資源簡介

6.3.1　直線的方向向量與平面的法向量
1. 在空間直角坐標系O-xyz中，下列向量是y軸方向向量的是（　　）
A.（1，1，1） B.（0，－1，0）
C.（1，2，0） D.（0，1，1）
2.已知平面α內有一個點A（2，－1，2），α的一個法向量為n＝（3，1，2），則下列各點中，在平面α內的是（　　）
A.P（1，－1，1） B.Q
C.M D.N
3.從點A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取線段長｜｜＝34，則B點的坐標為（　　）
A.（18，17，－17） B.（－14，－19，17）
C. D.
4.（2024·淮安月考）已知直線l1的方向向量a＝（2，4，x），直線l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，則x＋y的值是（　　）
A.－3或1 B.3或－1
C.－3 D.1
5.在三棱錐P-ABC中，CP，CA，CB兩兩垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如圖，建立空間直角坐標系，則下列向量是平面PAB的法向量的是（　　）
A.（1，1，） B.（1，，1）
C.（1，1，1） D.（2，－2，1）
6.（多選）在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，下列結論正確的是（　　）
A.平面ABB1A1的一個法向量為（0，1，0）
B.平面B1CD的一個法向量為（1，1，1）
C.平面B1CD1的一個法向量為（1，1，1）
D.平面ABC1D1的一個法向量為（0，1，1）
7.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，分別以長方體的兩個頂點為始點和終點的向量中：
（1）直線AB的方向向量有　　　　個；
（2）平面AA1B1B的法向量有　　　　個.
8.已知直線l1的一個方向向量為（－5，3，2），另一個方向向量為（x，y，8），則x＝　　　　，y＝　　　　.
9.（2024·南通質檢）已知平面α經過點O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一個法向量，M（x，y，z）是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是　　　　.
10.如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，設＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}為空間的一個基底，求直線AE，AD的一個方向向量.
11.（多選）已知平面α內兩向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c為平面α的一個法向量，則（　　）
A.m＝－1 B.m＝1
C.n＝2 D.n＝－2
12.（2024·常州質檢）若A，B（1，－1，），C是平面α內的三點，設平面α的法向量a＝（x，y，z），則x∶y∶z＝　　　　.
13.已知空間直角坐標系O-xyz中的點A（1，1，1），平面α過點A并且與直線OA垂直，動點P（x，y，z）是平面α內的任一點，則直線OA的一個方向向量為　　　　，點P的坐標滿足的條件為　　　　.
14.如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，試建立適當的坐標系.
（1）求平面ABCD的一個法向量；
（2）求平面SAB的一個法向量；
（3）求平面SCD的一個法向量.
15.（2024·無錫月考）已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）.
（1）求證：是平面ABCD的法向量；
（2）求平行四邊形ABCD的面積.
6.3.1　直線的方向向量與平面的法向量
1.B　y軸方向向量可以表示為（0，k，0）（k≠0），所以（0，－1，0）是y軸方向向量.
2.B　對于B，＝，則n·＝（3，1，2）·＝0，∴n⊥，則點Q在平面α內.
3.A　設B點坐標為（x，y，z），則＝λa（λ＞0），即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因為｜｜＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.
4.A　由題意得解得或故x＋y＝－3或x＋y＝1.
5.A　因為P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），所以＝（1，0，－2），＝（－1，1，0），設平面PAB的一個法向量為n＝（x，y，1），由則解得所以n＝（2，2，1）.又（1，1，）＝n.因此，平面PAB的一個法向量為（1，1，）.
6.AC　∵＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面ABB1A1，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正確；∵＝（－1，0，0），而（1，1，1）·＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，∴ B不正確；∵＝（0，1，－1），＝（－1，0，1），（1，1，1）·＝0，（1，1，1）·＝0，B1C∩CD1＝C，B1C，CD1 平面B1CD1，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一個法向量，∴C正確；∵＝（0，1，1），而·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正確.
7.（1）8　（2）8　解析：（1）直線AB的方向向量有：，，，，，，，，共8個.
（2）平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8個.
8.－20　12　解析：∵直線的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12.
9.x＋2y－3z＝0　解析：由題意得e⊥，則·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，故x＋2y－3z＝0.
10.解：＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c，
所以直線AD的一個方向向量是a＋b＋c.
＝＋＝＋
＝＋
＝＋＝b＋c，
所以直線AE的一個方向向量為b＋c.
11.AC　c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1），由c為平面α的一個法向量，得得解得
12.2∶3∶－4　解析：∵A，B，C，∴＝，＝（－2，－1，－）.又∵∴解得∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶－4.
13.（1，1，1）（答案不唯一）　x＋y＋z＝3
解析：由題意知，直線OA的一個方向向量為＝（1，1，1）.因為A∈α，P∈α，OA⊥α，所以⊥，所以（1，1，1）·（x－1，y－1，z－1）＝0，所以x＋y＋z＝3.
14.解：以{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）.
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴＝（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
∴＝（，0，0）是平面SAB的一個法向量.
（3）在平面SCD中，＝（，1，0），＝（1，1，－1）.
設平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），
則n⊥，n⊥，
∴
得方程組∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，
∴n＝（2，－1，1）.
∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一個法向量.
（答案不唯一）
15.解：（1）證明：因為·＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，·＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.
所以是平面ABCD的法向量.
（2）因為｜｜＝＝，
｜｜＝＝2，
·＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6，
所以cos＜，＞＝＝，
故sin＜，＞＝，
S ABCD＝｜｜·｜｜sin＜，＞＝8.
2 / 26.3.1　直線的方向向量與平面的法向量
新課程標準解讀 核心素養
1.能用向量語言表述直線和平面 數學抽象
2.理解直線的方向向量與平面的法向量 數學抽象
3.會求直線的方向向量與平面的法向量 直觀想象、數學運算
　　如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1.
【問題】　（1）能不能利用空間向量及一點確定直線AB在空間中的位置？
（2）怎樣借助空間向量及一點來刻畫空間平面的位置？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　直線的方向向量
　把直線l上的向量e（e≠0）以及與e　　　的非零向量叫作直線l的方向向量.
提醒　與直線l平行的任意非零向量a都是直線l的方向向量，且直線l的方向向量有無數個.
知識點二　平面的法向量
　如果表示非零向量n的有向線段所在直線　　　　平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作　　　　.此時，我們把向量n叫作平面α的法向量.
知識點三　平面方程的表示
1.在空間直角坐標系中，平面可以用關于x，y，z的三元一次方程來表示.
2.設平面α經過點P（x0，y0，z0），M（x，y，z）是平面α內任意一點，則平面α的法向量為n＝（A，B，C）的平面方程為　　　　　　　　.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若點A，B是平面α上的任意兩點，n是平面α的法向量，則·n＝0.（　　）
（2）在空間中，由直線l上的一定點A和直線l的方向向量能表示直線上的任意一點.（　　）
（3）空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.（　　）
2.（多選）若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直線l上，則直線l的一個方向向量是（　　）
A.（2，2，6） B.（1，1，3）
C.（3，1，1） D.（－3，0，1）
3.已知平面內的兩個向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），則該平面的一個法向量為（　　）
A.（1，－1，1） B.（2，－1，1）
C.（－2，1，1） D.（－1，1，－1）
題型一 直線的方向向量
【例1】　在如圖所示的坐標系中，ABCD-A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為　　　　，直線BC1的一個方向向量為　　　　.
通性通法
直線方向向量的選取方法
（1）在直線上任取兩點P，Q，可得到直線的一個方向向量；
（2）與共線的非零向量均可作為直線的方向向量.
【跟蹤訓練】
1.已知直線l的一個方向向量m＝（2，－1，3），且直線l過A（0，y，3）和B（－1，2，z）兩點，則y－z＝（　　）
A.0 B.1
C. D.3
2.（2024·泰州月考）已知點P是過點A（0，1，1）且方向向量為v＝（1，0，0）的直線上的一點，若｜｜＝3，則點P的坐標是　　　　.
題型二 平面的法向量
【例2】　（鏈接教科書第29頁例1）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量.
【母題探究】
（變設問）若本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.
通性通法
利用待定系數法求平面法向量的步驟
（1）設向量：設平面的一個法向量為n＝（x，y，z）；
（2）選向量：在平面內選取兩個不共線向量，；
（3）列方程組：由列出方程組；
（4）解方程組：
（5）賦非零值：取x，y，z其中一個為非零值（常取±1）；
（6）得結論：得到平面的一個法向量.
【跟蹤訓練】
　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O為底面ABCD的中心.求證：是平面PAC的一個法向量.
題型三 平面方程的表示
【例3】　（鏈接教科書第30頁例2）已知A（1，2，3），B（1，－1，－2），C（－1，0，0）.
（1）寫出直線BC的一個方向向量；
（2）設平面α經過點A，且是α的一個法向量，M（x，y，z）是平面α內任意一點，試寫出x，y，z滿足的關系式.
通性通法
求平面方程的兩種方法
（1）法向量法：利用法向量與平面內的任意向量垂直，即n·＝0求解，其中n為平面的法向量，為平面內的任意向量；
（2）待定系數法：設所求平面方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代入相關點解方程即可.
【跟蹤訓練】
　在空間直角坐標系中，已知點A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），試求出經過A，B，C三點的平面的方程.
1.若A（0，2，1），B（3，2，－1）在直線l上，則直線l的一個方向向量為（　　）
A.（－3，0，－6） B.（9，0，－6）
C.（－2，0，2） D.（－2，1，3）
2.已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直線l的方向向量，則x＝（　　）
A.－1 B.1或－1
C.－3 D.1
3.（2024·揚州月考）已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C（1，0，0），則平面ABC的一個法向量為（　　）
A.（0，1，－1） B.（－1，0，1）
C.（1，1，1） D.（－1，0，0）
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，證明是平面ABC1D1的法向量.
6.3.1　直線的方向向量與平面的法向量
【基礎知識·重落實】
知識點一
共線
知識點二
垂直于　n⊥α
知識點三
2.A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0
自我診斷
1.（1）√　（2）√　（3）√
2.AB　＝（1，1，3），又（2，2，6）＝2（1，1，3）＝2，∴（1，1，3）和（2，2，6）均為直線l的方向向量，故選A、B.
3.C　顯然a與b不平行，設該平面的一個法向量為n＝（x，y，z），則有即令z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）.
【典型例題·精研析】
【例1】　（0，0，1）　（0，1，1）（答案不唯一）　解析：∵DD1∥AA1，＝（0，0，1），∴直線DD1的一個方向向量為（0，0，1）.∵BC1∥AD1，＝（0，1，1），∴直線BC1的一個方向向量為（0，1，1）.
跟蹤訓練
1.A　∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直線l的一個方向向量為m＝（2，－1，3），故設＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0.
2.（－3，1，1）或（3，1，1）　解析：設P（x，y，z），則＝（x，y－1，z－1），因為∥v，所以＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，1），｜｜＝＝3，解得λ＝±3.所以點P的坐標是（－3，1，1）或（3，1，1）.
【例2】　解：因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，
所以AB，AD，AP兩兩垂直.
如圖，以A為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），E，C（1，，0），
于是＝，＝（1，，0）.
設n＝（x，y，z）為平面ACE的法向量，
則即所以
令y＝－1，則x＝z＝.
所以平面ACE的一個法向量為n＝（，－1，）.
母題探究
　解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則P（0，0，1），C（1，，0），所以＝（1，，－1），即為直線PC的一個方向向量.
設平面PCD的一個法向量為n＝（x，y，z），
因為D（0，，0），所以＝（0，，－1）.
由即
所以令y＝1，則z＝.
所以平面PCD的一個法向量為n＝（0，1，）.
跟蹤訓練
　證明：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1
所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.
不妨設正方體的棱長為2，則A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0），
∴＝（1，1，2），＝（－2，2，0），
＝（－2，0，1），
∴·＝－2＋2＝0，
·＝－2＋2＝0，
∴⊥，⊥，即OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴是平面PAC的一個法向量.
【例3】　解：（1）由題意知＝（－1－1，0－（－1），0－（－2））＝（－2，1，2）.
所以直線BC的一個方向向量為（－2，1，2）（答案不唯一）.
（2）因為平面α經過點A（1，2，3），且M（x，y，z）是平面α內的任意一點，
則有＝（x－1，y－2，z－3），
又因為是平面α的法向量，
所以⊥，從而·＝0，
即（－2，1，2）·（x－1，y－2，z－3）＝0，
整理可得2x－y－2z＋6＝0，即為所求.
跟蹤訓練
　解：設所求平面方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，
將點A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）分別代入，得∴2A＝3B＝4C，
∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12，
∴經過A，B，C三點的平面的方程為6x＋4y＋3z－12＝0.
隨堂檢測
1.B　＝（3，0，－2）＝（9，0，－6），故選B.
2.A　由題意得a∥b，所以解得x＝－1.
3.A　設平面ABC的法向量為n＝（x，y，z），由＝（－1，0，0），＝（1，－1，－1），可得即取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，－1）.
4.證明：不妨設正方體的棱長為1，以{，，}為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
則D（0，0，0），A1（1，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
∴＝（1，0，1），＝（0，1，0），＝（－1，0，1）.
∴·＝0，·＝0，
∴DA1⊥AB且DA1⊥AD1，
又∵AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，∴DA⊥平面ABC1D1，
∴是平面ABC1D1的法向量.
3 / 3(共56張PPT)
6.3.1　
直線的方向向量與平面的法向量
新課程標準解讀 核心素養
1.能用向量語言表述直線和平面 數學抽象
2.理解直線的方向向量與平面的法
向量 數學抽象
3.會求直線的方向向量與平面的法
向量 直觀想象、數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1.
【問題】　（1）能不能利用空間向量及一點確定直線AB在空間中的
位置？
（2）怎樣借助空間向量及一點來刻畫空間平面的位置？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　直線的方向向量
　把直線l上的向量e（e≠0）以及與e 的非零向量叫作直線
l的方向向量.
提醒　與直線l平行的任意非零向量a都是直線l的方向向量，且直線
l的方向向量有無數個.
共線　
知識點二　平面的法向量
　如果表示非零向量n的有向線段所在直線 平面α，那么
稱向量n垂直于平面α，記作 .此時，我們把向量n叫作平
面α的法向量.
垂直于　
n⊥α　
知識點三　平面方程的表示
1. 在空間直角坐標系中，平面可以用關于x，y，z的三元一次方程來
表示.
2. 設平面α經過點P（x0，y0，z0），M（x，y，z）是平面α內任
意一點，則平面α的法向量為n＝（A，B，C）的平面方程
為 .
A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若點A，B是平面α上的任意兩點，n是平面α的法向量，
則 ·n＝0. （　√　）
（2）在空間中，由直線l上的一定點A和直線l的方向向量能表示
直線上的任意一點. （　√　）
（3）空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.
（　√　）
√
√
√
2. （多選）若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直線l上，則直線
l的一個方向向量是（　　）
A. （2，2，6） B. （1，1，3）
C. （3，1，1） D. （－3，0，1）
解析： 　 ＝（1，1，3），又（2，2，6）＝2（1，1，3）
＝2 ，∴（1，1，3）和（2，2，6）均為直線l的方向向量，故
選A、B.
3. 已知平面內的兩個向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），則該
平面的一個法向量為（　　）
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
解析： 　顯然a與b不平行，設該平面的一個法向量為n＝（x，
y，z），則有即令z＝1，得x＝－
2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 直線的方向向量
【例1】　在如圖所示的坐標系中，ABCD-A1B1C1D1為正方體，棱長
為1，則直線DD1的一個方向向量為 ，直線BC1的一
個方向向量為 .
（0，0，1）　
（0，1，1）（答案不唯一）　
解析：∵DD1∥AA1， ＝（0，0，1），∴直線DD1的一個方向向
量為（0，0，1）.∵BC1∥AD1， ＝（0，1，1），∴直線BC1的
一個方向向量為（0，1，1）.
通性通法
直線方向向量的選取方法
（1）在直線上任取兩點P，Q，可得到直線的一個方向向量 ；
（2）與 共線的非零向量均可作為直線的方向向量.
【跟蹤訓練】
1. 已知直線l的一個方向向量m＝（2，－1，3），且直線l過A
（0，y，3）和B（－1，2，z）兩點，則y－z＝（　　）
A. 0 B. 1
D. 3
解析： 　∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴ ＝（－1，
2－y，z－3），∵直線l的一個方向向量為m＝（2，－1，3），
故設 ＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－
，y＝z＝ .∴y－z＝0.
2. （2024·泰州月考）已知點P是過點A（0，1，1）且方向向量為v
＝（1，0，0）的直線上的一點，若｜ ｜＝3，則點P的坐標
是 .
解析：設P（x，y，z），則 ＝（x，y－1，z－1），因為
∥v，所以 ＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所
以P（λ，1，1），｜ ｜＝
＝3，解得λ＝±3.所以點
P的坐標是（－3，1，1）或（3，1，1）.
（－3，1，1）或（3，1，1）　
題型二 平面的法向量
【例2】　（鏈接教科書第29頁例1）如圖，在四棱錐P-ABCD中，
底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.AB＝AP＝
1，AD＝ ，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個
法向量.
解：因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，
所以AB，AD，AP兩兩垂直.
如圖，以A為坐標原點， ， ， 的方向分別為x軸，y軸，z
軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），E ，C（1， ，0），
于是 ＝ ， ＝（1， ，0）.
設n＝（x，y，z）為平面ACE的法向量，
則即所以
令y＝－1，則x＝z＝ .
所以平面ACE的一個法向量為n＝（ ，－1， ）.
【母題探究】
（變設問）若本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面
PCD的一個法向量.
解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則P（0，0，1），C（1，
，0），所以 ＝（1， ，－1），即為直線PC的一個方向向量.
設平面PCD的一個法向量為n＝（x，y，z），
因為D（0， ，0），所以 ＝（0， ，－1）.
由即
所以令y＝1，則z＝ .
所以平面PCD的一個法向量為n＝（0，1， ）.
通性通法
利用待定系數法求平面法向量的步驟
（1）設向量：設平面的一個法向量為n＝（x，y，z）；
（2）選向量：在平面內選取兩個不共線向量 ， ；
（3）列方程組：由列出方程組；
（4）解方程組：
（5）賦非零值：取x，y，z其中一個為非零值（常取±1）；
（6）得結論：得到平面的一個法向量.
【跟蹤訓練】
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O為底面ABCD的中心.求證： 是平面PAC的一個法向量.
證明：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1
所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.
不妨設正方體的棱長為2，則A（2，0，0），P（0，
0，1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0），
∴ ＝（1，1，2）， ＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，1），
∴ · ＝－2＋2＝0，
· ＝－2＋2＝0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，即OB1⊥AC，OB1⊥AP.
∵AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.
∴ 是平面PAC的一個法向量.
題型三 平面方程的表示
【例3】　（鏈接教科書第30頁例2）已知A（1，2，3），B（1，－
1，－2），C（－1，0，0）.
（1）寫出直線BC的一個方向向量；
解： 由題意知 ＝（－1－1，0－（－1），0－（－
2））＝（－2，1，2）.
所以直線BC的一個方向向量為（－2，1，2）（答案不唯一）.
（2）設平面α經過點A，且 是α的一個法向量，M（x，y，z）
是平面α內任意一點，試寫出x，y，z滿足的關系式.
解： 因為平面α經過點A（1，2，3），且M（x，y，
z）是平面α內的任意一點，
則有 ＝（x－1，y－2，z－3），
又因為 是平面α的法向量，
所以 ⊥ ，從而 · ＝0，
即（－2，1，2）·（x－1，y－2，z－3）＝0，
整理可得2x－y－2z＋6＝0，即為所求.
通性通法
求平面方程的兩種方法
（1）法向量法：利用法向量與平面內的任意向量垂直，即n· ＝0
求解，其中n為平面的法向量， 為平面內的任意向量；
（2）待定系數法：設所求平面方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代
入相關點解方程即可.
【跟蹤訓練】
　在空間直角坐標系中，已知點A（2，0，0），B（0，3，0），C
（0，0，4），試求出經過A，B，C三點的平面的方程.
解：設所求平面方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，
將點A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）分別代入，得
∴2A＝3B＝4C，
∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12，
∴經過A，B，C三點的平面的方程為6x＋4y＋3z－12＝0.
1. 若A（0，2，1），B（3，2，－1）在直線l上，則直線l的一個方
向向量為（　　）
A. （－3，0，－6） B. （9，0，－6）
C. （－2，0，2） D. （－2，1，3）
解析： 　 ＝（3，0，－2）＝ （9，0，－6），故選B.
2. 已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直線l的
方向向量，則x＝（　　）
A. －1 B. 1或－1
C. －3 D. 1
解析： 　由題意得a∥b，所以解得x＝－1.
解析： 　設平面ABC的法向量為n＝（x，y，z），由 ＝
（－1，0，0）， ＝（1，－1，－1），可得即
取y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，
－1）.
3. （2024·揚州月考）已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C
（1，0，0），則平面ABC的一個法向量為（　　）
A. （0，1，－1） B. （－1，0，1）
C. （1，1，1） D. （－1，0，0）
4. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，證明 是平面ABC1D1的法向量.
證明：不妨設正方體的棱長為1，以{ ， ，
}為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角
坐標系D-xyz.
則D（0，0，0），A1（1，0，1），A（1，0，
0），B（1，1，0），D1（0，0，1），
∴ ＝（1，0，1）， ＝（0，1，0），
＝（－1，0，1）.
∴ · ＝0， · ＝0，∴DA1⊥AB且DA1⊥AD1，
又∵AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，
∴DA⊥平面ABC1D1，
∴ 是平面ABC1D1的法向量.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 在空間直角坐標系O-xyz中，下列向量是y軸方向向量的是
（　　）
A. （1，1，1） B. （0，－1，0）
C. （1，2，0） D. （0，1，1）
解析： 　y軸方向向量可以表示為（0，k，0）（k≠0），所以
（0，－1，0）是y軸方向向量.
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2. 已知平面α內有一個點A（2，－1，2），α的一個法向量為n＝
（3，1，2），則下列各點中，在平面α內的是（　　）
A. P（1，－1，1）
解析： 　對于B， ＝ ，則n· ＝（3，1，
2）· ＝0，∴n⊥ ，則點Q 在平面α內.
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3. 從點A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取線段
長｜ ｜＝34，則B點的坐標為（　　）
A. （18，17，－17） B. （－14，－19，17）
解析： 　設B點坐標為（x，y，z），則 ＝λa（λ＞0），
即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因為｜ ｜＝
34，即 ＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝
17，z＝－17.
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4. （2024·淮安月考）已知直線l1的方向向量a＝（2，4，x），直線
l2的方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，則x＋y
的值是（　　）
A. －3或1 B. 3或－1
C. －3 D. 1
解析： 　由題意得解得或
故x＋y＝－3或x＋y＝1.
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5. 在三棱錐P-ABC中，CP，CA，CB兩兩垂直，AC＝CB＝1，PC
＝2，如圖，建立空間直角坐標系，則下列向量是平面PAB的法向
量的是（　　）
C. （1，1，1） D. （2，－2，1）
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解析： 　因為P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），
所以 ＝（1，0，－2）， ＝（－1，1，0），設平面PAB的一
個法向量為n＝（x，y，1），由則解
得所以n＝（2，2，1）.又（1，1， ）＝ n.因此，平
面PAB的一個法向量為（1，1， ）.
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6. （多選）在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-A1B1C1D1是棱
長為1的正方體，下列結論正確的是（　　）
A. 平面ABB1A1的一個法向量為（0，1，0）
B. 平面B1CD的一個法向量為（1，1，1）
C. 平面B1CD1的一個法向量為（1，1，1）
D. 平面ABC1D1的一個法向量為（0，1，1）
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解析： 　∵ ＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又
AB∩AA1＝A，AB，AA1 平面ABB1A1，∴AD⊥平面ABB1A1，
∴A正確；∵ ＝（－1，0，0），而（1，1，1）· ＝－
1≠0，∴（1，1，1）不是平面B1CD的法向量，∴ B不正確；
∵ ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，1），（1，1，
1）· ＝0，（1，1，1）· ＝0，B1C∩CD1＝C，B1C，
CD1 平面B1CD1，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一個法向量，
∴C正確；∵ ＝（0，1，1），而 ·（0，1，1）＝2≠0，
∴（0，1，1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正確.
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7. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，分別以長方體的兩個頂點為始點和終點的向量中：
（1）直線AB的方向向量有 個；
解析： 直線AB的方向向量有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8個.
8　
（2）平面AA1B1B的法向量有 個.
解析： 平面AA1B1B的法向量有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8個.
8　
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8. 已知直線l1的一個方向向量為（－5，3，2），另一個方向向量為
（x，y，8），則x＝ ，y＝ .
解析：∵直線的方向向量平行，∴ ＝ ＝ ，∴x＝－20，y＝
12.
－20　
12　
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9. （2024·南通質檢）已知平面α經過點O（0，0，0），且e＝（1，
2，－3）是α的一個法向量，M（x，y，z）是平面α內任意一
點，則x，y，z滿足的關系式是 .
解析：由題意得e⊥ ，則 ·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）
＝0，故x＋2y－3z＝0.
x＋2y－3z＝0　
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10. 如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，
CE＝EC1，設 ＝a， ＝b， ＝c，以{a，b，c}為空
間的一個基底，求直線AE，AD的一個方向向量.
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解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋c，
所以直線AD的一個方向向量是 a＋ b＋c.
＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋ ＝ b＋ c，
所以直線AE的一個方向向量為 b＋ c.
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11. （多選）已知平面α內兩向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－
1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c為平面α的一個法向
量，則（　　）
A. m＝－1 B. m＝1
C. n＝2 D. n＝－2
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解析： c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋
（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－
n＋1），由c為平面α的一個法向量，得得
解得
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12. （2024·常州質檢）若A ，B ，C
是平面α內的三點，設平面α的法向量a＝（x，y，z），則
x∶y∶z＝ .
2∶3∶－4　
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解析：∵A ，B ，C ，∴
＝ ， ＝ .又
∵∴解得
∴x∶y∶z＝ y∶y∶ ＝2∶3∶－4.
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13. 已知空間直角坐標系O-xyz中的點A（1，1，1），平面α過點A
并且與直線OA垂直，動點P（x，y，z）是平面α內的任一點，
則直線OA的一個方向向量為 ，
點P的坐標滿足的條件為 .
解析：由題意知，直線OA的一個方向向量為 ＝（1，1，1）.
因為A∈α，P∈α，OA⊥α，所以 ⊥ ，所以（1，1，
1）·（x－1，y－1，z－1）＝0，所以x＋y＋z＝3.
（1，1，1）（答案不唯一）　
x＋y＋z＝3　
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14. 如圖所示，已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，試建立適當的坐標系.
（1）求平面ABCD的一個法向量；
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴ ＝（0，0，1）是平面ABCD的一個法向量.
解：以{ ， ， }為正交基底，建立如圖
所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，
0），B（0，1，0），C（1，1，0），D
（ ，0，0），S（0，0，1）.
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（2）求平面SAB的一個法向量；
解： ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，
AB，SA 平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，
∴ ＝（ ，0，0）是平面SAB的一個法向量.
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（3）求平面SCD的一個法向量.
解：在平面SCD中， ＝（ ，1，0），
＝（1，1，－1）.
設平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），
則n⊥ ，n⊥ ，
∴得方程組
∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，
∴n＝（2，－1，1）.
∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一個法向量.（答案不唯一）
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15. （2024·無錫月考）已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一
點，如果 ＝（2，－1，－4）， ＝（4，2，0）， ＝
（－1，2，－1）.
（1）求證： 是平面ABCD的法向量；
解： 證明：因為 · ＝（－1，2，－1）·（2，
－1，－4）＝0， · ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.
所以 是平面ABCD的法向量.
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（2）求平行四邊形ABCD的面積.
解： 因為｜ ｜＝ ＝ ，
｜ ｜＝ ＝2 ，
· ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6，
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，
故 sin ＜ ， ＞＝ ，
S ABCD＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝8 .
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