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章末檢測(cè)（六）　空間向量與立體幾何
（時(shí)間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知四面體ABCD，G是CD的中點(diǎn)，連接AG，則＋（＋）＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
2.已知平面α的一個(gè)法向量為a＝（1，2，－2），平面β的一個(gè)法向量為b＝（－2，－4，k），若α⊥β，則k＝（　　）
A.4 B.－4
C.5 D.－5
3.已知a＝（cos α，1，sin α），b＝（sin α，1， cos α），則向量a＋b與a－b的夾角是（　　）
A.90° B.60°
C.30° D.0°
4.如圖，在空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，則＝（　　）
A.a＋b＋c B.a＋b－c
C.－a＋b＋c D.a－b＋c
5.已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·＝（　　）
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
6.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面α的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同時(shí)為0），點(diǎn)P（x0，y0，z0）到平面α的距離d＝.那么，在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐P-ABCD中，底面中心O到側(cè)面PAB的距離d＝（　　）
A. B.
C.2 D.5
7.《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖），其中四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，則異面直線DE與BF所成角的大小為（　　）
A. B. C. D.
8.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（　　）
A. B.
C. D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知A（1，2，－2），B（0，1，1），下列結(jié)論正確的有（　　）
A.＝（－1，－1，3）
B.若m＝（2，1，1），則m⊥
C.點(diǎn)A關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2，2）
D.｜｜＝
10.如圖，已知E是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D到平面AED1的距離為d，直線DE與平面AED1所成的角為θ，二面角D1-AE-D的平面角為α，則（　　）
A.DF⊥平面AED1 B.d＝
C.sin θ＝ D.cos α＝
11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為平面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足·＝0.則下列說法正確的是（　　）
A.點(diǎn)M的軌跡是圓
B.點(diǎn)M到直線AB的最遠(yuǎn)距離為4＋
C.直線AB到平面PDC的距離為2
D.點(diǎn)D到平面PBC的距離為
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.若A（－1，2，3），B（2，－4，1），C（x，－1，－3）是以BC為斜邊的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則x＝　　　　.
13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)，則直線B1C到平面A1BD的距離為　　　　.
14.有一長(zhǎng)方形的紙片ABCD，AB的長(zhǎng)度為4 cm，BC的長(zhǎng)度為3 cm，現(xiàn)沿它的一條對(duì)角線AC把它折疊成90°的二面角，如圖，則折疊后·＝　　　　，線段BD的長(zhǎng)是　　　　cm.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），設(shè)a＝，b＝.
（1）求a與b的夾角θ的余弦值；
（2）若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.
16.（本小題滿分15分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O＝，且FO⊥平面ABCD.
求證：（1）AE∥平面BCF；
（2）CF⊥平面AEF.
17.（本小題滿分15分）如圖，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.
（1）求直線BF與平面ABCD所成角的大小；
（2）求點(diǎn)A到平面FBD的距離.
18.（本小題滿分17分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，E是棱C1C的中點(diǎn).
（1）求證：C1B⊥平面ABC；
（2）求二面角A-EB1-A1的余弦值；
（3）在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
19.（本小題滿分17分）如圖，已知向量＝a，＝b，＝c，可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，新定義一種運(yùn)算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），顯然a×b的結(jié)果仍為一個(gè)向量，記作p.
（1）求證：向量p為平面OAB的法向量；
（2）若a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OADB的面積，并比較四邊形OADB的面積與｜a×b｜的大小；
（3）將四邊形OADB按向量＝c平移，得到一個(gè)平行六面體OADB-CA1D1B1，試判斷平行六面體的體積V與｜（a×b）·c｜的大小.（注：第（2）小題的結(jié)論可以直接應(yīng)用）
章末檢測(cè)（六）　空間向量與立體幾何
1.A　在△BCD中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，所以＝（＋），從而＋（＋）＝＋＝.
2.D　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
3.A　∵｜a｜2＝2，｜b｜2＝2，（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）.
4.C　因?yàn)锽N＝NC，所以＝（＋）.因?yàn)镺M＝2MA，所以＝，所以＝－＝（＋）－＝－a＋b＋c，故選C.
5.B　在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以＝＋，＝.則·＝（＋）·＝·＋·.因?yàn)槭钦拿骟w，所以BE⊥AD，∠BAD＝，即·＝0，·＝｜AB｜·｜AD｜c(diǎn)os ＝，所以·＝，故選B.
6.B　以底面中心O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖，則O（0，0，0），A（1，1，0），B（－1，1，0），P（0，0，2）.設(shè)平面PAB的方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，將點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)代入計(jì)算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以平面PAB的方程可化為－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝＝.
7.A　如圖，以矩形ABCD的中心O為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.∵四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF 平面Oyz，且Oz是線段EF的垂直平分線.設(shè)AB＝3，則EF＝1，AD＝2，D（ －1，－，0），E（ 0，－，），B（ 1，，0），F(xiàn)（ 0，，），∴＝（1，1，），＝（－1，－1，），∴·＝－1×1＋1×（－1）＋×＝0，∴⊥，∴異面直線DE與BF所成的角為.故選A.
8.C　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）.連接D1E，所以＝（1，1，－1），＝（－1，2，0），＝（－1，0，1）.設(shè)平面ACD1的法向量為n＝（a，b，c），則即所以令a＝2，則n＝（2，1，2）.點(diǎn)E到平面ACD1的距離為d＝＝.
9.AB　∵A（1，2，－2），B（0，1，1），∴＝（－1，－1，3），｜｜＝＝，A正確，D錯(cuò)誤；若m＝（2，1，1），則m·＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝0，則m⊥，B正確；點(diǎn)A關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2，2），C錯(cuò)誤.故選A、B.
10.BCD　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則A（0，0，0），E（2，1，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），A1（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），∴＝（2，1，0），＝（0，2，2），＝（2，－1，0），＝（2，－2，1）.設(shè)平面AED1的法向量為m＝（x，y，z），則由得令x＝1，則y＝－2，z＝2，故m＝（1，－2，2）.∵＝（2，－2，1），不存在λ使m＝λ，即與m不共線，∴DF與平面AED1不垂直，故A錯(cuò)誤；又∵＝（0，0，2），∴d＝＝＝，故B正確；又＝（2，－1，0）.∴sin θ＝｜c(diǎn)os＜，m＞｜＝＝，故C正確；又＝（0，0，2）為平面AED的一個(gè)法向量，由圖知α為銳角，∴cos α＝＝＝，故D正確.
11.AD　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則P（2，0，2），C（0，4，0），設(shè)M（a，b，0），∴＝（2－a，－b，2），＝（－a，4－b，0）.·＝0，即－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得（a－1）2＋（b－2）2＝5，∴點(diǎn)M的軌跡是在平面ABCD內(nèi)以點(diǎn)O（1，2）為圓心，為半徑的圓，∴A正確；由A知，點(diǎn)M到直線AB的最遠(yuǎn)距離為4－1＋＝3＋，∴B錯(cuò)誤；由題意可知AB∥平面PDC，∴點(diǎn)A到平面PDC的距離即為直線AB到平面PDC的距離.由題意得平面PDC的一個(gè)法向量為n＝（－，0，1），又∵＝（4，0，0），∴直線AB到平面PDC的距離d1＝＝＝2，∴C錯(cuò)誤；由題意得平面PBC的一個(gè)法向量m＝（0，，2），＝（0，4，0），∴點(diǎn)D到平面PBC的距離d2＝＝＝，∴D正確.
12.－11　解析：由題意得＝（3，－6，－2），＝（x＋1，－3，－6），∴·＝3（x＋1）＋18＋12＝0，解得x＝－11.
13.　解析：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則知點(diǎn)B1（0，2，3），B（0，2，0），A1（－1，0，3），C（1，0，0），＝（－1，2，3），＝（0，2，3），＝（0，2，0），＝（－1，0，3）.設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），所以即即令z＝1，則n＝（3，0，1）.所以n·＝0，所以B1C∥平面A1BD，知直線B1C到平面A1BD的距離就等于點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.所求距離為d＝＝.
14.－7　　解析：如圖所示，作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則AC＝5，DE＝BF＝，AE＝CF＝，EF＝，所以·＝·（＋）＝·＋·＝5×4×（－）＋5×3×＝－7，｜｜2＝（＋＋）2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋0＋0＋0＝（）2＋（）2＋（）2＝，得BD＝.
15.解：（1）a＝＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0），
b＝＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）.
cos θ＝＝＝－.
所以a與b的夾角θ的余弦值為－.
（2）因?yàn)閗a＋b＝（k，k，0）＋（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－4），
所以（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k＋2）＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，
所以k＝－或k＝2.
16.證明：取BC中點(diǎn)H，連接OH，
則OH∥BD，
又四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，
故以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（3，0，0），C（－1，0，0），D（1，－2，0），F(xiàn)（0，0，），B（1，2，0）.
＝（－2，－2，0），＝（1，0，），
＝（－1，－2，）.
（1）設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z）.
則即
取z＝1，得n＝（－，，1）.
又四邊形BDEF為平行四邊形，∴＝＝（－1，－2，），
∴＝＋＝＋＝（－2，－2，0）＋（－1，－2，）＝（－3，－4，），
∴·n＝3－4＋＝0，∴⊥n，
又AE 平面BCF，∴AE∥平面BCF.
（2）＝（－3，0，），
∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，
∴⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.
17.解：設(shè)AC∩BD＝O，因?yàn)榱庑蜛BCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD.以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，過O點(diǎn)且平行于AF的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則A（0，1，0），B（－，0，0），C（0，－1，0），D（，0，0），F(xiàn)（0，1，2）.
（1）由題意可知平面ABCD的一個(gè)法向量為m＝（0，0，1），
又＝（，1，2），設(shè)直線BF與平面ABCD所成角為θ，
則有sin θ＝｜c(diǎn)os＜m，＞｜
＝＝＝.
即θ＝45°，所以直線BF與平面ABCD所成角為45°.
（2）因?yàn)椋剑?，0，0），＝（，1，2），
設(shè)平面FBD的法向量為n＝（x，y，z），
則即
令z＝1得n＝（0，－2，1），又因?yàn)椋剑?，0，2），
所以點(diǎn)A到平面FBD的距離d＝＝＝.
18.解：（1）證明：因?yàn)锽C＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，所以BC1＝.所以BC2＋B＝C，所以BC1⊥BC.
因?yàn)锳B⊥側(cè)面BB1C1C，所以AB⊥BC1.
又因?yàn)锳B∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以直線C1B⊥平面ABC.
（2）以B為原點(diǎn)，，和的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則知點(diǎn)A（0，0，2），B1（－1，，0），E（，，0），A1（－1，，2）.
設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為n＝（x1，y1，z1），＝（－1，，－2），＝（，，－2），
因?yàn)?br/>所以
令y1＝，則x1＝1，z1＝1，所以n＝（1，，1）.
設(shè)平面A1B1E的一個(gè)法向量為m＝（x，y，z），＝（0，0，－2），＝（，－，－2），
因?yàn)樗粤顈＝，則x＝1，所以m＝（1，，0）.
因?yàn)椋黰｜＝2，｜n｜＝，m·n＝4，所以cos＜m，n＞＝＝＝.
設(shè)二面角A-EB1-A1為α，
則cos α＝cos＜m，n＞＝，
所以二面角A-EB1-A1的余弦值為.
（3）假設(shè)存在點(diǎn)M（x，y，z），設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，所以（x－1，y，z）＝λ（－1，0，2），所以M點(diǎn)坐標(biāo)為（1－λ，0，2λ），
所以＝（－λ，－，2λ）.
由（2）知平面A1B1E的一個(gè)法向量為m＝（1，，0），所以＝，
得69λ2－38λ＋5＝0，即（3λ－1）（23λ－5）＝0，
所以λ＝或λ＝，所以＝或＝.
19.解：（1）證明：因?yàn)閜·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3＋a3a1b2－a3a2b1＝0，
所以p⊥a，即p⊥，
因?yàn)閜·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0，
所以p⊥b，即p⊥，
又因?yàn)镺A∩OB＝O，
所以向量p為平面OAB的法向量.
（2）cos∠AOB＝＝＝，則sin∠AOB＝，
故S四邊形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜sin∠AOB＝3×3×＝6，
由a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3，0，－3），
所以｜a×b｜＝＝6，
所以S四邊形OADB＝｜a×b｜.
（3）設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h，與平面OAB所成的角為α，
則V＝S四邊形OADB·h＝｜a×b｜｜c(diǎn)｜sin α，由（1）得向量p為平面OAB的法向量，
則｜c(diǎn)os＜a×b，c＞｜＝sin α，又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c(diǎn)｜c(diǎn)os＜a×b，c＞，
所以V＝｜（a×b）·c｜.
4 / 4(共45張PPT)
章末檢測(cè)（六）　
空間向量與立體幾何
（時(shí)間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知四面體ABCD，G是CD的中點(diǎn)，連接AG，則 ＋ （ ＋
）＝（　　）
解析： 　在△BCD中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，所以 ＝
（ ＋ ），從而 ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＝ .
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2. 已知平面α的一個(gè)法向量為a＝（1，2，－2），平面β的一個(gè)法
向量為b＝（－2，－4，k），若α⊥β，則k＝（　　）
A. 4 B. －4
C. 5 D. －5
解析： 　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝
－5.
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3. 已知a＝（ cos α，1， sin α），b＝（ sin α，1， cos α），則
向量a＋b與a－b的夾角是（　　）
A. 90° B. 60°
C. 30° D. 0°
解析： 　∵｜a｜2＝2，｜b｜2＝2，（a＋b）·（a－b）＝｜
a｜2－｜b｜2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）.
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4. 如圖，在空間四邊形OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，且
OM＝2MA，BN＝NC，則 ＝（　　）
解析： 　因?yàn)锽N＝NC，所以 ＝ （ ＋ ）.因?yàn)镺M＝
2MA，所以 ＝ ，所以 ＝ － ＝ （ ＋ ）
－ ＝－ a＋ b＋ c，故選C.
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5. 已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中
點(diǎn)，則 · ＝（　　）
A. a2
解析： 　在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中
點(diǎn)，所以 ＝ ＋ ， ＝ .則 · ＝（ ＋
）· ＝ · ＋ · .因?yàn)槭钦拿骟w，所以
BE⊥AD，∠BAD＝ ，即 · ＝0， · ＝｜AB｜·｜
AD｜ cos ＝ ，所以 · ＝ ，故選B.
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6. 在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面α的一般方程為Ax＋By＋Cz＋
D＝0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同時(shí)為0），點(diǎn)P
（x0，y0，z0）到平面α的距離d＝ .那么，
在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐P-ABCD中，底面中心O到側(cè)面
PAB的距離d＝（　　）
C. 2 D. 5
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解析： 　以底面中心O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)
系O-xyz，如圖，則O（0，0，0），A（1，1，
0），B（－1，1，0），P（0，0，2）.設(shè)平面PAB
的方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，將點(diǎn)A，B，P的
坐標(biāo)代入計(jì)算得A＝0，B＝－D，C＝－ D，所以平面PAB的方程可化為－Dy－ Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝ ＝ .
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7. 《九章算術(shù)》是古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，
書中記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖），其中四邊形
ABCD為矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正
三角形，且AD＝2EF，則異面直線DE與BF所成角的大小為
（　　）
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解析： 　如圖，以矩形ABCD的中心O為原
點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐
標(biāo)系.∵四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，
△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF 平面Oyz，且Oz是線段EF的垂直平分線.設(shè)AB＝3，則EF＝1，AD＝2，D（ －1，－ ，0），E（ 0，－ ， ），B（ 1， ，0），F(xiàn)（ 0， ， ），∴ ＝（1，1， ）， ＝（－1，－1， ），∴ · ＝－1×1＋1×（－1）＋ × ＝0，∴
⊥ ，∴異面直線DE與BF所成的角為 .故選A.
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8. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)
E是棱AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為（　　）
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解析： 如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，
DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖
所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1（0，0，1），
E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）.
連接D1E，所以 ＝（1，1，－1）， ＝（－1，2，0）， ＝（－1，0，1）.設(shè)平面ACD1的法向量為n＝（a，b，c），則即所以令a＝2，則n＝（2，1，2）.點(diǎn)E到平面ACD1的距離為d＝ ＝ .
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二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選
對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知A（1，2，－2），B（0，1，
1），下列結(jié)論正確的有（　　）
C. 點(diǎn)A關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2，2）
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解析： 　∵A（1，2，－2），B（0，1，1），∴ ＝（－
1，－1，3），｜ ｜＝ ＝ ，A正確，D錯(cuò)誤；若
m＝（2，1，1），則m· ＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝
0，則m⊥ ，B正確；點(diǎn)A關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，
2，2），C錯(cuò)誤.故選A、B.
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10. 如圖，已知E是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中
點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D到平面AED1的距離為d，直線DE
與平面AED1所成的角為θ，二面角D1-AE-D的平面角為α，則
（　　）
A. DF⊥平面AED1
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解析： 　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 分別為x，y，z
軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則A（0，0，
0），E（2，1，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），A1
（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），∴ ＝（2，1，0）， ＝
（0，2，2）， ＝（2，－1，0）， ＝（2，－2，1）.
設(shè)平面AED1的法向量為m＝（x，y，z），則由
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得令x＝1，則y＝－2，z＝2，故m＝（1，－
2，2）.∵ ＝（2，－2，1），不存在λ使m＝λ ，即
與m不共線，∴DF與平面AED1不垂直，故A錯(cuò)誤；又
∵ ＝（0，0，2），∴d＝ ＝ ＝ ，故B正
確；又 ＝（2，－1，0）.∴ sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜
＝ ＝ ，故C正確；又 ＝（0，0，2）為平面
AED的一個(gè)法向量，由圖知α為銳角，∴ cos α＝
＝ ＝ ，故D正確.
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11. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，
底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為平面ABCD
上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 · ＝0.則下列說法正確的是（　　）
A. 點(diǎn)M的軌跡是圓
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解析： 　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-
xyz，則P（2，0，2 ），C（0，4，0），設(shè)M
（a，b，0），∴ ＝（2－a，－b，2 ），
＝（－a，4－b，0）. · ＝0，即－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得（a－1）2＋（b－2）2＝5，∴點(diǎn)M的軌跡是在平面ABCD內(nèi)以點(diǎn)O（1，2）為圓心， 為半徑的圓，∴A正確；由A知，點(diǎn)M到直線AB的最遠(yuǎn)距離為4－1＋ ＝3＋ ，∴B錯(cuò)
誤；由題意可知AB∥平面PDC，∴點(diǎn)A到平面PDC的距離即為直線AB到平面PDC的距離.
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由題意得平面PDC的一個(gè)法向量為n＝（－ ，0，1），
又∵ ＝（4，0，0），∴直線AB到平面PDC的距離d1＝ ＝ ＝2 ，∴C錯(cuò)誤；由題意得平面PBC的一個(gè)法向量m＝（0， ，2）， ＝（0，4，0），∴點(diǎn)D到平面PBC的距離d2＝ ＝ ＝ ，∴D正確.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 若A（－1，2，3），B（2，－4，1），C（x，－1，－3）是以
BC為斜邊的直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則x＝ .
解析：由題意得 ＝（3，－6，－2）， ＝（x＋1，－3，－
6），∴ · ＝3（x＋1）＋18＋12＝0，解得x＝－11.
－11　
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13. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是
AC的中點(diǎn)，則直線B1C到平面A1BD的距離為 .
　
解析：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直
角坐標(biāo)系，則知點(diǎn)B1（0，2 ，3），B（0，
2 ，0），A1（－1，0，3），C（1，0，0），
＝（－1，2 ，3）， ＝（0，2 ，
3）， ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，0，3）.設(shè)平面
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A1BD的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），所以即
即令z＝1，則n＝（3，0，1）.所
以n· ＝0，所以B1C∥平面A1BD，知直線B1C到平面A1BD
的距離就等于點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.所求距離為d＝
＝ .
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14. 有一長(zhǎng)方形的紙片ABCD，AB的長(zhǎng)度為4 cm，BC的長(zhǎng)度為3
cm，現(xiàn)沿它的一條對(duì)角線AC把它折疊成90°的二面角，如圖，
則折疊后 · ＝ ，線段BD的長(zhǎng)是 cm.
－7　
　
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解析：如圖所示，作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足
分別為E，F(xiàn)，則AC＝5，DE＝BF＝ ，AE＝
CF＝ ，EF＝ ，所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＝5×4×（－ ）＋5×3× ＝－7，｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋
2 · ＋2 · ＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋0＋0＋0＝（ ）2＋（ ）2＋（ ）2＝ ，得BD＝ .
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，
1，2），C（－3，0，4），設(shè)a＝ ，b＝ .
（1）求a與b的夾角θ的余弦值；
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解： a＝ ＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝
（1，1，0），
b＝ ＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，
2）.
cos θ＝ ＝ ＝－ .
所以a與b的夾角θ的余弦值為－ .
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（2）若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.
解： 因?yàn)閗a＋b＝（k，k，0）＋（－1，0，2）＝
（k－1，k，2），
ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－
4），
所以（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k
＋2）＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，所以k＝－ 或k＝2.
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16. （本小題滿分15分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2 ，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O＝ ，且FO⊥平面ABCD.
求證：（1）AE∥平面BCF；
證明：取BC中點(diǎn)H，連接OH，
則OH∥BD，
又四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，
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故以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（3，0，0），C（－1，0，0），D（1，－2，0），F(xiàn)（0，0， ），B（1，2，0）.
＝（－2，－2，0）， ＝（1，0， ），
＝（－1，－2， ）.
（1）設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z）.
則即
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取z＝1，得n＝（－ ， ，1）.
又四邊形BDEF為平行四邊形，
∴ ＝ ＝（－1，－2， ），
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（－2，－2，0）＋（－1，－2， ）＝（－3，－4， ），
∴ ·n＝3 －4 ＋ ＝0，∴ ⊥n，
又AE 平面BCF，∴AE∥平面BCF.
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（2）CF⊥平面AEF.
證明： ＝（－3，0， ），
∴ · ＝－3＋3＝0， · ＝－3＋3
＝0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，即CF⊥AF，
CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.
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17. （本小題滿分15分）如圖，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.
（1）求直線BF與平面ABCD所成角的大小；
解：設(shè)AC∩BD＝O，因?yàn)榱庑蜛BCD和
矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易
得AF⊥平面ABCD. 以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以O(shè)D所在直線為x軸，OA所在直線為y
軸，過O點(diǎn)且平行于AF的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A（0，1，0），B（－ ，0，0），
C（0，－1，0），D（ ，0，0），F(xiàn)（0，1，2）.
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（1）由題意可知平面ABCD的一個(gè)法向量為m＝（0，0，1），
又 ＝（ ，1，2），設(shè)直線BF與平面ABCD所成角為θ，
則有 sin θ＝｜ cos ＜m， ＞｜＝ ＝ ＝ .即θ＝45°，所以直
線BF與平面ABCD所成角為45°.
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（2）求點(diǎn)A到平面FBD的距離.
解：因?yàn)?＝（2 ，0，0）， ＝（ ，1，2），
設(shè)平面FBD的法向量為n＝（x，y，z），
則即
令z＝1得n＝（0，－2，1），又因?yàn)?＝（0，0，2），
所以點(diǎn)A到平面FBD的距離d＝ ＝ ＝ .
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18. （本小題滿分17分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知∠BCC1＝ ，BC＝1，AB＝C1C＝2，E是棱C1C的中點(diǎn).
（1）求證：C1B⊥平面ABC；
解： 證明：因?yàn)锽C＝1，CC1＝2，
∠BCC1＝ ，所以BC1＝ .所以BC2＋B ＝C ，所以BC1⊥BC.
因?yàn)锳B⊥側(cè)面BB1C1C，所以AB⊥BC1.
又因?yàn)锳B∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以直線C1B⊥平面ABC.
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（2）求二面角A-EB1-A1的余弦值；
解： 以B為原點(diǎn)， ， 和 的
方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖
所示的空間直角坐標(biāo)系，
則知點(diǎn)A（0，0，2），B1（－1， ，
0），E（ ， ，0），A1（－1， ，2）.
設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為n＝（x1，y1，z1）， ＝（－1， ，－2）， ＝（ ， ，－2），
因?yàn)樗粤顈1＝ ，則x1
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＝1，z1＝1，所以n＝（1， ，1）.
設(shè)平面A1B1E的一個(gè)法向量為m＝（x，y，z）， ＝（0，0，－2）， ＝（ ，－ ，－2），
因?yàn)樗粤顈＝ ，則x＝1，
所以m＝（1， ，0）.
因?yàn)椋黰｜＝2，｜n｜＝ ，m·n＝4，
所以 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ .
設(shè)二面角A-EB1-A1為α，則 cos α＝ cos ＜m，n＞＝ ，所以二面角A-EB1-A1的余弦值為 .
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（3）在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面A1B1E所成角
的正弦值為 ？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說
明理由.
解： 假設(shè)存在點(diǎn)M（x，y，z），設(shè)
＝λ ，λ∈[0，1]，所以（x－1，
y，z）＝λ（－1，0，2），所以M點(diǎn)坐標(biāo)
為（1－λ，0，2λ），
所以 ＝（ －λ，－ ，2λ）.
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由（2）知平面A1B1E的一個(gè)法向量為m＝（1， ，0），
所以 ＝ ，
得69λ2－38λ＋5＝0，即（3λ－1）（23λ－5）＝0，
所以λ＝ 或λ＝ ，所以 ＝ 或 ＝ .
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19. （本小題滿分17分）如圖，已知向量 ＝a，
＝b， ＝c，可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基
底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，
b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的運(yùn)
算法則的基礎(chǔ)上，新定義一種運(yùn)算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），顯然a×b的結(jié)果仍為一個(gè)向量，記作p.
（1）求證：向量p為平面OAB的法向量；
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解： 證明：因?yàn)閜·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3
＋a3a1b2－a3a2b1＝0，所以p⊥a，即p⊥ ，
因?yàn)閜·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0，
所以p⊥b，即p⊥ ，
又因?yàn)镺A∩OB＝O，
所以向量p為平面OAB的法向量.
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（2）若a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），求以O(shè)A，
OB為鄰邊的平行四邊形OADB的面積，并比較四邊形
OADB的面積與｜a×b｜的大小；
解：∠AOB＝ ＝ ＝ ，則 sin ∠AOB＝ ，
故S四邊形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜ sin ∠AOB＝3×3× ＝6 ，
由a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3 ，0，－3），
所以｜a×b｜＝ ＝6 ，所以S四邊形OADB＝｜a×b｜.
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（3）將四邊形OADB按向量 ＝c平移，得到一個(gè)平行六面體
OADB-CA1D1B1，試判斷平行六面體的體積V與｜（a×b）
·c｜的大小.（注：第（2）小題的結(jié)論可以直接應(yīng)用）
解： 設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h， 與平面OAB所成的角為α，
則V＝S四邊形OADB·h＝｜a×b｜｜c(diǎn)｜ sin α，
由（1）得向量p為平面OAB的法向量，
則｜ cos ＜a×b，c＞｜＝ sin α，
又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c(diǎn)｜ cos ＜a×b，c＞，
所以V＝｜（a×b）·c｜.
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