資源簡介

6.3.3　空間角的計算
1.設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若＜a，n＞＝，則l與α所成的角為（　　）
A. B.
C. D.
2.如圖，點A，B，C分別在空間直角坐標系O-xyz的三條坐標軸上，＝（0，0，2），平面ABC的一個法向量為n＝（2，1，2），則二面角C-AB-O的余弦值為（　　）
A. B.
C. D.－
3.在空間四邊形ABCD中，向量＝（0，2，－1），＝（－1，2，0），＝（0，－2，0），則直線AD與平面ABC所成角的正弦值為（　　）
A. B.
C.－ D.－
4.如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為（　　）
A. B.
C. D.
5.（2024·揚州月考）如圖，在底面為正方形且側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1.若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為，則AA1的長為（　　）
A.3 B.
C.2 D.
6.（多選）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（　　）
A.B1的坐標為（2，2，3）
B.＝（0，－2，3）
C.平面A1BC1的一個法向量為（－3，3，－2）
D.二面角B-A1C1-B1的余弦值為
7.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），則直線AB與直線CD所成角的余弦值為　　　　.
8.（2024·宿遷月考）已知四邊形ABCD，ABEF都是邊長為1的正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，則異面直線AC與BF所成的角等于　　　　.
9.（2024·鎮(zhèn)江月考）已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，則直線AB與平面SBC所成角的正弦值為　　　　.
10.如圖，在空間直角坐標系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1為長方體，AA1＝AB＝2AD，點E為C1D1的中點，求二面角B1-A1B-E的余弦值.
11.把正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，O是正方形中心，則折起后，∠EOF的大小為（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
12.（2024·鹽城質(zhì)檢）在空間中，已知平面α過A（3，0，0）和B（0，4，0）及z軸上一點P（0，0，a）（a＞0），如果平面α與平面xOy所成的銳二面角為45°，則a＝　　　　.
13.如圖所示，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為θ，則cos θ的最大值為　　　　.
14.（2024·南京月考）如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）證明：AC⊥B1D；
（2）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
15.（2024·無錫質(zhì)檢）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）設＝λ（0＜λ＜1），異面直線AC1與CD所成角的余弦值為，求λ的值；
（2）若D是AB的中點，求二面角D-CB1-B的正弦值.
6.3.3　空間角的計算
1.C　∵＜a，n＞＝，∴l(xiāng)與法向量所在直線所成銳角為，∴l(xiāng)與α所成的角為.
2.C　∵點A，B，C分別在空間直角坐標系O-xyz的三條坐標軸上，＝（0，0，2），平面ABC的法向量為n＝（2，1，2），∴cos＜n，＞＝＝＝.故選C.
3.A　設n＝（x，y，z）是平面ABC的一個法向量n，則即令y＝1得n＝（2，1，2），∴｜cos＜，n＞｜＝＝，故直線AD與平面ABC所成角的正弦值為.故選A.
4.A　設CA＝CC1＝2CB＝2，則A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0），所以＝（－2，2，1），＝（0，2，－1），從而cos＜，＞＝＝＝，所以直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為.
5.A　以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系（圖略）.設AA1＝t，則A1（1，0，t），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，t），∴＝（0，1，－t），＝（－1，0，t）.∵A1B與AD1所成角的余弦值為，∴｜cos＜，＞｜＝＝，∴t＝3.
6.ABD　因為AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（0，2，3），B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以＝（0，－2，3），＝（2，0，－3），故A、B正確；設平面A1BC1的法向量為m＝（x，y，z），所以則令x＝－3，則y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一個法向量為m＝（－3，－3，－2），故C錯誤；由幾何體知識易得平面A1B1C1的一個法向量為n＝（0，0，1），所以cos＜m，n＞＝＝＝－，結(jié)合圖形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值為，故D正確.故選A、B、D.
7.　解析：∵＝（2，－2，－1），＝（－2，－3，－3），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直線AB，CD所成角的余弦值為.
8.60°　解析：由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0，0，0），C（1，1，0），F(xiàn)（0，0，1），B（0，1，0）.∴＝（1，1，0），＝（0，－1，1），∴｜｜＝，｜｜＝，·＝－1，∴cos＜，＞＝＝－，∴＜，＞＝120°.又∵異面直線所成的角θ的取值范圍為0°＜θ≤90°，∴AC與BF所成的角為60°.
9.　解析：如圖所示，以A為原點，分別以AB，AS所在直線為x軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，易知S（0，0，3），B（2，0，0），C（1，，0）.設平面SBC的法向量為n＝（x，y，z），則得n＝（3，，2），又＝（2，0，0），設α為AB與平面SBC所成的角，則sin α＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝.
10.解：設AD＝1，則A1（1，0，2），B（1，2，0）.因為E為C1D1的中點，所以E（0，1，2），所以＝（－1，1，0），＝（0，2，－2）.
設m＝（x，y，z）是平面A1BE的法向量，則即取x＝1，則y＝z＝1，所以平面A1BE的一個法向量為m＝（1，1，1）.
又因為DA⊥平面A1B1B，所以＝（1，0，0）是平面A1B1B的一個法向量，
所以cos＜m，＞＝＝＝，所以二面角B1-A1B-E的余弦值為.
11.C　＝（＋），＝（＋），∴·＝（·＋·＋·＋·）＝－｜｜2.又｜｜＝｜｜＝｜｜，∴cos＜，＞＝＝－，∴∠EOF＝120°，故選C.
12.　解析：平面xOy的一個法向量為n＝（0，0，1）.設平面α的一個法向量為u＝（x，y，z），又＝（－3，4，0），＝（－3，0，a），平面α過點A，B，P，則即即3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝（，，1）.而｜cos＜n，u＞｜＝＝，又∵a＞0，∴a＝.
13.　解析：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AQ所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，不妨設AB＝2，則F（2，1，0），E（1，0，0），設M（0，m，2），m∈[0，2]，故＝（2，1，0），＝（－1，m，2），故cos θ＝＝＝f（m），觀察分子、分母的變化，可知當m∈[0，2]時，f（m）單調(diào)遞減，f（m）max＝f（0）＝，當m＝2時，f（2）＝0，故cos θ的最大值為.
14.解：（1）證明：以{，，}為正交基底，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（，1，0），
B1（，0，3），D（0，3，0），
C1（，1，3），D1（0，3，3）.
易知＝（，1，0），＝（－，3，－3），
∴·＝0，∴AC⊥B1D.
（2）設平面ACD1的一個法向量為m＝（x，y，z），
又＝（，1，0），＝（0，3，3），
則即
令x＝1，則y＝－，z＝，
∴平面ACD1的一個法向量為m＝（1，－，）.
設直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，
∵＝（0，1，0），
∴sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝＝，
∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
15.解：由題意得CC1⊥AC，CC1⊥BC.
因為AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC.
以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
（1）易得A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，0，4），
所以＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）.
因為＝λ＝（－3λ，4λ，0），
所以D（－3λ＋3，4λ，0），所以＝（－3λ＋3，4λ，0）.
因為異面直線AC1與CD所成角的余弦值為，
所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，解得λ＝.
（2）由A（3，0，0），B（0，4，0），D是AB的中點得D（，2，0）.
又B1（0，4，4），C（0，0，0），
所以＝（，2，0），＝（0，4，4）.
易知平面CB1B的一個法向量為n＝（1，0，0），
設平面DB1C的一個法向量為m＝（x0，y0，z0）.
由得
令x0＝4，得y0＝－3，z0＝3，
所以m＝（4，－3，3），
所以cos＜n，m＞＝＝＝.
所以二面角D-CB1-B的正弦值為＝.
2 / 36.3.3　空間角的計算
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.能用向量方法解決簡單夾角問題 直觀想象、數(shù)學運算
2.通過用空間向量解決夾角問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用 直觀想象、數(shù)學運算
　　日常生活中，很多場景中都有直線與平面、平面與平面成一定角度的現(xiàn)象.例如，如圖（1），握筆寫字時，如果把筆抽象成直線，把紙抽象成平面，則直線與平面成一定角度；如圖（2），地球儀的地軸（即旋轉(zhuǎn)軸）與赤道所在的平面垂直，并且與水平桌面成一定角度；如圖（3），在建造大壩時，為了加固大壩，大壩外側(cè)的平面一般與水平面成一定角度；如圖（4），很多屋頂都是二面角的形象.
【問題】　能否用向量法計算直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角的大小呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　兩條異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝　　　　　＝　　　　　.
【想一想】
　兩條異面直線所成的角與兩條直線的方向向量所成的角是什么關(guān)系？
知識點二　直線與平面所成的角
直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝｜cos ＜u，n＞｜＝　　　　　＝　　　　　.
提醒　（1）直線與平面所成的角是指這條直線與它在這個平面內(nèi)的投影所成的角，其范圍是；（2）若＜u，n＞是一個銳角，則θ＝－＜u，n＞；若＜u，n＞是一個鈍角，則θ＝＜u，n＞－.
知識點三　二面角
　兩個平面所成的二面角可以轉(zhuǎn)化為這兩個平面的法向量所成的角，如圖，向量n1⊥α，n2⊥β，則二面角α-l-β的大小為＜n1，n2＞或π－＜n1，n2＞，若二面角α-l-β的大小為θ（0≤θ≤π），則｜cos θ｜＝　　　　　.
提醒　因為兩個平面法向量的方向不確定，故＜n1，n2＞∈（0，π），故二面角的平面角與＜n1，n2＞相等或互補.
1.若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝（0，－2，－1），b＝（2，0，4），則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于（　　）
A.－　　B.　　C.－　　D.
2.（2024·汕頭月考）已知向量m，n分別是直線l的方向向量與平面α的法向量，若cos＜m，n＞＝－，則l與α所成的角為（　　）
A.30° B.60°
C.150° D.120°
3.平面α的一個法向量為n1＝（，－，－），平面β的一個法向量為n2＝，那么平面α與平面β所成的銳二面角的平面角為（　　）
A.120° B.30°
C.60° D.30°或150°
題型一 兩異面直線所成的角
【例1】　（鏈接教科書第36頁例7）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB與CD所成角的大小.
通性通法
求異面直線所成的角的方法
（1）基底法：在一些不適合建立坐標系的題目中，經(jīng)常采用取定基底的方法，在兩異面直線a與b上分別取點A，B和C，D，則與可分別作為a，b的方向向量，則cos θ＝，根據(jù)條件可以把與用基底表示，再進行計算；
（2）坐標法：根據(jù)題目條件建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，寫出各相關(guān)點的坐標，進而利用公式求解.利用坐標法求線線角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得更簡單.
【跟蹤訓練】
　如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線BA1和AC所成角的大小.
題型二 直線與平面所成的角
【例2】　（鏈接教科書第37頁例8）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值.
通性通法
　　若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計算θ的步驟如下：
【跟蹤訓練】
　 （2024·南京月考）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，則直線AA1與平面AB1C1所成的角為（　　）
A. B.
C. D.
題型三 二面角
【例3】　（鏈接教科書第38頁例9）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.點E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A-BE-D的余弦值.
通性通法
向量法求二面角的步驟
（1）建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗鱿鄳c的坐標；
（2）求出兩個平面的法向量n1，n2；
（3）求兩個法向量的夾角；
（4）判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；
（5）確定二面角的大小.
【跟蹤訓練】
（2024·常州月考）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.
（1）證明：O1O⊥底面ABCD；
（2）若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.
1.如圖，已知向量m，n分別是平面α和平面β的法向量，若cos＜m，n＞＝－，則二面角α-l-β＝（　　）
A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
2.（2024·連云港月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為（　　）
A.30° B.45° C.90° D.60°
3.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點O，D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC，求直線OD與平面PBC所成角的正弦值.
6.3.3　空間角的計算
【基礎知識·重落實】
知識點一
　
想一想
　提示：相等或互補.
知識點二
　
知識點三
自我診斷
1.B　因為a·b＝－4，｜a｜＝，｜b｜＝2，設l1與l2的夾角為θ，所以cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝＝＝.
2.B　設l與α所成的角為θ，則sin θ＝｜cos＜m，n＞｜＝，∴θ＝60°，故選B.
3.B　cos＜n1，n2＞＝＝－，設α與β所成的銳二面角為θ，則cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝，所以θ＝30°.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：法一　由題意知｜｜＝，｜｜＝，＝＋，＝＋＋.
因為PA⊥平面ABCD，所以·＝·＝·＝0，
因為AB⊥AD，所以·＝0，
因為AB⊥BC，所以·＝0，
所以·＝（＋）·（＋＋）＝＝1.
所以cos＜，＞＝＝＝，
所以＜，＞＝60°，
所以PB與CD所成的角為60°.
法二　由題意得AB，AD，AP兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），
所以＝（－1，0，1），＝（1，－1，0），
cos＜，＞＝＝＝－.
所以＜，＞＝120°，
故PB與CD所成的角為60°.
跟蹤訓練
解：以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a），所以＝（0，－a，a），＝（－a，a，0）.
所以cos＜，＞＝＝＝－，所以＜，＞＝120°.
又因為異面直線所成角θ的取值范圍為0°＜θ≤90°，所以異面直線BA1和AC所成角的大小為60°.
【例2】　解：以D為原點，DA，DC，DD1
所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
設正方體的棱長為1，則B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），D（0，0，0），
∴＝（－1，0，1），＝（－1，0，－1），＝（－1，－1，0）.
設平面A1BD的一個法向量為n＝（1，x，y），直線BC1與平面A1BD所成的角為θ.
∵n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0，
∴解得
∴平面A1BD的一個法向量為n＝（1，－1，－1）.
∴cos＜，n＞＝＝＝－，
∴sin θ＝，∴cos θ＝＝.
故直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為.
跟蹤訓練
　A　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系（圖略），則A（0，0，0），B1（0，2，），C1（2，0，），A1（0，0，），＝（0，0，），＝（0，2，），＝（2，0，）.設平面AB1C1的法向量為n＝（x，y，z），則由得令x＝1，則y＝1，z＝－，所以n＝（1，1，－）.設直線AA1與平面AB1C1所成角為θ，則sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝，所以θ＝.
【例3】　解：以B為原點，以直線BC，BA，BP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則P（0，0，3），A（0，3，0），D（3，3，0）.
設平面EBD的一個法向量為n1＝（x，y，z），
因為＝＋＝＋＝（0，0，3）＋（0，3，－3）＝（0，2，1），＝（3，3，0），
由得
取z＝1，得
于是n1＝.
又因為平面ABE的一個法向量為n2＝（1，0，0），
所以cos＜n1，n2＞＝＝.
故二面角A-BE-D的余弦值為.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，
所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，
所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因為AC∩BD＝O，
所以O1O⊥底面ABCD.
（2）因為四棱柱的所有棱長都相等，
所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD.
又O1O⊥底面ABCD，
所以OB，OC，OO1兩兩垂直.
如圖，以O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.
設四棱柱的棱長為2，因為∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O（0，0，0），B1（，0，2），C1（0，1，2），
則＝（，0，2），＝（0，1，2）.
平面BDD1B1的一個法向量為n＝（0，1，0），
設平面OC1B1的法向量為m＝（x，y，z），
則由m⊥，m⊥，
所以
取z＝－，則x＝2，y＝2，
所以m＝（2，2，－），
所以cos＜m，n＞＝＝＝.
即二面角C1-OB1-D的余弦值是.
隨堂檢測
1.C　設二面角α-l-β為θ，0°≤θ≤180°，由圖可知，cos θ＝cos＜m，n＞＝－，∴θ＝120°.
2.D　以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，∵M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，∴M（1，2，0），N（0，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），＝（－1，0，1），＝（－2，2，0），設異面直線AC和MN所成的角為θ，則cos θ＝＝＝，又θ是銳角，∴θ＝60°.∴異面直線AC和MN所成的角為60°，故選D.
3.解：以O為原點，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
設AB＝a，則OP＝a，所以P（0，0，a），C（－a，0，0），B（0，a，0），D（－a，0，a），＝（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量 n＝，
所以cos＜，n＞＝＝，
設與平面PBC所成的角為θ，
則sin θ＝.
故直線OD與平面PBC所成角的正弦值為.
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6.3.3　空間角的計算
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.能用向量方法解決簡單夾角問題 直觀想象、
數(shù)學運算
2.通過用空間向量解決夾角問題，體會向量方法
在研究幾何問題中的作用 直觀想象、
數(shù)學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　日常生活中，很多場景中都有直線與平面、平面與平面成一定角
度的現(xiàn)象.例如，如圖（1），握筆寫字時，如果把筆抽象成直線，把
紙抽象成平面，則直線與平面成一定角度；如圖（2），地球儀的地
軸（即旋轉(zhuǎn)軸）與赤道所在的平面垂直，并且與水平桌面成一定角
度；如圖（3），在建造大壩時，為了加固大壩，大壩外側(cè)的平面一
般與水平面成一定角度；如圖（4），很多屋頂都是二面角的形象.
【問題】　能否用向量法計算直線與直線、直線與平面、平面與平面
所成的角的大小呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　兩條異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則 cos θ
＝｜ cos ＜u，v＞｜＝ 　 　＝ 　 　.
　
　
【想一想】
　兩條異面直線所成的角與兩條直線的方向向量所成的角是什么
關(guān)系？
提示：相等或互補.
知識點二　直線與平面所成的角
　直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，
直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則 sin θ＝｜ cos ＜
u，n＞｜＝ 　 　＝ 　 　.
　
　
提醒　（1）直線與平面所成的角是指這條直線與它在這個平面內(nèi)的
投影所成的角，其范圍是 ；（2）若＜u，n＞是一個銳角，則
θ＝ －＜u，n＞；若＜u，n＞是一個鈍角，則θ＝＜u，n＞－
.
知識點三　二面角
　兩個平面所成的二面角可以轉(zhuǎn)化為這兩個平面的法向量所成的角，
如圖，向量n1⊥α，n2⊥β，則二面角α-l-β的大小為＜n1，n2＞或
π－＜n1，n2＞，若二面角α-l-β的大小為θ（0≤θ≤π），則｜
cos θ｜＝ .
　
提醒　因為兩個平面法向量的方向不確定，故＜n1，n2＞∈（0，
π），故二面角的平面角與＜n1，n2＞相等或互補.
1. 若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝（0，－2，－1），b＝
（2，0，4），則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于（　　）
A. － B.
解析： 　因為a·b＝－4，｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，設l1與l2
的夾角為θ，所以 cos θ＝｜ cos ＜a，b＞｜＝ ＝
＝ .
C. － D.
2. （2024·汕頭月考）已知向量m，n分別是直線l的方向向量與平面
α的法向量，若 cos ＜m，n＞＝－ ，則l與α所成的角為
（　　）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
解析： 　設l與α所成的角為θ，則 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜
＝ ，∴θ＝60°，故選B.
3. 平面α的一個法向量為n1＝ ，平面β的一個法向量
為n2＝ ，那么平面α與平面β所成的銳二面角的平面
角為（　　）
A. 120° B. 30°
C. 60° D. 30°或150°
解析： 　 cos ＜n1，n2＞＝ ＝－ ，設α與β所成的
銳二面角為θ，則 cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ，所以θ＝
30°.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 兩異面直線所成的角
【例1】　（鏈接教科書第36頁例7）如圖所示，在四棱錐P-ABCD
中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝
AD＝1，求PB與CD所成角的大小.
解：法一　由題意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ＝ ＋
， ＝ ＋ ＋ .
因為PA⊥平面ABCD，所以 · ＝ · ＝ · ＝0，
因為AB⊥AD，所以 · ＝0，
因為AB⊥BC，所以 · ＝0，
所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
所以＜ ， ＞＝60°，
所以PB與CD所成的角為60°.
法二　由題意得AB，AD，AP兩兩垂直，所以建
立如圖所示的空間直角坐標系，
則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
P（0，0，1），
所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0），
cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ .
所以＜ ， ＞＝120°，
故PB與CD所成的角為60°.
通性通法
求異面直線所成的角的方法
（1）基底法：在一些不適合建立坐標系的題目中，經(jīng)常采用取定
基底的方法，在兩異面直線a與b上分別取點A，B和C，D，
則 與 可分別作為a，b的方向向量，則 cos θ＝
，根據(jù)條件可以把 與 用基底表示，再進行
計算；
（2）坐標法：根據(jù)題目條件建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，寫出各相
關(guān)點的坐標，進而利用公式求解.利用坐標法求線線角，避免了
傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得更簡單.
【跟蹤訓練】
　如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線BA1和
AC所成角的大小.
解：以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別
為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標
系，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，
a，0），A1（a，0，a），所以 ＝（0，－a，
a）， ＝（－a，a，0）.
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，所以＜ ， ＞＝120°.
又因為異面直線所成角θ的取值范圍為0°＜θ≤90°，所以異面直線BA1和AC所成角的大小為60°.
題型二 直線與平面所成的角
【例2】　（鏈接教科書第37頁例8）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值.
解：以D為原點，DA，DC，DD1
所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1，則B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），D（0，0，0），
∴ ＝（－1，0，1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（－1，－
1，0）.
設平面A1BD的一個法向量為n＝（1，x，y），直線BC1與平面
A1BD所成的角為θ.∵n⊥ ，n⊥ ，∴n· ＝0，n· ＝0，
∴解得
∴平面A1BD的一個法向量為n＝（1，－1，－1）.
∴ cos ＜ ，n＞＝ ＝ ＝－ ，
∴ sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝ .
故直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為 .
通性通法
　　若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計算θ的步驟如下：
【跟蹤訓練】
　 （2024·南京月考）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝ ，AB＝AC＝2，AA1＝ ，則直線AA1與平面AB1C1所成的角為（　　）
A. B.
C. D.
解析： 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝
，即AB⊥AC，以A為坐標原點， ， ， 的方向分別為x
軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系（圖略），則A（0，0，
0），B1（0，2， ），C1（2，0， ），A1（0，0， ），
＝（0，0， ）， ＝（0，2， ）， ＝（2，0， ）.設
平面AB1C1的法向量為n＝（x，y，z），則由得
令x＝1，則y＝1，z＝－ ，所以n＝ .
設直線AA1與平面AB1C1所成角為θ，則 sin θ＝｜ cos ＜n，
＞｜＝ ，所以θ＝ .
題型三 二面角
【例3】　（鏈接教科書第38頁例9）如圖，在四棱錐P-ABCD中，
PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.點E在棱PA上，且PE＝2EA. 求二面
角A-BE-D的余弦值.
解：以B為原點，以直線BC，BA，BP分別為x，
y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則P（0，
0，3），A（0，3，0），D（3，3，0）.
設平面EBD的一個法向量為n1＝（x，y，z），
因為 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（0，0，3）＋ （0，3，－3）＝
（0，2，1）， ＝（3，3，0），由得
取z＝1，得于是n1＝ .
又因為平面ABE的一個法向量為n2＝（1，0，0），
所以 cos ＜n1，n2＞＝ ＝ .
故二面角A-BE-D的余弦值為 .
通性通法
向量法求二面角的步驟
（1）建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗鱿鄳c的坐標；
（2）求出兩個平面的法向量n1，n2；
（3）求兩個法向量的夾角；
（4）判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；
（5）確定二面角的大小.
【跟蹤訓練】
（2024·常州月考）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相
等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形
BDD1B1均為矩形.
（1）證明：O1O⊥底面ABCD；
解： 證明：因為四邊形ACC1A1和四邊
形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，
所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因為AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
（2）若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.
解： 因為四棱柱的所有棱長都相等，
所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD.
又O1O⊥底面ABCD，
所以OB，OC，OO1兩兩垂直.
如圖，以O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.設四棱柱的棱長為2，因為∠CBA＝60°，所以OB＝ ，OC＝1，
所以O（0，0，0），B1（ ，0，2），C1（0，1，2），
則 ＝（ ，0，2）， ＝（0，1，2）.
平面BDD1B1的一個法向量為n＝（0，1，0），
設平面OC1B1的法向量為m＝（x，y，z），
則由m⊥ ，m⊥ ，所以
取z＝－ ，則x＝2，y＝2 ，所以m＝（2，2 ，－ ），
所以 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ .
即二面角C1-OB1-D的余弦值是 .
1. 如圖，已知向量m，n分別是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜
m，n＞＝－ ，則二面角α-l-β＝（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　設二面角α-l-β為θ，0°≤θ≤180°，由圖可知，
cos θ＝ cos ＜m，n＞＝－ ，∴θ＝120°.
2. （2024·連云港月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和MN所成的角為（　　）
A. 30° B. 45°
C. 90° D. 60°
解析： 　以D為原點，分別以DA，DC，DD1
所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，∵M，N
分別為棱BC和棱CC1的中點，∴M（1，2，0），
N（0，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0）， ＝（－1，
0，1）， ＝（－2，2，0），設異面直線AC和MN所成的角為
θ，則 cos θ＝ ＝ ＝ ，又θ是銳角，∴θ＝
60°.∴異面直線AC和MN所成的角為60°，故選D.
3. 如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ PA，點O，
D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC，求直線OD與平面
PBC所成角的正弦值.
解：以O為原點，OA，OB，OP所在直線分別為
x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
設AB＝a，則OP＝ a，所以P（0，0，
a），C（－ a，0，0），B（0， a，0），
D（－ a，0， a）， ＝（－ a，0，a），可求得平面PBC的法向量 n＝ ，所以 cos ＜ ，n＞＝ ＝ ，
設 與平面PBC所成的角為θ，
則 sin θ＝ .
故直線OD與平面PBC所成角的正弦值為 .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
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1. 設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若
＜a，n＞＝ ，則l與α所成的角為（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　∵＜a，n＞＝ ，∴l(xiāng)與法向量所在直線所成銳角為
，∴l(xiāng)與α所成的角為 .
2. 如圖，點A，B，C分別在空間直角坐標系O-xyz的三條坐標軸
上， ＝（0，0，2），平面ABC的一個法向量為n＝（2，1，
2），則二面角C-AB-O的余弦值為（　　）
A. B.
C. D. －
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解析： 　∵點A，B，C分別在空間直角坐標系O-xyz的三條坐
標軸上， ＝（0，0，2），平面ABC的法向量為n＝（2，1，
2），∴ cos ＜n， ＞＝ ＝ ＝ .故選C.
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3. 在空間四邊形ABCD中，向量 ＝（0，2，－1）， ＝（－1，
2，0）， ＝（0，－2，0），則直線AD與平面ABC所成角的正
弦值為（　　）
A. B.
C. － D. －
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解析： 　設n＝（x，y，z）是平面ABC的一個法向量n，則
即令y＝1得n＝（2，1，2），∴｜
cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ，故直線AD與平面ABC所
成角的正弦值為 .故選A.
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4. 如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝
CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 設CA＝CC1＝2CB＝2，則A（2，0，0），B（0，0，
1），B1（0，2，1），C1（0，2，0），所以 ＝（－2，2，
1）， ＝（0，2，－1），從而 cos ＜ ， ＞＝
＝ ＝ ，所以直線BC1與直線AB1
夾角的余弦值為 .
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5. （2024·揚州月考）如圖，在底面為正方形且側(cè)棱垂直于底面的四
棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1.若異面直線A1B與AD1所成角的
余弦值為 ，則AA1的長為（　　）
A. 3 B.
C. 2 D.
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解析： 　以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x
軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系（圖略）.設AA1＝t，則A1
（1，0，t），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，t），
∴ ＝（0，1，－t）， ＝（－1，0，t）.∵A1B與AD1所
成角的余弦值為 ，∴｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ，∴t
＝3.
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6. （多選）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，
以D為原點， ， ， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正
方向建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（　　）
A. B1的坐標為（2，2，3）
B. ＝（0，－2，3）
C. 平面A1BC1的一個法向量為（－3，3，－2）
D. 二面角B-A1C1-B1的余弦值為
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解析： 　因為AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（0，2，3），
B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以 ＝
（0，－2，3）， ＝（2，0，－3），故A、B正確；設平面
A1BC1的法向量為m＝（x，y，z），所以則
令x＝－3，則y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的
一個法向量為m＝（－3，－3，－2），故C錯誤；由幾何體知識
易得平面A1B1C1的一個法向量為n＝（0，0，1），所以 cos ＜
m，n＞＝ ＝ ＝－ ，結(jié)合圖形可知二面角B-
A1C1-B1的余弦值為 ，故D正確.故選A、B、D.
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7. 已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，
2，4），則直線AB與直線CD所成角的余弦值為 .
解析：∵ ＝（2，－2，－1）， ＝（－2，－3，－3），
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴直線AB，
CD所成角的余弦值為 .
　
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解析：由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系A-
xyz，則A（0，0，0），C（1，1，0），F(xiàn)（0，
0，1），B（0，1，0）.∴ ＝（1，1，0），
＝（0，－1，1），∴｜ ｜＝ ，｜ ｜＝
， · ＝－1，∴ cos ＜ ， ＞＝
＝－ ，∴＜ ， ＞＝120°.又∵異面直線所
成的角θ的取值范圍為0°＜θ≤90°，∴AC與BF
所成的角為60°.
8. （2024·宿遷月考）已知四邊形ABCD，ABEF都是邊長為1的正方
形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，則異面直線AC與BF所成的角等
于 .
60°　
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9. （2024·鎮(zhèn)江月考）已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2
的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，則直線AB與平面
SBC所成角的正弦值為 .
　
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解析：如圖所示，以A為原點，分別以AB，AS所在直
線為x軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，易知S
（0，0，3），B（2，0，0），C（1， ，0）.設平
面SBC的法向量為n＝（x，y，z），則
得n＝
（3， ，2），又 ＝（2，0，0），設α為AB與
平面SBC所成的角，則 sin α＝｜ cos ＜ ，n＞｜
＝ ＝ ＝ .
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10. 如圖，在空間直角坐標系D-xyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1為長
方體，AA1＝AB＝2AD，點E為C1D1的中點，求二面角B1-A1B-
E的余弦值.
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解：設AD＝1，則A1（1，0，2），B（1，2，0）.因為E為
C1D1的中點，所以E（0，1，2），所以 ＝（－1，1，0），
＝（0，2，－2）.
設m＝（x，y，z）是平面A1BE的法向量，則即
取x＝1，則y＝z＝1，所以平面A1BE的一個法向
量為m＝（1，1，1）.
又因為DA⊥平面A1B1B，所以 ＝（1，0，0）是平面A1B1B的
一個法向量，所以 cos ＜m， ＞＝ ＝ ＝ ，所以二面角B1-A1B-E的余弦值為 .
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11. 把正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，E，F(xiàn)分別是
AD，BC的中點，O是正方形中心，則折起后，∠EOF的大小為
（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
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解析： 　 ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），
∴ · ＝ （ · ＋ · ＋ · ＋ · ）＝－
｜ ｜2.又｜ ｜＝｜ ｜＝ ｜ ｜，∴ cos ＜ ，
＞＝ ＝－ ，∴∠EOF＝120°，故選C.
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12. （2024·鹽城質(zhì)檢）在空間中，已知平面α過A（3，0，0）和B
（0，4，0）及z軸上一點P（0，0，a）（a＞0），如果平面α
與平面xOy所成的銳二面角為45°，則a＝ .
　
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解析：平面xOy的一個法向量為n＝（0，0，1）.設平面α的一
個法向量為u＝（x，y，z），又 ＝（－3，4，0）， ＝
（－3，0，a），平面α過點A，B，P，則即
即3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝（ ， ，1）.
而｜ cos ＜n，u＞｜＝ ＝ ，又∵a＞0，∴a＝ .
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13. 如圖所示，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面
互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.
設異面直線EM與AF所成的角為θ，則 cos θ的最大值為 .
　
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解析：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，
AQ所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，不妨設AB＝2，則F
（2，1，0），E（1，0，0），設M（0，m，2），m∈[0，
2]，故 ＝（2，1，0）， ＝（－1，m，2），故 cos θ＝
＝ ＝f（m），觀察分子、分母的變化，可知
當m∈[0，2]時，f（m）單調(diào)遞減，f（m）max＝f（0）＝ ，
當m＝2時，f（2）＝0，故 cos θ的最大值為 .
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14. （2024·南京月考）如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝ ，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）證明：AC⊥B1D；
解： 證明：以{ ， ， }為正交
基底，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（ ，1，0），
B1（ ，0，3），D（0，3，0），
C1（ ，1，3），D1（0，3，3）.
易知 ＝（ ，1，0）， ＝（－ ，
3，－3），∴ · ＝0，∴AC⊥B1D.
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（2）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
解： 設平面ACD1的一個法向量為m＝（x，y，z），
又 ＝（ ，1，0）， ＝（0，3，3），
則即令x＝1，則y＝－ ，z＝ ，
∴平面ACD1的一個法向量為m＝（1，－ ， ）.
設直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，∵ ＝（0，1，0），
∴ sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ，
∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為 .
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15. （2024·無錫質(zhì)檢）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）設 ＝λ （0＜λ＜1），異面直線AC1與
CD所成角的余弦值為 ，求λ的值；
解：由題意得CC1⊥AC，CC1⊥BC.
因為AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC.
以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線
分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間
直角坐標系.
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（1）易得A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，0，4），
所以 ＝（－3，0，4）， ＝（－3，4，0）.
因為 ＝λ ＝（－3λ，4λ，0），
所以D（－3λ＋3，4λ，0），所以 ＝（－3λ＋3，4λ，0）.
因為異面直線AC1與CD所成角的余弦值為 ，
所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝
，解得λ＝ .
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（2）若D是AB的中點，求二面角D-CB1-B的正弦值.
解：由A（3，0，0），B（0，4，0），D是AB的中點得D（ ，2，0）.
又B1（0，4，4），C（0，0，0），
所以 ＝（ ，2，0）， ＝（0，4，4）.
易知平面CB1B的一個法向量為n＝（1，0，0），
設平面DB1C的一個法向量為m＝（x0，y0，z0）.
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由得
令x0＝4，得y0＝－3，z0＝3，
所以m＝（4，－3，3），
所以 cos ＜n，m＞＝ ＝ ＝ .
所以二面角D-CB1-B的正弦值為 ＝ .
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