存在實數(shù)λ，使得a＝λb
D.若a·b＝－1，則a＋b＝（－1，－2，－2）
7.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），c＝（1，0，1），p＝a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝　　　　.
8.（2024·南京月考）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），若ka＋b與b互相垂直，則實數(shù)k＝　　　　.
9.若△ABC的三個頂點分別為A（0，0，），B（－，，），C（－1，0，），則角A的大小為　　　　.
10.已知向量a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）.
（1）求a·b；
（2）若λ1a＋λ2b與z軸垂直，求λ1，λ2滿足的關系式.
11.已知向量＝（2，－2，3），向量＝（x，1－y，4z），且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為（0，，－），則（x，y，z）＝（　　）
A.（－2，－4，－1） B.（－2，－4，1）
C.（－2，4，－1） D.（2，－4，－1）
12.（2024·蘇州月考）已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），則｜b－a｜的最小值是　　　　.
13.△ABC的頂點分別為A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1），則AC邊上的中線BM的長為　　　　；高BD的長為　　　　.
14.已知點A（－2，3，－3），B（4，5，9）.
（1）設平面α經(jīng)過線段AB的中點，且與直線AB垂直，M（x，y，z）是平面α內任意一點，求x，y，z滿足的關系式；
（2）若點P（a，b，c）到A，B兩點的距離相等，求a，b，c滿足的關系式.
15.（2024·連云港質檢）已知空間三點A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）.
（1）求以和為鄰邊的平行四邊形的面積；
（2）若｜a｜＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標.
第2課時　空間向量數(shù)量積的坐標表示及空間兩點間的距離公式
1.A　（2a－3b）·（a＋2b）＝（－10，13，－14）·（16，－4，0）＝－10×16＋13×（－4）＝－212.
2.C　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°.
3.B　∵A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0，2），∴＝（1，－1，－3），＝（－2，－2，1），∵向量3－與＋k垂直，則（3－）·（＋k）＝3＋（3k－1）·－k＝0，即3×11－3×（3k－1）－9k＝0，整理得36－18k＝0，解得k＝2，故選B.
4.C　∵＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），＝（2，－3，1），∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC一定為直角三角形.
5.AD　∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，cos＜a，b＞＝＝＝－.故A、D正確，B、C 不正確.
6.AC　由｜a｜＝2，可得＝2，解得m＝±，故A選項正確；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B選項錯誤；若存在實數(shù)λ，使得a＝λb，則顯然λ無解，即不存在實數(shù)λ，使得a＝λb，故C選項正確；若a·b＝－1，則－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D選項錯誤.
7.－1　解析：∵p＝a－b＝（1，0，－1），q＝a＋2b－c＝（0，3，1），∴p·q＝1×0＋0×3＋（－1）×1＝－1.
8.5　解析：因為a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），所以ka＋b＝（k－1，k，2），又ka＋b與b互相垂直，所以（ka＋b）·b＝0，即－（k－1）＋4＝0，解得k＝5.
9.30°　解析：＝（－，，0），＝（－1，0，0），則cos A＝cos＜，＞＝＝，因為0°＜A＜180°.故角A的大小為30°.
10.解：（1）∵a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴a·b＝3×2＋5×1＋（－4）×8＝6＋5－32＝－21.
（2）a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴λ1a＋λ2b＝（3λ1＋2λ2，5λ1＋λ2，－4λ1＋8λ2）.
∵λ1a＋λ2b與z軸垂直，
∴λ1a＋λ2b與（0，0，1）垂直，
∴－4λ1＋8λ2＝0，
∴λ1＝2λ2.
11.A　由題意得（2，－2，3）＋（x，1－y，4z）＝2（0，，－），即（x＋2，－1－y，3＋4z）＝（0，3，－1），所以解得
12.　解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝＝＝ .∴當t＝時，｜b－a｜取最小值，最小值為.
13.　5　解析：由題設易知M（1，1，），∴＝（－4，7，－）.故｜｜＝，設＝λ，又＝（0，4，－3），則＝（0，4λ，－3λ）.又∵＝（4，－5，0），∴＝－＝（－4，4λ＋5，－3λ），由·＝0，得0＋4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴｜｜＝5.
14.解：（1）由題意知＝（6，2，12），線段AB的中點C（1，4，3），則⊥，故6（1－x）＋2（4－y）＋12（3－z）＝0，化簡得3x＋y＋6z－25＝0.
（2）由（a＋2）2＋（b－3）2＋（c＋3）2＝（a－4）2＋（b－5）2＋（c－9）2，得3a＋b＋6c－25＝0.
15.解：（1）由題中條件可知，＝（－2，－1，3），＝（1，－3，2），
所以cos＜，＞＝＝＝.
于是sin＜，＞＝.
故以和為鄰邊的平行四邊形的面積S＝｜｜｜｜sin＜，＞＝14×＝7.
（2）設a＝（x，y，z），由題意得
解得或故a＝（1，1，1）或（－1，－1，－1）.
2 / 2第2課時　空間向量數(shù)量積的坐標表示及空間兩點間的距離公式
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握空間向量的數(shù)量積的坐標表示 數(shù)學抽象、數(shù)學運算
2.能利用空間兩點間的距離公式解決有關問題 數(shù)學運算
在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質量為1 kg的物品，在另一個秤盤中放入質量為1 kg的砝碼，天平平衡.3根細繩通過秤盤分擔對物品的拉力（拉力分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3），若3根細繩兩兩之間的夾角均為.
【問題】　若不考慮秤盤和細繩本身的質量，你知道F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的大小分別是多少嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　空間向量數(shù)量積的坐標表示
　設空間兩個非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），它們的夾角為＜a，b＞，則
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標表示形式
a·b ｜a｜｜b｜· cos＜a，b＞
a⊥b a·b＝0
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
夾角 余弦 cos＜a，b＞ ＝
知識點二　空間兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則
（1）AB＝　　　　　　　　　　　　；
（2）線段AB的中點M的坐標為（，，）.
1.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1），若a⊥（b－c），則x＝（　　）
A.－2 B.2
C.3 D.－3
2.已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），則線段AB的長為（　　）
A.4 B.2
C.4 D.3
3.已知a＝（－，2，），b＝（3，6，0），則｜a｜＝　　　　，a與b夾角的余弦值等于　　　　.
題型一 空間向量數(shù)量積的坐標運算
【例1】　（鏈接教科書第27頁習題4題）已知向量a＝（2，1，－3），b＝（0，－3，2），c＝（－2，1，2），則a·（b＋c）＝（　　）
A.18 B.－18
C.3 D.－3
通性通法
關于空間向量數(shù)量積坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量數(shù)量積坐標運算公式計算；
（2）求參數(shù)值：首先把向量坐標形式表示出來，然后通過數(shù)量積運算建立方程（組），解方程（組）求出參數(shù).
【跟蹤訓練】
1.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），則a·（－2b）＝　　　，（a－b）·（2a－3b）＝　　　　.
2.（2024·蘇州月考）已知空間向量a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2）.若2a－b與b垂直，則n＝　　　　.
題型二 空間兩點間的距離
【例2】　（鏈接教科書第25頁例4）已知點M（3，2，1），N（1，0，5），求：
（1）線段MN的長度；
（2）到M，N兩點的距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿足的條件.
通性通法
利用空間兩點間的距離公式求線段長度的一般步驟
【跟蹤訓練】
　如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點，F(xiàn)是AC的中點，求DE，EF的長度.
題型三 利用數(shù)量積公式求夾角
【例3】　如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求與所成角的余弦值.
通性通法
求空間向量夾角的方法技巧
（1）根據(jù)幾何圖形的特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系；
（2）利用已知條件寫出有關點的坐標，進而獲得相關向量的坐標；
（3）代入空間向量的夾角公式cos θ＝求解.
【跟蹤訓練】
1.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），則與的夾角為（　　）
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
2.（2024·無錫月考）設向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），若cos＜a，b＞＝，則實數(shù)λ的值為（　　）
A.2 B.－2
C.－2或 D.2或－
1.設A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），則AB的中點M到點C的距離CM的值為（　　）
A. B. C. D.
2.（多選）（2024·鎮(zhèn)江月考）已知向量a＝（1，1，－1），b＝（2，－1，0），c＝（0，1，－2），則下列結論正確的是（　　）
A.a·（b＋c）＝4
B.（a－b）·（b－c）＝－8
C.記a與b－c的夾角為θ，則cos θ＝
D.若（a＋λb）⊥c，則λ＝3
3.若a＝（x，2，－4），b＝（－1，y，3），c＝（1，－2，z），且a，b，c兩兩垂直，則x＝　　　　，y＝　　　　，z＝　　　　.
4.已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（1，1，－4）.
（1）計算｜2a－3b｜；
（2）求＜a，b＞.
第2課時　空間向量數(shù)量積的坐標表示及空間兩點間的距離公式
【基礎知識·重落實】
知識點一
x1x2＋y1y2＋z1z2　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
知識點二
（1）
自我診斷
1.A　b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
2.A　AB＝＝4.
3.3　　解析：｜a｜＝＝＝3，a與b夾角的余弦值cos＜a，b＞＝＝＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　B　因為b＋c＝（－2，－2，4），所以a·（b＋c）＝－4－2－12＝－18.故選B.
跟蹤訓練
1.－2　5　解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2＋3＝5.
2.　解析：∵a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2），∴2a－b＝（4，2n－1，2）.∵2a－b與b垂直，∴（2a－b）·b＝0，∴－8＋2n－1＋4＝0，解得n＝.
【例2】　解：（1）根據(jù)空間兩點間的距離公式得線段MN的長度
MN＝＝2.
（2）因為點P（x，y，z）到M，N兩點的距離相等，
所以
＝，
化簡得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N兩點的距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿足的條件是x＋y－2z＋3＝0.
跟蹤訓練
　解：以{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為C1C＝CB＝CA＝2，
所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），
由中點坐標公式，可得D（1，1，0），E（0，1，2），F(xiàn)（1，0，0），
所以DE＝＝，
EF＝＝.
【例3】　解：以{，，}為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.
依題意得B（0，1，0），A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴＝（1，－1，2），＝（0，1，2），
∴·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3.
又｜｜＝，｜｜＝，
∴cos＜，＞＝＝.
故與所成角的余弦值為.
跟蹤訓練
1.C　設與的夾角為θ.由題意得＝（－1，1，0），＝（0，3，3），∴cos θ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°，故選C.
2.C　∵向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），cos＜a，b＞＝，∴cos＜a，b＞＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝.
隨堂檢測
1.C　AB的中點M（2，，3），又C（0，1，0），所以＝（2，，3），故點M到點C的距離CM＝｜｜＝＝.
2.ABD　由題意得a·（b＋c）＝（1，1，－1）·（2，0，－2）＝2＋0＋2＝4；（a－b）·（b－c）＝（－1，2，－1）·（2，－2，2）＝－2－4－2＝－8；cos θ＝＝＝－；由（a＋λb）⊥c，得（a＋λb）·c＝0，即（1＋2λ，1－λ，－1）·（0，1，－2）＝0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.綜上可知，選項A、B、D正確.
3.－64　－26　－17　解析：因為a⊥b，a⊥c，b⊥c，所以即解得
4.解：（1）2a－3b＝2（2，－1，－2）－3（1，1，－4）＝（4，－2，－4）－（3，3，－12）＝（1，－5，8），
｜2a－3b｜＝＝3.
（2）cos＜a，b＞＝＝＝，
又＜a，b＞∈[0，π]，故＜a，b＞＝.
4 / 4(共55張PPT)
第2課時　
空間向量數(shù)量積的坐標表示及空間兩點間的距離公式
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握空間向量的數(shù)量積的坐標表示 數(shù)學抽象、數(shù)學運算
2.能利用空間兩點間的距離公式解決有關
問題 數(shù)學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細繩均勻地固定在橫梁上.
在其中一個秤盤中放入質量為1 kg的物品，在另一個秤盤中放入質量
為1 kg的砝碼，天平平衡.3根細繩通過秤盤分擔對物品的拉力（拉力
分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3），若3根細繩兩兩之間的夾角均為 .
【問題】　若不考慮秤盤和細繩本身的質量，你知道F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的
大小分別是多少嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　空間向量數(shù)量積的坐標表示
　設空間兩個非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），它
們的夾角為＜a，b＞，則
名稱 滿足條件 向量表示形式 坐標表示形式
a·b ｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞
a⊥b a·b＝0
模
夾角余弦
x1x2＋y1y2＋z1z2
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
知識點二　空間兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則

（2）線段AB的中點M的坐標為（ ， ， ）.
　
1. 已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，
1），若a⊥（b－c），則x＝（　　）
A. －2 B. 2
C. 3 D. －3
解析： 　b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝
0，∴x＝－2.
2. 已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），則線段AB的長為
（　　）
解析： 　AB＝ ＝4 .
3. 已知a＝（－ ，2， ），b＝（3 ，6，0），則｜a｜
＝ ，a與b夾角的余弦值等于 .
解析：｜a｜＝ ＝ ＝3，a與b夾角
的余弦值 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ .
3　
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 空間向量數(shù)量積的坐標運算
【例1】　（鏈接教科書第27頁習題4題）已知向量a＝（2，1，－
3），b＝（0，－3，2），c＝（－2，1，2），則a·（b＋c）＝
（　　）
A. 18 B. －18
解析： 　因為b＋c＝（－2，－2，4），所以a·（b＋c）＝－4－2
－12＝－18.故選B.
通性通法
關于空間向量數(shù)量積坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運
用空間向量數(shù)量積坐標運算公式計算；
（2）求參數(shù)值：首先把向量坐標形式表示出來，然后通過數(shù)量積運
算建立方程（組），解方程（組）求出參數(shù).
【跟蹤訓練】
1. 已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），則a·（－2b）＝
，（a－b）·（2a－3b）＝ .
解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝
（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，
－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－
1，－3）＝2＋3＝5.
－
2　
5　

解析：∵a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2），∴2a－b＝
（4，2n－1，2）.∵2a－b與b垂直，∴（2a－b）·b＝0，∴－8
＋2n－1＋4＝0，解得n＝ .
　
題型二 空間兩點間的距離
【例2】　（鏈接教科書第25頁例4）已知點M（3，2，1），N（1，
0，5），求：
（1）線段MN的長度；
解： 根據(jù)空間兩點間的距離公式得線段MN的長度
MN＝ ＝2 .
（2）到M，N兩點的距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿足的條
件.
解： 因為點P（x，y，z）到M，N兩點的距離相等，
所以
＝ ，
化簡得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N兩點的距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿
足的條件是x＋y－2z＋3＝0.
通性通法
利用空間兩點間的距離公式求線段長度的一般步驟
【跟蹤訓練】
　如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，
AC⊥CB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點，F(xiàn)是AC的中點，求
DE，EF的長度.
解：以{ ， ， }為正交基底，建立如圖所示的
空間直角坐標系.
因為C1C＝CB＝CA＝2，
所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），
B1（0，2，2），
由中點坐標公式，可得D（1，1，0），E（0，1，2），F(xiàn)（1，0，0），
所以DE＝ ＝ ，
EF＝ ＝ .
題型三 利用數(shù)量積公式求夾角
【例3】　如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1
中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求 與 所成角
的余弦值.
解：以 為單位正交基底，建立如圖
所示的空間直角坐標系C-xyz.
依題意得B（0，1，0），A1（1，0，2），C（0，
0，0），B1（0，1，2），
∴ ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2），
∴ · ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3.
又｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ .
故 與 所成角的余弦值為 .
通性通法
求空間向量夾角的方法技巧
（1）根據(jù)幾何圖形的特點建立適當?shù)目臻g直角坐標系；
（2）利用已知條件寫出有關點的坐標，進而獲得相關向量的坐標；
（3）代入空間向量的夾角公式 cos θ＝ 求解.
【跟蹤訓練】
1. 已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），則
與 的夾角為（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　設 與 的夾角為θ.由題意得 ＝（－1，1，
0）， ＝（0，3，3），∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°，故選C.
2. （2024·無錫月考）設向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，
2），若 cos ＜a，b＞＝ ，則實數(shù)λ的值為（　　）
A. 2 B. －2
解析： 　∵向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2）， cos ＜
a，b＞＝ ，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，解得
λ＝－2或λ＝ .
1. 設A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），則AB的中點
M到點C的距離CM的值為（　　）
解析： 　AB的中點M（2， ，3），又C（0，1，0），所以
＝（2， ，3），故點M到點C的距離CM＝｜ ｜＝
＝ .
2. （多選）（2024·鎮(zhèn)江月考）已知向量a＝（1，1，－1），b＝
（2，－1，0），c＝（0，1，－2），則下列結論正確的是
（　　）
A. a·（b＋c）＝4
B. （a－b）·（b－c）＝－8
D. 若（a＋λb）⊥c，則λ＝3
解析： 　由題意得a·（b＋c）＝（1，1，－1）·（2，0，－
2）＝2＋0＋2＝4；（a－b）·（b－c）＝（－1，2，－1）·（2，
－2，2）＝－2－4－2＝－8； cos θ＝ ＝
＝－ ；由（a＋λb）⊥c，得
（a＋λb）·c＝0，即（1＋2λ，1－λ，－1）·（0，1，－2）＝
0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.綜上可知，選項A、B、D正確.
3. 若a＝（x，2，－4），b＝（－1，y，3），c＝（1，－2，
z），且a，b，c兩兩垂直，則x＝ ，y＝ ，z
＝ .
解析：因為a⊥b，a⊥c，b⊥c，所以即
解得
－64　
－26　
－17　
4. 已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（1，1，－4）.
（1）計算｜2a－3b｜；
解： 2a－3b＝2（2，－1，－2）－3（1，1，－4）＝
（4，－2，－4）－（3，3，－12）＝（1，－5，8），
｜2a－3b｜＝ ＝3 .
（2）求＜a，b＞.
解： cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，
又＜a，b＞∈[0，π]，故＜a，b＞＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 若向量a＝（4，2，－4），b＝（6，－3，2），則（2a－
3b）·（a＋2b）＝（　　）
A. －212 B. －106
C. 106 D. 212
解析： 　（2a－3b）·（a＋2b）＝（－10，13，－14）·（16，
－4，0）＝－10×16＋13×（－4）＝－212.
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2. （2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，
－6），｜c｜＝ ，若（a＋b）·c＝7，則a與c的夾角為
（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－
a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝ ＝ ，所以 cos
＜a，c＞＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°.
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3. 已知空間三點A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，
0，2），若向量3 － 與 ＋k 垂直，則k的值為（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　∵A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，
0，2），∴ ＝（1，－1，－3）， ＝（－2，－2，1），
∵向量3 － 與 ＋k 垂直，則（3 － ）·（ ＋
k ）＝3 ＋（3k－1） · －k ＝0，即3×11－3×
（3k－1）－9k＝0，整理得36－18k＝0，解得k＝2，故選B.
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4. 在空間直角坐標系中，已知點A（1，－2，11），B（4，2，
3），C（6，－1，4），則△ABC一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等邊三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　∵ ＝（3，4，－8）， ＝（5，1，－7）， ＝
（2，－3，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜
＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝
，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC一定為直角三
角形.
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5. （多選）若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），則
（　　）
B. a⊥b
C. a∥b D. ｜a｜＝｜b｜
解析： 　∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜
a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，
cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ .故A、D正確，B、C 不正確.
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6. （多選）已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），
則下列結論中正確的是（　　）
B. 若a⊥b，則m＝－1
C. 不存在實數(shù)λ，使得a＝λb
D. 若a·b＝－1，則a＋b＝（－1，－2，－2）
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解析： 　由｜a｜＝2，可得 ＝2，解得m＝
± ，故A選項正確；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得
m＝1，故B選項錯誤；若存在實數(shù)λ，使得a＝λb，則
顯然λ無解，即不存在實數(shù)λ，使得a＝λb，
故C選項正確；若a·b＝－1，則－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝
0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D選項錯誤.
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7. 已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），c＝（1，0，1），p＝
a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝ .
解析：∵p＝a－b＝（1，0，－1），q＝a＋2b－c＝（0，3，
1），∴p·q＝1×0＋0×3＋（－1）×1＝－1.
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8. （2024·南京月考）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，
2），若ka＋b與b互相垂直，則實數(shù)k＝ .
解析：因為a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），所以ka＋b＝
（k－1，k，2），又ka＋b與b互相垂直，所以（ka＋b）·b＝
0，即－（k－1）＋4＝0，解得k＝5.
5　
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9. 若△ABC的三個頂點分別為A（0，0， ），B（－ ， ，
），C（－1，0， ），則角A的大小為 .
解析： ＝（－ ， ，0）， ＝（－1，0，0），則 cos A＝
cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，因為0°＜A＜180°.故角A
的大小為30°.
30°　
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10. 已知向量a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）.
（1）求a·b；
解： ∵a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴a·b＝3×2＋5×1＋（－4）×8＝6＋5－32＝－21.
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（2）若λ1a＋λ2b與z軸垂直，求λ1，λ2滿足的關系式.
解： a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8），
∴λ1a＋λ2b＝（3λ1＋2λ2，5λ1＋λ2，－4λ1＋
8λ2）.
∵λ1a＋λ2b與z軸垂直，
∴λ1a＋λ2b與（0，0，1）垂直，
∴－4λ1＋8λ2＝0，
∴λ1＝2λ2.
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11. 已知向量 ＝（2，－2，3），向量 ＝（x，1－y，4z），
且平行四邊形OACB對角線的中點坐標為（0， ，－ ），則
（x，y，z）＝（　　）
A. （－2，－4，－1） B. （－2，－4，1）
C. （－2，4，－1） D. （2，－4，－1）
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解析： 　由題意得（2，－2，3）＋（x，1－y，4z）＝2（0，
，－ ），即（x＋2，－1－y，3＋4z）＝（0，3，－1），所
以解得
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解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝
（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝
＝ ＝
.∴當t＝ 時，｜b－a｜取最小值，最小值為
.
　
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解析：由題設易知M ，∴ ＝（－4，7，－ ）.
故｜ ｜＝ ，設 ＝λ ，又 ＝（0，4，－3），則
＝（0，4λ，－3λ）.又∵ ＝（4，－5，0），∴ ＝
－ ＝（－4，4λ＋5，－3λ），由 · ＝0，得0＋4
（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－ ，∴ ＝ ，
∴｜ ｜＝5.
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14. 已知點A（－2，3，－3），B（4，5，9）.
（1）設平面α經(jīng)過線段AB的中點，且與直線AB垂直，M（x，
y，z）是平面α內任意一點，求x，y，z滿足的關系式；
解：（1）由題意知 ＝（6，2，12），線段AB的中點C
（1，4，3），則 ⊥ ，故6（1－x）＋2（4－y）＋
12（3－z）＝0，化簡得3x＋y＋6z－25＝0.
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（2）若點P（a，b，c）到A，B兩點的距離相等，求a，b，c
滿足的關系式.
解： 由（a＋2）2＋（b－3）2＋（c＋3）2＝（a－
4）2＋（b－5）2＋（c－9）2，得3a＋b＋6c－25＝0.
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15. （2024·連云港質檢）已知空間三點A（0，2，3），B（－2，
1，6），C（1，－1，5）.
（1）求以 和 為鄰邊的平行四邊形的面積；
解： 由題中條件可知， ＝（－2，－1，3），
＝（1，－3，2），
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
于是 sin ＜ ， ＞＝ .
故以 和 為鄰邊的平行四邊形的面積S＝｜ ｜｜
｜ sin ＜ ， ＞＝14× ＝7 .
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（2）若｜a｜＝ ，且a分別與 ， 垂直，求向量a的坐
標.
解： 設a＝（x，y，z），由題意得
解得或故a＝（1，1，1）或（－1，－
1，－1）.
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