資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　空間向量與垂直關(guān)系
1.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝（－2，2，1），b＝（3，－2，m），若l1⊥l2，則m＝（　　）
A.－2 B.2
C.10 D.6
2.已知直線l的方向向量是a＝（3，2，1），平面α的法向量是u＝（－1，2，－1），則l與α的位置關(guān)系是（　　）
A.l⊥α B.l∥α
C.l與α相交但不垂直 D.l∥α或l α
3.（2024·泰州月考）已知平面α與β的一個(gè)法向量分別是a＝（x，2，2），b＝（1，3，y），若α⊥β，且｜a｜＝2，則y＝（　　）
A.－5 B.－1
C.4或－4 D.－5或－1
4.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z的值分別為（　　）
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2，4 D.4，，－15
5.（多選）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）.則（　　）
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一個(gè)法向量
D.∥
6.（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線EM（　　）
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.與AC，MN都不垂直
7.已知a＝（0，1，1），b＝（1，1，0），c＝（1，0，1）分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個(gè)平面中互相垂直的有　　　　對(duì).
8.已知點(diǎn)A（0，0，0），B（1，1，1），C（1，，1），D（，1，1），E（1，1，），則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是　　　　.
9.（2024·揚(yáng)州月考）在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）.若向量n與平面ABC垂直，且｜n｜＝，則n的坐標(biāo)為　　　　　　.
10.如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB＝3AQ，證明：PQ⊥OA.
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于（　　）
A.AC B.BD
C.A1D D.A1A
12.（2024·淮安質(zhì)檢）如圖所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q，滿足PQ⊥QD，則a的值等于　　　　.
13.已知空間三點(diǎn)A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若直線AB上存在一點(diǎn)M，滿足CM⊥AB，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為　　　　；若空間中點(diǎn)N滿足BN⊥平面ABC，則符合條件的一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是　　　　　　.
14.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，A1A的中點(diǎn)，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°.求證：EF⊥平面B1CE.
15.（2024·宿遷月考）在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).
（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.
第2課時(shí)　空間向量與垂直關(guān)系
1.C　因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×（－2）＋m＝0，解得m＝10.
2.D　因?yàn)閍·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l α.
3.D　由｜a｜＝2，得x2＋4＋4＝24，解得x＝±4.∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x＋6＋2y＝0.當(dāng)x＝4時(shí)，得y＝－5；當(dāng)x＝－4時(shí)，得y＝－1.
4.B　∵⊥，∴·＝3＋5－2z＝0，解得z＝4.∴＝（3，1，4）.∵BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥.∴化為解得
∴x＝，y＝－，z＝4.故選B.
5.ABC　·＝2×（－1）＋（－1）×2＋（－4）×（－1）＝－2－2＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AB，故A正確；·＝4×（－1）＋2×2＋0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，故B正確；∵AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，∴是平面ABCD的一個(gè)法向量.又BD 平面ABCD，∴⊥，故C正確，D錯(cuò)誤.
6.AC　以{，，}為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略）.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），E（a，a，0），N（0，a，2a）.∴＝（－a，－a，a），＝（0，a，a），＝（－2a，2a，0）.∴·＝0，·＝0，∴EM⊥AC，EM⊥MN.EM和AA1顯然不垂直.故A、C正確，B、D錯(cuò)誤.
7.0　解析：因?yàn)閍·b＝（0，1，1）·（1，1，0）＝1≠0.a·c＝（0，1，1）·（1，0，1）＝1≠0，b·c＝（1，1，0）·（1，0，1）＝1≠0，所以a，b，c中任意兩個(gè)都不垂直，即α，β，γ中任意兩個(gè)都不垂直.
8.垂直　解析：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.∵A（0，0，0），B（1，1，1），C（1，，1），D（，1，1），E（1，1，），∴＝（1，1，1），＝（，－，0），＝（，0，－），∴·＝0，·＝0，∴AB⊥DC，AB⊥DE，又DC∩DE＝E，DC，DE 平面CDE，∴AB⊥平面CDE.
9.（－2，4，1）或（2，－4，－1）　解析：據(jù)題意，得＝（－1，－1，2），＝（1，0，2）.設(shè)n＝（x，y，z），∵n與平面ABC垂直，∴即可得∵｜n｜＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.當(dāng)y＝4時(shí)，x＝－2，z＝1；當(dāng)y＝－4時(shí)，x＝2，z＝－1.∴n的坐標(biāo)為（－2，4，1）或（2，－4，－1）.
10.證明：如圖，連接OP，OQ，取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OC所在直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖所示）.
則A（1，0，0），C（0，0，1），
B.
∵P為AC的中點(diǎn)，∴P.
∴＝，
由已知，可得＝
＝（－，，0）.
又＝＋＝，
∴＝－＝.
∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA.
11.B　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），E，∴＝（，－，1），＝（－1，1，0），＝（－1，－1，0），＝（－1，0，－1），＝（0，0，－1）.∵·＝×（－1）＋×（－1）＋1×0＝0.∴CE⊥BD.
12.2　解析：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0）.設(shè)Q（1，y，0），P（0，0，z），則＝（1，y，－z），＝（－1，a－y，0）.由·＝0，得－1＋y（a－y）＝0，即y2－ay＋1＝0.當(dāng)Δ＝a2－4＝0，即a＝2時(shí)，滿足條件的點(diǎn)Q只有一個(gè).
13.（－，，1）　（4，4，4）（答案不唯一，滿足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即可）
解析：設(shè)M（x，y，z）.∵＝（1，－1，0），＝（2，1，－4），＝（x，y，z－1），＝（x－1，y－2，z＋3），∴由題意，得∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－，，1）.設(shè)平面ABC的法向量為n＝（x1，y1，z1），則n·＝x1－y1＝0，n·＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，則y1＝1，z1＝.∴n＝（1，1，）.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a，b，c），則＝（a，b，c－1）.由題知，∥n，即＝＝.∴點(diǎn)N的坐標(biāo)滿足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0.
14.證明：根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)A1A＝AC＝BC＝2，
則C（0，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），F(xiàn)（2，0，1），
所以＝（1，－1，1），＝（0，2，2），＝（－1，1，2）.
設(shè)平面B1CE的法向量為n＝（x，y，z），
則
令z＝－1，則y＝1，x＝－1，即n＝（－1，1，－1），
顯然∥n，所以EF⊥平面B1CE.
15.解：（1）證明：由題意知，DA，
DC，DP兩兩垂直.
如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），P（0，0，a），F(xiàn)（，，），＝，＝（0，a，0），
因?yàn)椤ぃ?，所以⊥，
從而得EF⊥CD.
（2）存在.理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G，
設(shè)G（x，0，z），則＝（x－，－，z－），
若使GF⊥平面PCB，則由·＝·（a，0，0）＝a＝0，得x＝；
由·＝（x－，－，z－）·（0，－a，a）＝＋a＝0，得z＝0，
所以G點(diǎn)坐標(biāo)為，
故存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).
2 / 2第2課時(shí)　空間向量與垂直關(guān)系
題型一 直線和直線垂直
【例1】　（鏈接教科書(shū)第32頁(yè)例3）證明如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.（三垂線定理的逆定理）
已知：PO⊥α，PA是平面α的一條斜線，a α，a⊥PA.
求證：a⊥OA.（如圖）
通性通法
用向量法證明線線垂直的方法
（1）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩條直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直；
（2）基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律，結(jié)合圖形，將兩條直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩條直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AC的中點(diǎn).
求證：（1）BD1⊥AC；
（2）BD1⊥EB1.
題型二 直線和平面垂直
【例2】　（鏈接教科書(shū)第34頁(yè)例6）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF⊥平面B1AC.
通性通法
用向量法證明線面垂直的方法
（1）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直；
（2）證明直線的方向向量與平面的法向量平行.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中點(diǎn).求證：PD⊥平面ABE.
題型三 平面和平面垂直
【例3】　（1）證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.
已知：如圖，l⊥α，l β.
求證：α⊥β.
（2）在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn).求證：平面BDE⊥平面ABCD.
通性通法
證明面面垂直的兩種方法
（1）常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明；
（2）向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
證明：平面PQC⊥平面DCQ.
題型四 立體幾何中的探索性問(wèn)題
【例4】　（2024·徐州質(zhì)檢）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn).
（1）求證：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置.
通性通法
解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本方法
（1）通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立），然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理；
（2）探索性問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)： ①空間中的點(diǎn)可設(shè)為（x，y，z）；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)為0，如xOy面上的點(diǎn)為（x，y，0）；③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)為0，如z軸上的點(diǎn)為（0，0，z）；④直線（線段）AB上的點(diǎn)P，可設(shè)為＝λ，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，或直接利用向量運(yùn)算.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.
問(wèn)：在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
1.已知直線l1的一個(gè)方向向量為n1＝（3，－2，1），直線l2的一個(gè)方向向量為n2＝（2，2，－2），則直線l1與l2的位置關(guān)系為（　　）
A.平行 B.垂直
C.平行但不重合 D.相交但不垂直
2.（2024·宿遷月考）若平面α，β的法向量分別為a＝（－1，2，4），b＝（x，－1，－2），且α⊥β，則x＝（　　）
A.10　 　B.－10 C.　 　D.－
3.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1.若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PBC.
第2課時(shí)　空間向量與垂直關(guān)系
【典型例題·精研析】
【例1】　證明：∵PO⊥α，a α，∴PO⊥a.不妨設(shè)直線a的方向向量為a，又a⊥PA，∴·a＝0，·a＝0.
而＝－，∴·a＝·a－·a＝0－0＝0.∴a⊥OA.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則B（1，1，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，B1（1，1，1）.
（1）＝（－1，－1，1），＝（－1，1，0），
∴·＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0，
∴⊥，∴BD1⊥AC.
（2）＝（－1，－1，1），＝（，，1），
∴·＝（－1）×＋（－1）×＋1×1＝0，
∴⊥，∴BD1⊥EB1.
【例2】　證明：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則A（2a，0，0），C（0，2a，0），B1（2a，2a，2a），E（2a，2a，a），F(xiàn)（a，a，2a）.
∴＝（a，a，2a）－（2a，2a，a）＝（－a，－a，a），
＝（2a，2a，2a）－（2a，0，0）＝（0，2a，2a），
＝（0，2a，0）－（2a，0，0）＝（－2a，2a，0）.
∵·＝（－a，－a，a）·（0，2a，2a）＝（－a）×0＋（－a）×2a＋a×2a＝0，
·＝（－a，－a，a）·（－2a，2a，0）＝2a2－2a2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，
∴C，E.
∴＝（1，0，0），＝，
∴設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），
則
即
令y＝2，則z＝－，∴n＝（0，2，－）.
∵＝，顯然＝n，
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
【例3】　證明：（1）取直線l的方向向量u，平面β的法向量n.
∵l⊥α，∴u是平面α的法向量.
∵l β，而n是平面β的法向量，∴u⊥n.
∴α⊥β.
（2）設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（，，）.
法一　連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，
則點(diǎn)O的坐標(biāo)為（，，0），
易知＝（0，0，1），＝（0，0，），∴＝，
又OE與AS無(wú)公共點(diǎn)，∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
法二　設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝（x，y，z）.
易知＝（－1，1，0），＝（－，，），
由得
即
令x＝1，可得平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝（1，1，0）.
∵AS⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝＝（0，0，1）.
∵n1·n2＝0，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：如圖，以{，，}為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
則D（0，0，0），Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），
則＝（1，1，0），＝（0，0，1），＝（1，－1，0），
∴·＝0，·＝0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
又DQ∩DC＝D，DQ，DC 平面DCQ，
∴PQ⊥平面DCQ，
又PQ 平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ.
【例4】　解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a）.
設(shè)E（0，a，e）（0≤e≤a）.
（1）證明：＝（－a，a，e－a），＝（－a，－a，0），
∵·＝a2－a2＋（e－a）·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
（2）設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）.
∵＝（a，a，0），＝（a，0，a），＝（0，a，e），
∴n1·＝0，n1·＝0，n2·＝0，n2·＝0.
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝（1，－1，－1），n2＝.
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－＝0，即e＝.
∴當(dāng)E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面A1BD⊥平面EBD.
跟蹤訓(xùn)練
　解：分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）.
假設(shè)在棱PD上存在符合題意的點(diǎn)E，設(shè)E（0，y，z），則＝（0，y，z－1），＝（0，2，－1）.
∵∥，∴y（－1）－2（z－1）＝0. ①
∵＝（0，2，0）是平面PAB的法向量，＝（－1，y－1，z），
由CE∥平面PAB，可得⊥，
∴（－1，y－1，z）·（0，2，0）＝2（y－1）＝0.
∴y＝1，代入①式得z＝，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1，），即點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，
∴存在點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，CE∥平面PAB.
隨堂檢測(cè)
1.B　因?yàn)閚1·n2＝3×2＋（－2）×2＋1×（－2）＝0，所以n1⊥n2，所以l1與l2的位置關(guān)系為垂直.
2.B　因?yàn)棣痢挺拢运鼈兊姆ㄏ蛄恳不ハ啻怪保詀·b＝（－1，2，4）·（x，－1，－2）＝0，解得x＝－10.
3.證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥PC，交PC于點(diǎn)G（圖略），
則E（，，），F(xiàn)（，0，0），G（0，，），B（1，1，0），C（0，1，0），
∴＝（0，－，－），＝（0，，），＝（－1，0，0），
∴·＝0，DG⊥平面PBC，
∴為平面PBC的法向量，
又＝－，∴∥，∴EF⊥平面PBC.
3 / 3(共63張PPT)
第2課時(shí)　
空間向量與垂直關(guān)系
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標(biāo)
02
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 直線和直線垂直
【例1】　（鏈接教科書(shū)第32頁(yè)例3）證明如果平面內(nèi)的一條直線和這
個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.
（三垂線定理的逆定理）
已知：PO⊥α，PA是平面α的一條斜線，a α，a⊥PA.
求證：a⊥OA. （如圖）
證明：∵PO⊥α，a α，∴PO⊥a.不妨設(shè)直線a的方向向量為
a，又a⊥PA，∴ ·a＝0， ·a＝0.
而 ＝ － ，∴ ·a＝ ·a－ ·a＝0－0＝0.∴a⊥OA.
通性通法
用向量法證明線線垂直的方法
（1）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩條
直線方向向量的坐標(biāo)，然后通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)
量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直；
（2）基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算
律，結(jié)合圖形，將兩條直線所在的向量用基向量表示，然后根
據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩條直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從
而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AC的中點(diǎn).
求證：（1）BD1⊥AC；（2）BD1⊥EB1.
證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為
x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-
xyz.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則B（1，1，0），D1（0，0，
1），A（1，0，0），C（0，1，0），E
，B1（1，1，1）.
（1） ＝（－1，－1，1）， ＝（－1，1，0），
∴ · ＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0，
∴ ⊥ ，∴BD1⊥AC.
證明： ＝（－1，－1，1）， ＝（ ， ，1），
∴ · ＝（－1）× ＋（－1）× ＋1×1＝0，
∴ ⊥ ，∴BD1⊥EB1.
（2）BD1⊥EB1.
題型二 直線和平面垂直
【例2】　（鏈接教科書(shū)第34頁(yè)例6）如圖所示，在正方體ABCD-
A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn).求證：EF⊥平面
B1AC.
證明：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，建立如圖所示的空間
直角坐標(biāo)系.
則A（2a，0，0），C（0，2a，0），B1（2a，
2a，2a），E（2a，2a，a），F(xiàn)（a，a，2a）.
∴ ＝（a，a，2a）－（2a，2a，a）＝（－a，－a，a），
＝（2a，2a，2a）－（2a，0，0）＝（0，2a，2a），
＝（0，2a，0）－（2a，0，0）＝（－2a，2a，0）.
∵ · ＝（－a，－a，a）·（0，2a，2a）＝（－a）×0＋（－a）×2a＋a×2a＝0， · ＝（－a，－a，a）·（－2a，2a，0）＝2a2－2a2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
通性通法
用向量法證明線面垂直的方法
（1）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂
直；
（2）證明直線的方向向量與平面的法向量平行.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC
＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝ AB，E是PC的中點(diǎn).求證：
PD⊥平面ABE.
證明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P（0，0，1），A（0，0，0），B（1，
0，0），D ，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，
∴C ，E .
∴ ＝（1，0，0）， ＝ ，
∴設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），
則即
令y＝2，則z＝－ ，∴n＝（0，2，－ ）.
∵ ＝ ，顯然 ＝ n，
∴ ∥n，∴ ⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
題型三 平面和平面垂直
【例3】　（1）證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過(guò)
另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.
已知：如圖，l⊥α，l β.
求證：α⊥β.
證明： 取直線l的方向向量u，平面β
的法向量n.
∵l⊥α，∴u是平面α的法向量.
∵l β，而n是平面β的法向量，
∴u⊥n.
∴α⊥β.
（2）在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面
ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn).求證：平面BDE⊥平面
ABCD.
證明： 設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間
直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，
0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（ ，
， ）.
法一　連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，
則點(diǎn)O的坐標(biāo)為（ ， ，0），
易知 ＝（0，0，1）， ＝（0，0， ），∴ ＝ ，
又OE與AS無(wú)公共點(diǎn)，∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
法二　設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝（x，y，z）.
易知 ＝（－1，1，0）， ＝（－ ， ， ），
由得
即
令x＝1，可得平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝（1，1，0）.
∵AS⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝ ＝（0，0，1）.
∵n1·n2＝0，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
通性通法
證明面面垂直的兩種方法
（1）常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直
去證明；
（2）向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝
AB＝ PD. 證明：平面PQC⊥平面DCQ.
證明：如圖，以{ ， ， }為正交基底建立空間
直角坐標(biāo)系D-xyz.
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
則D（0，0，0），Q（1，1，0），C（0，0，1），
P（0，2，0），則 ＝（1，1，0）， ＝（0，0，1）， ＝
（1，－1，0），∴ · ＝0， · ＝0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC 平面DCQ，
∴PQ⊥平面DCQ，又PQ 平面PQC，
∴平面PQC⊥平面DCQ.
題型四 立體幾何中的探索性問(wèn)題
【例4】　（2024·徐州質(zhì)檢）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn).
（1）求證：A1E⊥BD；
解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1
所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空
間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A（a，0，0），
B（a，a，0），C（0，a，0），D
（0，0，0），A1（a，0，a），C1（0，
a，a）.設(shè)E（0，a，e）（0≤e≤a）.
（1）證明： ＝（－a，a，e－a），
＝（－a，－a，0），
∵ · ＝a2－a2＋（e－a）·0＝0，
∴ ⊥ ，即A1E⊥BD.
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置.
解：設(shè)平面A1BD，平面EBD的法向量分別為
n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）.
∵ ＝（a，a，0）， ＝（a，0，a）， ＝（0，a，e），
∴n1· ＝0，n1· ＝0，n2· ＝0，n2· ＝0.
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝（1，－1，－1），n2＝ .
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－ ＝0，即e＝ .
∴當(dāng)E為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面A1BD⊥平面EBD.
通性通法
解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本方法
（1）通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立），然后在這個(gè)前
提下進(jìn)行邏輯推理；
（2）探索性問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)： ①空間中的點(diǎn)可設(shè)為（x，y，
z）；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)為0，如xOy面上的點(diǎn)為
（x，y，0）；③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)為0，如z軸上的點(diǎn)為
（0，0，z）；④直線（線段）AB上的點(diǎn)P，可設(shè)為 ＝
λ ，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，或直接利用向量運(yùn)算.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝
AD＝1.
問(wèn)：在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出
E點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間
直角坐標(biāo)系，如圖.
則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，
0）.
假設(shè)在棱PD上存在符合題意的點(diǎn)E，設(shè)E（0，
y，z），則 ＝（0，y，z－1）， ＝（0，
2，－1）.
∵ ∥ ，∴y（－1）－2（z－1）＝0.　①
∵ ＝（0，2，0）是平面PAB的法向量， ＝（－1，y－1，
z），
由CE∥平面PAB，可得 ⊥ ，
∴（－1，y－1，z）·（0，2，0）＝2（y－1）＝0.
∴y＝1，代入①式得z＝ ，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1， ），即點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，
∴存在點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，CE∥平面PAB.
1. 已知直線l1的一個(gè)方向向量為n1＝（3，－2，1），直線l2的一個(gè)方
向向量為n2＝（2，2，－2），則直線l1與l2的位置關(guān)系為（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 平行但不重合 D. 相交但不垂直
解析： 　因?yàn)閚1·n2＝3×2＋（－2）×2＋1×（－2）＝0，所以
n1⊥n2，所以l1與l2的位置關(guān)系為垂直.
2. （2024·宿遷月考）若平面α，β的法向量分別為a＝（－1，2，
4），b＝（x，－1，－2），且α⊥β，則x＝（　　）
A. 10 B. －10
C. D. －
解析： 　因?yàn)棣痢挺拢运鼈兊姆ㄏ蛄恳不ハ啻怪保詀·b
＝（－1，2，4）·（x，－1，－2）＝0，解得x＝－10.
3. 如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥底
面ABCD，且PD＝1.若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)，求證：
EF⊥平面PBC.
證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z
軸建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥PC，交PC于點(diǎn)G（圖
略），
則E（ ， ， ），F(xiàn)（ ，0，0），G（0， ， ），B（1，
1，0），C（0，1，0），
∴ ＝（0，－ ，－ ）， ＝（0， ， ）， ＝（－1，
0，0），
∴ · ＝0，DG⊥平面PBC，
∴ 為平面PBC的法向量，
又 ＝－ ，∴ ∥ ，∴EF⊥平面PBC.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝（－2，2，1），b＝（3，－
2，m），若l1⊥l2，則m＝（　　）
A. －2 B. 2
C. 10 D. 6
解析： 　因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×（－2）＋m
＝0，解得m＝10.
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2. 已知直線l的方向向量是a＝（3，2，1），平面α的法向量是u＝
（－1，2，－1），則l與α的位置關(guān)系是（　　）
A. l⊥α B. l∥α
C. l與α相交但不垂直 D. l∥α或l α
解析： 　因?yàn)閍·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或
l α.
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3. （2024·泰州月考）已知平面α與β的一個(gè)法向量分別是a＝（x，
2，2），b＝（1，3，y），若α⊥β，且｜a｜＝2 ，則y＝
（　　）
A. －5 B. －1
C. 4或－4 D. －5或－1
解析： 　由｜a｜＝2 ，得x2＋4＋4＝24，解得x＝
±4.∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x＋6＋2y＝0.當(dāng)x＝4時(shí)，得y
＝－5；當(dāng)x＝－4時(shí)，得y＝－1.
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4. 已知 ＝（1，5，－2）， ＝（3，1，z），若 ⊥ ，
＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z的值分
別為（　　）
A. ，－ ，4 B. ，－ ，4
C. ，－2，4 D. 4， ，－15
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解析： 　∵ ⊥ ，∴ · ＝3＋5－2z＝0，解得z＝
4.∴ ＝（3，1，4）.∵BP⊥平面ABC，∴ ⊥ ，
⊥ .∴化為
解得∴x＝ ，y＝－ ，z＝4.故
選B.
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5. （多選）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且 ＝
（2，－1，－4）， ＝（4，2，0）， ＝（－1，2，－1）.
則（　　）
A. AP⊥AB
B. AP⊥AD
C. 是平面ABCD的一個(gè)法向量
D. ∥
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解析： 　 · ＝2×（－1）＋（－1）×2＋（－4）×（－
1）＝－2－2＋4＝0，∴ ⊥ ，即AP⊥AB，故A正確；
· ＝4×（－1）＋2×2＋0＝0，∴ ⊥ ，即AP⊥AD，
故B正確；∵AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A，∴AP⊥平面
ABCD，∴ 是平面ABCD的一個(gè)法向量.又BD 平面ABCD，
∴ ⊥ ，故C正確，D錯(cuò)誤.
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6. （多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是底面ABCD的
中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線EM（　　）
A. 和AC垂直
B. 和AA1垂直
C. 和MN垂直
D. 與AC，MN都不垂直
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解析： 　以{ ， ， }為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)
系（圖略）.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則M（0，0，a），A（2a，
0，0），C（0，2a，0），E（a，a，0），N（0，a，
2a）.∴ ＝（－a，－a，a）， ＝（0，a，a）， ＝
（－2a，2a，0）.∴ · ＝0， · ＝0，∴EM⊥AC，
EM⊥MN. EM和AA1顯然不垂直.故A、C正確，B、D錯(cuò)誤.
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7. 已知a＝（0，1，1），b＝（1，1，0），c＝（1，0，1）分別是
平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個(gè)平面中互相垂直的
有 對(duì).
解析：因?yàn)閍·b＝（0，1，1）·（1，1，0）＝1≠0.a·c＝（0，
1，1）·（1，0，1）＝1≠0，b·c＝（1，1，0）·（1，0，1）＝
1≠0，所以a，b，c中任意兩個(gè)都不垂直，即α，β，γ中任意
兩個(gè)都不垂直.
0　
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解析：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所
示.∵A（0，0，0），B（1，1，1），C（1， ，
1），D（ ，1，1），E（1，1， ），∴ ＝
（1，1，1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（ ，
0，－ ），∴ · ＝0， · ＝0，
∴AB⊥DC，AB⊥DE，又DC∩DE＝E，DC，
DE 平面CDE，∴AB⊥平面CDE.
8. 已知點(diǎn)A（0，0，0），B（1，1，1），C（1， ，1），D（ ，
1，1），E（1，1， ），則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系
是 .
垂直　
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9. （2024·揚(yáng)州月考）在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－
3，1），C（2，－2，1）.若向量n與平面ABC垂直，且｜n｜＝
，則n的坐標(biāo)為 .
（－2，4，1）或（2，－4，－1）　
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解析：據(jù)題意，得 ＝（－1，－1，2）， ＝（1，0，2）.設(shè)
n＝（x，y，z），∵n與平面ABC垂直，∴即
可得∵｜n｜＝ ，
∴ ＝ ，解得y＝4或y＝－4.當(dāng)y＝4時(shí)，x＝－
2，z＝1；當(dāng)y＝－4時(shí)，x＝2，z＝－1.∴n的坐標(biāo)為（－2，4，
1）或（2，－4，－1）.
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10. 如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝
120°，且OA＝OB＝OC＝1，設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且
AB＝3AQ，證明：PQ⊥OA.
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證明：如圖，連接OP，OQ，取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OC所在
直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖所示）.
則A（1，0，0），C（0，0，1），
B .
∵P為AC的中點(diǎn)，∴P .
∴ ＝ ，
由已知，可得 ＝ ＝ .
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又 ＝ ＋ ＝ ，
∴ ＝ － ＝ .
∵ · ＝0，∴ ⊥ ，即PQ⊥OA.
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11. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂
直于（　　）
A. AC B. BD
C. A1D D. A1A
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解析： 　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A（1，0，0），B（1，
1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，
0，1），C1（0，1，1），E ，∴ ＝ ， ＝（－1，1，0）， ＝（－1，－1，0）， ＝（－1，0，－1）， ＝（0，0，－1）.∵ · ＝ ×（－1）＋ ×（－1）＋1×0＝0.∴CE⊥BD.
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12. （2024·淮安質(zhì)檢）如圖所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝
a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q，滿足
PQ⊥QD，則a的值等于 .
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解析：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)
系，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，
a，0），C（1，a，0）.設(shè)Q（1，y，0），P
（0，0，z），則 ＝（1，y，－z）， ＝
（－1，a－y，0）.由 · ＝0，得－1＋y（a
－y）＝0，即y2－ay＋1＝0.當(dāng)Δ＝a2－4＝0，即a
＝2時(shí)，滿足條件的點(diǎn)Q只有一個(gè).
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13. 已知空間三點(diǎn)A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－
3）.若直線AB上存在一點(diǎn)M，滿足CM⊥AB，則點(diǎn)M的坐標(biāo)
為 ；若空間中點(diǎn)N滿足BN⊥平面ABC，則符
合條件的一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是
.
（－ ， ，1）　
（4，4，4）（答案不唯一，滿足
（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即可）　
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解析：設(shè)M（x，y，z）.∵ ＝（1，－1，0）， ＝（2，
1，－4）， ＝（x，y，z－1）， ＝（x－1，y－2，z＋
3），∴由題意，得∴∴點(diǎn)M的
坐標(biāo)為（－ ， ，1）.設(shè)平面ABC的法向量為n＝（x1，y1，
z1），則n· ＝x1－y1＝0，n· ＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，
則y1＝1，z1＝ .∴n＝（1，1， ）.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a，b，
c），則 ＝（a，b，c－1）.由題知， ∥n，即 ＝ ＝
.∴點(diǎn)N的坐標(biāo)滿足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0.
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14. 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，
A1A的中點(diǎn)，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°.求證：EF⊥平面
B1CE.
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證明：根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)A1A＝AC＝BC＝2，
則C（0，0，0），B1（0，2，2），E（1，
1，0），F(xiàn)（2，0，1），
所以 ＝（1，－1，1）， ＝（0，2，
2）， ＝（－1，1，2）.
設(shè)平面B1CE的法向量為n＝（x，y，z），
則
令z＝－1，則y＝1，x＝－1，即n＝（－1，1，－1），
顯然 ∥n，所以EF⊥平面B1CE.
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15. （2024·宿遷月考）在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底
面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).
（1）求證：EF⊥CD；
解： 證明：由題意知，DA，DC，DP兩兩垂直.
如圖，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，
y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，
則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，
a，0），C（0，a，0），E ，
P（0，0，a），F(xiàn) ， ＝ ，
＝（0，a，0），
因?yàn)?· ＝0，所以 ⊥ ，從而得EF⊥CD.
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（2）在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB？若存
在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.
解： 存在.理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G，
設(shè)G（x，0，z），則 ＝ ，
若使GF⊥平面PCB，則由 · ＝
·（a，0，0）＝a ＝0，得x＝ ；
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由 · ＝ ·（0，－a，a）＝ ＋
a ＝0，得z＝0，
所以G點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
故存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).
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