資源簡介

6.2.2　空間向量的坐標表示
第1課時　空間直角坐標系及空間向量線性運算的坐標表示
1.設{e1，e2，e3}是空間的一個單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，則a＋b＝（　　）
A.（2，－11，10） B.（－2，11，－10）
C.（－2，11，10） D.（2，11，－10）
2.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O為坐標原點），則點C的坐標是（　　）
A. B.
C. D.
3.如圖，在空間直角坐標系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，＝－，則＝（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），且（ka＋b）∥（a－2b），則實數k的值為（　　）
A.－ B.
C.－ D.
5.（多選）如圖，在長方體OABC-O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，點E在線段AO的延長線上，且OE＝，則下列向量坐標表示正確的有（　　）
A.＝（3，0，0） B.＝（1，0，2）
C.＝（，3，2） D.＝（－，3，0）
6.（多選）下列各命題正確的是（　　）
A.點（1，－2，3）關于平面Oxz的對稱點為（1，2，3）
B.點關于y軸的對稱點為
C.點（2，－1，3）到平面Oyz的距離為1
D.設{i，j，k}是空間向量單位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，則m＝（3，－2，4）
7.已知空間向量m＝（1，－3，5），n＝（－2，2，－4），則m＋n＝　　　　，3m－n＝　　　　.
8.（2024·揚州月考）已知點A（λ＋1，μ－1，3），B（2λ，μ，λ－2μ），C（λ＋3，μ－3，9）三點共線，則實數λ＝　　　　，μ＝　　　　.
9.三棱錐P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，則向量的坐標為　　　　.
10.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且AB＝AP＝1，以{，，}為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，求，的坐標.
11.如圖，空間四邊形ABCD中，若向量＝（－3，5，2），＝（－7，－1，－4），點E，F分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為（　　）
A.（2，3，3） B.（－2，－3，－3）
C.（5，－2，1） D.（－5，2，－1）
12.（多選）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則（　　）
A.點B1的坐標為（4，5，3）
B.點C1關于點B對稱的點的坐標為（5，8，－3）
C.點A關于直線BD1對稱的點的坐標為（0，5，3）
D.點C關于平面ABB1A1對稱的點的坐標為（8，5，0）
13.（2024·常州質檢）已知空間四點A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），D（x，－1，3）共面，則x的值為　　　　.
14.（2024·南京月考）已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）.
（1）求＋，－；
（2）是否存在實數x，y，使得＝x＋y成立？若存在，求x，y的值；若不存在，請說明理由.
15.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若G是A1D的中點，點H在平面ABCD上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置.
第1課時　空間直角坐標系及空間向量線性運算的坐標表示
1.A　a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空間的一個單位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）.
2.B　∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴點C的坐標為.故選B.
3.C　記x，y，z軸正方向上的單位向量分別為i，j，k，則＝i，＝j，＝k，又＝＋，＝－，所以＝－＝－j＋k＝（0，－，1）.
4.C　向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），則ka＋b＝（k＋3，2k＋2，k＋2），a－2b＝（－5，－2，－3），因為（ka＋b）∥（a－2b），則＝＝，解得k＝－，所以實數k的值為－.故選C.
5.BC　設x，y，z軸正方向的單位向量分別為i，j，k，則＝i，＝3j，＝2k，所以＝（0，3，0），故A不正確；因為＝＋＝＋，所以＝（1，0，2），故B正確；因為＝＋＋＝＋＋，所以＝（，3，2），故C正確；因為＝＋＝＋，所以＝（，3，0），故D不正確.故選B、C.
6.ABD　A項，關于平面Oxz的對稱點，x，z不變，y變為相反數，則（1，－2，3）的對稱點為（1，2，3），正確；B項，關于y軸的對稱點，y不變，x，z變為相反數，則的對稱點為（－，1，3），正確；C項，空間點到平面Oyz的距離為該點x坐標值的絕對值，則（2，－1，3）到面Oyz的距離為2，錯誤；D項，根據空間向量的正交分解中正交基系數的含義知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正確.故選A、B、D.
7.（－1，－1，1）　（5，－11，19）
解析：m＋n＝（1，－3，5）＋（－2，2，－4）＝（－1，－1，1），3m－n＝3（1，－3，5）－（－2，2，－4）＝（5，－11，19）.
8.0　0　解析：因為＝（λ－1，1，λ－2μ－3），＝（2，－2，6），由A，B，C三點共線，得∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0.
9.　解析：因為AB＝BC＝PB＝1，所以可設＝i，＝j，＝k，所以＝＋＝－（＋）＋（＋）＝－＝i－k＝（，0，－）.
10.解：設＝e1，＝e2，＝e3，則＝＝e2，
＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋（＋＋）
＝－e2＋e3＋（－e3－e1＋e2）
＝－e1＋e3，
∴＝（－，0，），＝（0，1，0）.
11.B　取AC中點M，連接ME，MF（圖略），則＝＝（－，，1），＝＝（－，－，－2），所以＝－＝（－2，－3，－3），故選B.
12.ACD　由題意可知，點B1的坐標為（4，5，3），點C1（0，5，3）關于點B對稱的點的坐標為（8，5，－3），點A關于直線BD1對稱的點為C1（0，5，3），點C（0，5，0）關于平面ABB1A1對稱的點的坐標為（8，5，0），因此A、C、D正確，B錯誤.故選A、C、D.
13.11　解析：＝（－2，2，－2），＝（－1，6，－8），＝（x－4，－2，0）.因為A，B，C，D四點共面，所以，，共面，所以存在實數λ，μ，使＝λ＋μ，即（x－4，－2，0）＝（－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ），所以解得
14.解：＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），
＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.
（1）＋＝（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（0，1，2）.
－＝（1，1，0）－（－1，0，2）＝（2，1，－2）.
（2）假設存在x，y∈R滿足條件，
由已知可得＝（－2，－1，2）.
由題意得（－1，0，2）＝x（1，1，0）＋y（－2，－1，2），
所以（－1，0，2）＝（x－2y，x－y，2y），
所以所以
所以存在實數x＝1，y＝1使得結論成立.
15.解：如圖所示，
以D為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.
設正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）.
因為G是A1D的中點，所以點G的坐標為（，0，）.
因為點H在平面ABCD上，所以設點H的坐標為（m，n，0）.
因為＝（m，n，0）－（，0，）＝（m－，n，－），
＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1），
又∥，
所以＝＝，解得m＝1，n＝.
所以點H的坐標為（1，，0），即H為線段AB的中點.
3 / 36.2.2　空間向量的坐標表示
第1課時　空間直角坐標系及空間向量線性運算的坐標表示
新課程標準解讀 核心素養
1.在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系 數學抽象、直觀想象
2.能在空間直角坐標系中寫出所給定點、向量的坐標 數學抽象、直觀想象
3.掌握空間向量的線性運算的坐標表示 數學運算
　　我們知道，在直線上建立數軸后，就可以用一個數來刻畫點在直線上的位置；在平面內建立平面直角坐標系之后，就可以用一對有序實數來刻畫點在平面內的位置.
【問題】　怎樣才能刻畫空間中點的位置呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　空間向量的坐標
1.空間直角坐標系
如圖，在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向建立三條數軸：　　　　　　　　，它們都叫作坐標軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標系O-xyz.點O叫作坐標原點，三條坐標軸中的每兩條確定一個坐標平面，分別稱為　　　平面、　　　平面和　　　平面.
2.空間中點的坐標的求法
如圖，在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任意一點P，我們稱向量為點P的位置向量.把與向量對應的有序實數組（x，y，z）叫作點P的坐標，記作　　　　.
【想一想】
　在空間直角坐標系中，向量（O為坐標原點）的坐標與終點P的坐標有何關系？
知識點二　空間向量的坐標表示及運算
1.空間向量的坐標表示
在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任意一個向量a，根據空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組（a1，a2，a3），使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序實數組（a1，a2，a3）叫作向量a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，記作a＝　　　　　.
2.空間向量的坐標運算
（1）設a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），
則a＋b＝　　　　　　　　　　.
a－b＝　　　　　　　　　　，
λa＝　　　　　　（λ∈R）.
（2）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則＝－＝　　　　　　　　　　.這就是說，一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的　　　　坐標減去它的　　　　坐標.
知識點三　空間向量平行的坐標表示
已知空間向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），且a≠0，則a∥b b＝λa 　　　　　　　　　　　　（λ∈R）.
1.已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），則b＝（　　）
A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2）
C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3）
2.如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為2，則圖中的點M的坐標為　　　　.
3.設a＝（2，4，m＋1），b＝（4，3n－1，8），若a∥b，則m＋n＝　　　　.
題型一 空間中點的坐標表示
【例1】　（1）在空間直角坐標系中，已知點P（1，，），過點P作yOz平面的垂線PQ，則垂足Q的坐標為（　　）
A.（0，，0） B.（0，，）
C.（1，0，） D.（1，，0）
（2）（2024·淮安月考）已知點P（2，3，－1）關于坐標平面Oxy的對稱點為P1，點P1關于坐標平面Oyz的對稱點為P2，點P2關于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為　　　　.
通性通法
1.求空間一點P的坐標有兩種方法：（1）利用點在坐標軸上的投影求解；（2）利用單位正交基底表示向量，的坐標就是點P的坐標.
2.空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題求解.其規律為“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”.
【跟蹤訓練】
1.如圖所示的空間直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，則PD的中點M的坐標為　　　　.
2.點P（1，1，1）關于Oxy平面的對稱點P1的坐標為　　　　；點P關于z軸的對稱點P2的坐標為　　　　.
題型二 空間向量的坐標表示及運算
角度1　空間向量的坐標表示
【例2】　在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，以，，為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，求，的坐標.
通性通法
用坐標表示空間向量的步驟
角度2　空間向量的坐標運算
【例3】　（鏈接教科書第23頁例2）（1）已知a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）.則a＋6b－8c＝　　　　；
（2）已知O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），若＝（－），則點P的坐標為　　　　.
通性通法
關于空間向量坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算；
（2）由條件求向量或點的坐標：首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標.
【跟蹤訓練】
1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，則點B的坐標為（　　）
A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24）
C.（－6，8，24） D.（－5，6，24）
2.（2024·南通月考）已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三個向量不能構成空間的一個基底，則實數λ的值為（　　）
A.　　　B.9 C.　　　D.0
題型三 空間向量平行的坐標表示及應用
【例4】　（鏈接教科書第23頁例3）已知四邊形ABCD的頂點坐標分別是A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1，1，－3），D（3，－5，3），求證：四邊形ABCD是一個梯形.
通性通法
判斷空間向量平行的步驟
（1）向量化：將空間中的平行轉化為向量的平行；
（2）向量關系代數化：寫出向量的坐標；
（3）對于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根據x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不為0）判斷兩向量是否平行.
【跟蹤訓練】
1.若四邊形ABCD為平行四邊形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），則頂點D的坐標為（　　）
A.（5，12，－2） B.（12，5，－2）
C.（5，13，－3） D.（13，5，－3）
2.（2024·鹽城月考）已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1）.若向量a＋b與向量c＝（m，2，n）平行，則實數n＝（　　）
A.6 B.－6
C.4 D.－4
1.已知向量a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），則向量b＝（　　）
A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2）
C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3）
2.點P（3，0，2）在空間直角坐標系中的位置是在（　　）
A.y軸上 B.Oxy面上
C.Ozx面上 D.Oyz面上
3.（多選）已知向量a＝（λ＋1，2，3μ－1）與b＝（6，2λ，0）共線，則實數λ的值可能是（　　）
A.－3 B.2
C. D.0
4.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標系中，向量的坐標為　　　　.
第1課時　空間直角坐標系及空間向量線性運算的坐標表示
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.x軸、y軸、z軸　xOy　yOz　zOx
2.P（x，y，z）
想一想
　提示：O為坐標原點，向量的坐標與點P的坐標相同.
知識點二
1.（a1，a2，a3）　2.（1）（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　（x1－x2，y1－y2，z1－z2）　（λx1，λy1，λz1）　（2）（x2－x1，y2－y1，z2－z1）　終點　起點
知識點三
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
自我診斷
1.B　∵a＋b＝（－1，2，－1），∴b＝（a＋b）－a＝（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）.故選B.
2.（1，－2，1）　解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以線段DC'的中點M的坐標為（1，－2，1）.
3.6　解析：∵a∥b，∴＝＝，∴m＝3，n＝3，∴m＋n＝6.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）B　（2）（2，－3，1）
解析：（1）由于垂足在yOz平面內，所以縱坐標、豎坐標不變，橫坐標為0，即Q（0，，）.
（2）點P（2，3，－1）關于坐標平面Oxy的對稱點P1的坐標為（2，3，1），點P1關于坐標平面Oyz的對稱點P2的坐標為（－2，3，1），點P2關于z軸的對稱點P3的坐標是（2，－3，1）.
跟蹤訓練
1.　解析：由題意知PO＝＝＝，點M在x軸、y軸、z軸上的投影分別為M1，O，M2，它們在坐標軸上的坐標分別為－，0，，所以點M的坐標為.
2.（1，1，－1）　（－1，－1，1）
解析：點P（1，1，1）關于Oxy平面的對稱點P1的坐標為（1，1，－1），點P關于z軸的對稱點P2的坐標為（－1，－1，1）.
【例2】　解：因為＝－＝－（＋）
＝－
＝－－－，
所以＝（－2，－1，－4）.
因為＝－＝－（＋）
＝－－，所以＝（－4，2，－4）.
【例3】　（1）（14，－3，3）　（2）（5，，0）　解析：（1）∵a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋6b－8c＝（2，－3，1）＋6（2，0，3）－8（0，0，2）＝（14，－3，3）.
（2）∵＝（2，6，－3），＝（－4，3，1），∴－＝（6，3，－4），∴（－）＝（3，，－2）.設點P的坐標為（x，y，z），則＝（x－2，y＋1，z－2）.∵＝（－），∴解得則點P的坐標為（5，，0）.
跟蹤訓練
1.D　∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐標為（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴點B的坐標為（－5，6，24）.故選D.
2.A　∵a，b，c三向量不能構成空間的一個基底，∴這三個向量共面，∴存在實數m，n，使得c＝ma＋nb，即（7，5，λ）＝m（2，－1，3）＋n（－1，4，－2），∴2m－n＝7，－m＋4n＝5，3m－2n＝λ，解得λ＝.故選A.
【例4】　證明：∵＝（1，2，－1）－（3，－1，2）＝（－2，3，－3），＝（3，－5，3）－（－1，1，－3）＝（4，－6，6），
∴＝＝，
∴與共線，即AB∥CD，
又∵＝（3，－5，3）－（3，－1，2）＝（0，－4，1），
＝（－1，1，－3）－（1，2，－1）＝（－2，－1，－2），
∴≠≠，
∴與不平行.
∴四邊形ABCD為梯形.
跟蹤訓練
1.C　由四邊形ABCD是平行四邊形知＝.設D（x，y，z），則＝（x－4，y－1，z－3），又＝（1，12，－6），所以解得即D點坐標為（5，13，－3）.
2.D　因為a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（1，－1，2），又因為向量a＋b與向量c＝（m，2，n）平行，所以存在實數λ，使得λ（a＋b）＝c，所以解得故選D.
隨堂檢測
1.A　由已知可得b＝（1，－2，1）－（－1，2，－1）＝（2，－4，2）.故選A.
2.C　因為P點的y軸坐標為0，其他坐標不為0，故點P（3，0，2）在Ozx面上.
3.AB　∵a∥b，∴存在實數k使得a＝kb，∴解得λ＝－3或λ＝2.故選A、B.
4.　解析：因為PA＝AD＝AB＝1，所以可設＝i，＝j，＝k.
因為＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝j＋k，所以＝.
5 / 5(共68張PPT)
第1課時　
空間直角坐標系及空間向量線性運算的坐標表示
新課程標準解讀 核心素養
1.在平面直角坐標系的基礎上，了
解空間直角坐標系 數學抽象、直觀想象
2.能在空間直角坐標系中寫出所給
定點、向量的坐標 數學抽象、直觀想象
3.掌握空間向量的線性運算的坐標
表示 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　我們知道，在直線上建立數軸后，就可以用一個數來刻畫點在直
線上的位置；在平面內建立平面直角坐標系之后，就可以用一對有序
實數來刻畫點在平面內的位置.
【問題】　怎樣才能刻畫空間中點的位置呢？
1. 空間直角坐標系
如圖，在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，
k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向
建立三條數軸： ，它們都叫作坐
標軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標系O-xyz.點O叫作坐標原點，三條坐標軸中的每兩條確定一個坐標平面，分別稱
為 平面、 平面和 平面.
x軸、
y軸、z軸　
xOy　
yOz　
zOx　
知識點一　空間向量的坐標
2. 空間中點的坐標的求法
如圖，在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任意一點P，我們稱
向量 為點P的位置向量.把與向量 對應的有序實數組（x，
y，z）叫作點P的坐標，記作 .
P（x，y，z）　
【想一想】
　在空間直角坐標系中，向量 （O為坐標原點）的坐標與終點P
的坐標有何關系？
提示：O為坐標原點，向量 的坐標與點P的坐標相同.
知識點二　空間向量的坐標表示及運算
1. 空間向量的坐標表示
在空間直角坐標系O-xyz中，對于空間任意一個向量a，根據空間
向量基本定理，存在唯一的有序實數組（a1，a2，a3），使a＝
a1i＋a2j＋a3k.有序實數組（a1，a2，a3）叫作向量a在空間直角
坐標系O-xyz中的坐標，記作a＝ .
（a1，a2，a3）　
2. 空間向量的坐標運算
（1）設a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），
則a＋b＝ .
a－b＝ ，
λa＝ （λ∈R）.
（2）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則 ＝ －
＝ .這就是說，一個向量的
坐標等于表示這個向量的有向線段的 坐標減去它
的 坐標.
（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　
（x1－x2，y1－y2，z1－z2）　
（λx1，λy1，λz1）　
（x2－x1，y2－y1，z2－z1）　
終點　
起點　
知識點三　空間向量平行的坐標表示
已知空間向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），且a≠0，則
a∥b b＝λa （λ∈R）.
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1　
1. 已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），則b＝
（　　）
A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2）
C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3）
解析： 　∵a＋b＝（－1，2，－1），∴b＝（a＋b）－a＝
（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）.故選B.
2. 如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為2，則圖中的點M的坐標
為 .
解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以線段DC'的
中點M的坐標為（1，－2，1）.
（1，－2，1）　
3. 設a＝（2，4，m＋1），b＝（4，3n－1，8），若a∥b，則m
＋n＝ .
解析：∵a∥b，∴ ＝ ＝ ，∴m＝3，n＝3，∴m＋n＝
6.
6　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 空間中點的坐標表示
【例1】　（1）在空間直角坐標系中，已知點P（1， ， ），過
點P作yOz平面的垂線PQ，則垂足Q的坐標為（　B　）
解析： 由于垂足在yOz平面內，所以縱坐標、豎坐標不
變，橫坐標為0，即Q（0， ， ）.
B
（2）（2024·淮安月考）已知點P（2，3，－1）關于坐標平面Oxy的
對稱點為P1，點P1關于坐標平面Oyz的對稱點為P2，點P2關于z
軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為 .
解析： 點P（2，3，－1）關于坐標平面Oxy的對稱點P1的
坐標為（2，3，1），點P1關于坐標平面Oyz的對稱點P2的坐標
為（－2，3，1），點P2關于z軸的對稱點P3的坐標是（2，－
3，1）.
（2，－3，1）　
通性通法
1. 求空間一點P的坐標有兩種方法：（1）利用點在坐標軸上的投影
求解；（2）利用單位正交基底表示向量 ， 的坐標就是點P
的坐標.
2. 空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題求解.其
規律為“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”.

　
解析：由題意知PO＝ ＝ ＝ ，
點M在x軸、y軸、z軸上的投影分別為M1，O，M2，它們在坐標
軸上的坐標分別為－ ，0， ，所以點M的坐標為
.
2. 點P（1，1，1）關于Oxy平面的對稱點P1的坐標為
；點P關于z軸的對稱點P2的坐標為 .
解析：點P（1，1，1）關于Oxy平面的對稱點P1的坐標為（1，
1，－1），點P關于z軸的對稱點P2的坐標為（－1，－1，1）.
（1，1，－
1）　
（－1，－1，1）　
題型二 空間向量的坐標表示及運算
角度1　空間向量的坐標表示
【例2】　在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，以 ， ， 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，求 ， 的坐標.
解：因為 ＝－ ＝－（ ＋ ）
＝－ ＝－ － － ，
所以 ＝（－2，－1，－4）.
因為 ＝ － ＝ －（ ＋ ）
＝ － － ，所以 ＝（－4，2，－4）.
通性通法
用坐標表示空間向量的步驟
角度2　空間向量的坐標運算
【例3】　（鏈接教科書第23頁例2）（1）已知a＝（2，－3，1），
b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）.則a＋6b－8c＝
；
解析： ∵a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋6b－8c＝（2，－3，1）＋6（2，0，3）－8（0，0，2）＝（14，－3，3）.
（2）已知O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別是（2，－1，
2），（4，5，－1），（－2，2，3），若 ＝ （ －
），則點P的坐標為 .
（14，－3，
3）　
（5， ，0）　
解析： ∵ ＝（2，6，－3）， ＝（－4，3，1），
∴ － ＝（6，3，－4），∴ （ － ）＝（3， ，－
2）.設點P的坐標為（x，y，z），則 ＝（x－2，y＋1，z
－2）.∵ ＝ （ － ），∴解得
則點P的坐標為（5， ，0）.
通性通法
關于空間向量坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運
用空間向量坐標運算公式計算；
（2）由條件求向量或點的坐標：首先把向量坐標形式設出來，然后
通過建立方程組，解方程組求出其坐標.
【跟蹤訓練】
1. 已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝2a，則
點B的坐標為（　　）
A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24）
C. （－6，8，24） D. （－5，6，24）
解析： 　∵a＝（－3，4，12），且 ＝2a，∴ ＝（－6，
8，24）.∵A的坐標為（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0），
＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），
∴點B的坐標為（－5，6，24）.故選D.
2. （2024·南通月考）已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，
－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三個向量不能構成空間的
一個基底，則實數λ的值為（　　）
B. 9
D. 0
解析： 　∵a，b，c三向量不能構成空間的一個基底，∴這三個
向量共面，∴存在實數m，n，使得c＝ma＋nb，即（7，5，
λ）＝m（2，－1，3）＋n（－1，4，－2），∴2m－n＝7，－
m＋4n＝5，3m－2n＝λ，解得λ＝ .故選A.
題型三 空間向量平行的坐標表示及應用
【例4】　（鏈接教科書第23頁例3）已知四邊形ABCD的頂點坐標分
別是A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1，1，－3），D
（3，－5，3），求證：四邊形ABCD是一個梯形.
證明：∵ ＝（1，2，－1）－（3，－1，2）＝（－2，3，－3），
＝（3，－5，3）－（－1，1，－3）＝（4，－6，6），
∴ ＝ ＝ ，
∴ 與 共線，即AB∥CD，
又∵ ＝（3，－5，3）－（3，－1，2）＝（0，－4，1），
＝（－1，1，－3）－（1，2，－1）＝（－2，－1，－2），
∴ ≠ ≠ ，
∴ 與 不平行.
∴四邊形ABCD為梯形.
通性通法
判斷空間向量平行的步驟
（1）向量化：將空間中的平行轉化為向量的平行；
（2）向量關系代數化：寫出向量的坐標；
（3）對于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根據x1＝λx2，
y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或 ＝ ＝ （x2，y2，z2都不
為0）判斷兩向量是否平行.
【跟蹤訓練】
1. 若四邊形ABCD為平行四邊形，且A（4，1，3），B（2，－5，
1），C（3，7，－5），則頂點D的坐標為（　　）
A. （5，12，－2） B. （12，5，－2）
C. （5，13，－3） D. （13，5，－3）
解析： 　由四邊形ABCD是平行四邊形知 ＝ .設D（x，
y，z），則 ＝（x－4，y－1，z－3），又 ＝（1，12，－
6），所以解得即D點坐標為（5，13，
－3）.
2. （2024·鹽城月考）已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，
1）.若向量a＋b與向量c＝（m，2，n）平行，則實數n＝
（　　）
A. 6 B. －6
C. 4 D. －4
解析： 　因為a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b
＝（1，－1，2），又因為向量a＋b與向量c＝（m，2，n）平
行，所以存在實數λ，使得λ（a＋b）＝c，所以解得
故選D.
1. 已知向量a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），則向量b
＝（　　）
A. （2，－4，2） B. （－2，4，－2）
C. （－2，0，－2） D. （2，1，－3）
解析： 　由已知可得b＝（1，－2，1）－（－1，2，－1）＝
（2，－4，2）.故選A.
2. 點P（3，0，2）在空間直角坐標系中的位置是在（　　）
A. y軸上 B. Oxy面上
C. Ozx面上 D. Oyz面上
解析： 　因為P點的y軸坐標為0，其他坐標不為0，故點P（3，
0，2）在Ozx面上.
3. （多選）已知向量a＝（λ＋1，2，3μ－1）與b＝（6，2λ，0）
共線，則實數λ的值可能是（　　）
A. －3 B. 2
D. 0
解析： 　∵a∥b，∴存在實數k使得a＝kb，∴
解得λ＝－3或λ＝2.故選A、B.
4. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC
的中點，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標系中，向量
的坐標為 .
　
解析：因為PA＝AD＝AB＝1，所以可設 ＝i， ＝j， ＝
k.
因為 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
（ ＋ ＋ ）＝－ ＋ ＋ （－ ＋ ＋ ）＝
＋ ＝ j＋ k，所以 ＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 設{e1，e2，e3}是空間的一個單位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，
b＝－2e1－3e2＋7e3，則a＋b＝（　　）
A. （2，－11，10） B. （－2，11，－10）
C. （－2，11，10） D. （2，11，－10）
解析： 　a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空間的
一個單位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）.
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2. 已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若 ＝ （O為坐
標原點），則點C的坐標是（　　）
解析： 　∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）
＝ .∴點C的坐標為 .故選B.
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3. 如圖，在空間直角坐標系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為
1， ＝－ ，則 ＝（　　）
解析： 　記x，y，z軸正方向上的單位向量分別為i，j，k，則
＝i， ＝j， ＝k，又 ＝ ＋ ， ＝－
，所以 ＝ － ＝－ j＋k＝（0，－ ，1）.
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4. （2024·徐州月考）已知向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），
且（ka＋b）∥（a－2b），則實數k的值為（　　）
解析： 　向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），則ka＋b＝
（k＋3，2k＋2，k＋2），a－2b＝（－5，－2，－3），因為
（ka＋b）∥（a－2b），則 ＝ ＝ ，解得k＝－ ，所
以實數k的值為－ .故選C.
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5. （多選）如圖，在長方體OABC-O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，
OO'＝2，點E在線段AO的延長線上，且OE＝ ，則下列向量坐標
表示正確的有（　　）
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解析： 　設x，y，z軸正方向的單位向量分別為i，j，k，則
＝i， ＝3j， ＝2k，所以 ＝（0，3，0），故A不正
確；因為 ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以 ＝（1，0，2），
故B正確；因為 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以
＝（ ，3，2），故C正確；因為 ＝ ＋ ＝ ＋
，所以 ＝（ ，3，0），故D不正確.故選B、C.
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6. （多選）下列各命題正確的是（　　）
A. 點（1，－2，3）關于平面Oxz的對稱點為（1，2，3）
C. 點（2，－1，3）到平面Oyz的距離為1
D. 設{i，j，k}是空間向量單位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，則m＝（3，－2，4）
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解析： 　A項，關于平面Oxz的對稱點，x，z不變，y變為相
反數，則（1，－2，3）的對稱點為（1，2，3），正確；B項，關
于y軸的對稱點，y不變，x，z變為相反數，則 的對稱
點為 ，正確；C項，空間點到平面Oyz的距離為該點x
坐標值的絕對值，則（2，－1，3）到面Oyz的距離為2，錯誤；D
項，根據空間向量的正交分解中正交基系數的含義知m＝3i－2j
＋4k表示m＝（3，－2，4），正確.故選A、B、D.
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7. 已知空間向量m＝（1，－3，5），n＝（－2，2，－4），則m＋
n＝ ，3m－n＝ .
解析：m＋n＝（1，－3，5）＋（－2，2，－4）＝（－1，－1，
1），3m－n＝3（1，－3，5）－（－2，2，－4）＝（5，－11，
19）.
（－1，－1，1）　
（5，－11，19）　
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8. （2024·揚州月考）已知點A（λ＋1，μ－1，3），B（2λ，
μ，λ－2μ），C（λ＋3，μ－3，9）三點共線，則實數λ
＝ ，μ＝ .
解析：因為 ＝（λ－1，1，λ－2μ－3）， ＝（2，－2，
6），由A，B，C三點共線，得 ∥ ，即 ＝－ ＝
，解得λ＝0，μ＝0.
0　
0　
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9. 三棱錐P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝
PB＝1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的空間直角
坐標系Bxyz，則向量 的坐標為 .
　
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解析：因為AB＝BC＝PB＝1，所以可設 ＝i， ＝j， ＝
k，所以 ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝
－ ＝ i－ k＝ .
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10. 已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中
點，并且AB＝AP＝1，以{ ， ， }為單位正交基底建立
如圖所示的空間直角坐標系，求 ， 的坐標.
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解：設 ＝e1， ＝e2， ＝e3，則 ＝ ＝e2，
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ）
＝－ e2＋e3＋ （－e3－e1＋e2）
＝－ e1＋ e3，
∴ ＝（－ ，0， ）， ＝（0，1，0）.
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11. 如圖，空間四邊形ABCD中，若向量 ＝（－3，5，2）， ＝
（－7，－1，－4），點E，F分別為線段BC，AD的中點，則
的坐標為（　　）
A. （2，3，3） B. （－2，－3，－3）
C. （5，－2，1） D. （－5，2，－1）
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解析： 　取AC中點M，連接ME，MF（圖略），則 ＝
＝（－ ， ，1）， ＝ ＝（－ ，－ ，－2），所以
＝ － ＝（－2，－3，－3），故選B.
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12. （多選）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝
4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建
立空間直角坐標系，則（　　）
A. 點B1的坐標為（4，5，3）
B. 點C1關于點B對稱的點的坐標為（5，8，－3）
C. 點A關于直線BD1對稱的點的坐標為（0，5，3）
D. 點C關于平面ABB1A1對稱的點的坐標為（8，5，0）
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解析： 　由題意可知，點B1的坐標為（4，5，3），點C1
（0，5，3）關于點B對稱的點的坐標為（8，5，－3），點A關
于直線BD1對稱的點為C1（0，5，3），點C（0，5，0）關于平
面ABB1A1對稱的點的坐標為（8，5，0），因此A、C、D正確，
B錯誤.故選A、C、D.
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13. （2024·常州質檢）已知空間四點A（4，1，3），B（2，3，
1），C（3，7，－5），D（x，－1，3）共面，則x的值
為 .
11　
解析： ＝（－2，2，－2）， ＝（－1，6，－8）， ＝
（x－4，－2，0）.因為A，B，C，D四點共面，所以 ，
， 共面，所以存在實數λ，μ，使 ＝λ ＋μ ，
即（x－4，－2，0）＝（－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－
8μ），所以解得
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14. （2024·南京月考）已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，
1，2），C（－3，0，4）.
（1）求 ＋ ， － ；
（1） ＋ ＝（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（0，1，2）.
－ ＝（1，1，0）－（－1，0，2）＝（2，1，－2）.
解： ＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），
＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.
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（2）是否存在實數x，y，使得 ＝x ＋y 成立？若存
在，求x，y的值；若不存在，請說明理由.
解：假設存在x，y∈R滿足條件，
由已知可得 ＝（－2，－1，2）.
由題意得（－1，0，2）＝x（1，1，0）＋y（－2，－1，2），
所以（－1，0，2）＝（x－2y，x－y，2y），
所以所以
所以存在實數x＝1，y＝1使得結論成立.
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15. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若G是A1D的中點，點H在
平面ABCD上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置.
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解：如圖所示，以D為原點， ， ， 的
方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直
角坐標系.
設正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，
0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）.
因為G是A1D的中點，所以點G的坐標為（ ，0， ）.
因為點H在平面ABCD上，所以設點H的坐標為（m，n，0）.
因為 ＝（m，n，0）－（ ，0， ）＝（m－ ，n，－ ），
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＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1），
又 ∥ ，
所以 ＝ ＝ ，解得m＝1，n＝ .
所以點H的坐標為（1， ，0），即H為線段AB
的中點.
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