資源簡介

6.3.4　空間距離的計算
1.若O為坐標原點，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），則線段AB的中點P到點C的距離為（　　）
A.　　B.2　　C.　　D.
2.（2024·鹽城月考）在空間直角坐標系O-xyz中，已知點D（2，1，0）和向量m＝（4，1，2），且m⊥平面DEF，則點O到平面DEF的距離為（　　）
A. B. C. D.
3.已知棱長為1的正方體ABCD-EFGH，若點P在正方體內部且滿足＝＋＋，則點P到直線AB的距離為（　　）
A. B. C. D.
4.已知△ABC的頂點分別為A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1，3，－1），則AC邊上的高BD＝（　　）
A.25 B.5 C. D.1
5.（2024·淮安月考）如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是（　　）
A.5 B.8 C. D.
6.（多選）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（　　）
A.＝（1，0，1）
B.平面OBB1的一個法向量為n＝（0，1，－1）
C.A1C⊥平面OBB1
D.點A到平面OBB1的距離為
7.已知平面α的一個法向量為n＝（－2，－2，1），點A（x，3，0）在平面α內，若點P（－2，1，4）到平面α的距離d＝，則x的值為　　　　.
8.在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，則O1到直線AC的距離為　　　　.
9.（2024·南通質檢）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為　　　　.
10.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是C1C，D1A1的中點，求點A到直線EF的距離.
11.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則點B1到平面ABC1的距離為（　　）
A. B.
C. D.1
12.（2024·常州月考）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為　　　　.
13.（2024·揚州月考）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點.
（1）求點D到平面PEF的距離；
（2）求直線AC到平面PEF的距離.
14.如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，求四棱錐P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距離.
6.3.4　空間距離的計算
1.D　∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝.
2.B　因為D（2，1，0），所以＝（2，1，0），又向量m＝（4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面DEF的一個法向量，所以點O到平面DEF的距離為d＝＝＝＝.
3.A　建立如圖所示的空間直角坐標系，則＝（1，0，0）＋（0，1，0）＋（0，0，1）＝.又＝（1，0，0），記φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝.
4.B　設＝λ，∵＝（0，4，－3），∴＝（0，4λ，－3λ），又∵＝（4，－5，0），∴＝－＝（－4，4λ＋5，－3λ）.由·＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝（－4，，），∴BD＝｜｜＝5.故選B.
5.C　以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則C（0，12，0），D1（0，0，5）.設AD＝x（x＞0），則B（x，12，0），B1（x，12，5）.設平面A1BCD1的法向量為n＝（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n·＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n·＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以點B1到平面A1BCD1的距離為＝.因為B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距離為.
6.BCD　由題意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），故A不正確；＝（1，0，0），設平面OBB1的法向量為n＝（x，y，z），則令y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正確；＝（0，1，－1）＝n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正確；連接OA（圖略），＝（0，－1，0），則點A到平面OBB1的距離d＝＝＝，故D正確.故選B、C、D.
7.－1或－11　解析：連接PA（圖略），由題意知＝（x＋2，2，－4），∴d＝＝，即＝，解得x＝－1或x＝－11.
8.　解析：連接AO1，建立如圖所示的空間直角坐標系.則A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0），∴＝（－2，0，2），＝（－2，3，0），記φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜·sin φ＝2×＝.
9.a　解析：由正方體的性質，易得平面AB1D1∥平面BDC1，則兩平面間的距離可轉化為點B到平面AB1D1的距離.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（a，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，a），C（0，a，0），＝（a，－a，a），＝（0，－a，0），連接A1C，則A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一個法向量為n＝（1，－1，1），則兩平面間的距離d＝＝＝a.
10.解：以{，，}為正交基底，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖，
則A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），
＝（1，－2，1），＝（1，0，－2）.
設＜，＞＝φ，
則cos φ＝＝＝－，
∴sin φ＝，
∴d＝｜｜·sin φ＝.
11.A　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（，，0），B（0，1，0），B1（0，1，1），C1（0，0，1），則＝（，，－1），＝（0，1，0），＝（0，1，－1）.設平面ABC1的一個法向量為n＝（x，y，1），則有解得n＝（，1，1），則所求距離為＝＝.
12.　解析：如圖所示，建立空間直角坐標系D-xyz，則A（4，0，0），M（2，0，4），D（0，0，0），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4），N（4，2，4）.
∴＝（2，2，0），＝（2，2，0），＝（－2，0，4），＝（－2，0，4），∴＝，＝，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.設n＝（x，y，z）是平面AMN的法向量，則解得取z＝1，則x＝2，y＝－2，得n＝（2，－2，1）.平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面AMN的距離.∵＝（0，4，0），∴平面AMN與平面EFBD間的距離d＝＝.
13.解：（1）建立以D為坐標原點，，，分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系，如圖所示.
則P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，F（，1，0），D（0，0，0）.
所以＝，
＝，＝，
設平面PEF的法向量n＝（x，y，z），
則即
取x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3），
所以點D到平面PEF的距離
d＝＝＝.
（2）因為E，F分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC.
又因為AC 平面PEF，EF 平面PEF，
所以AC∥平面PEF.
因為＝，所以點A到平面PEF的距離d＝＝＝，
所以直線AC到平面PEF的距離為.
14.解：該幾何體的直觀圖如圖所示，分別取AD，BC的中點O，M，連接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，PM＝＝＝，
∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由線面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，
以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系.
則A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－1，0，0），P（0，0，1），
設四棱錐P-ABCD外接球的球心為N（0，1，a），
∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0.
設平面PBC的法向量為n＝（x，y，z），
＝（1，2，－1），＝（－1，2，－1），＝（0，－1，1），

取z＝2，則n＝（0，1，2），
則四棱錐P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距離d＝＝＝＝.
2 / 26.3.4　空間距離的計算
新課程標準解讀 核心素養
1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題 數學抽象、直觀想象
2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用 直觀想象、數學運算
　　幾何學中，經常需要計算兩個圖形間的距離.一個圖形內任一點與另一個圖形內任一點的距離中的最小值，通常叫作這兩個圖形的距離.空間中常見的距離有：兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、相互平行的直線之間的距離、相互平行的平面之間的距離等.計算距離是空間度量最基本的問題.
【問題】　如何用向量方法求解這些距離呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　點P到平面α的距離
　如圖，P是平面α外一點，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內任意一點，設n為平面α的法向量，則點P到平面α的距離d＝　　　　.
提醒　點P到平面α的距離的實質就是平面α的單位法向量與從該點出發的任一條斜線段AP對應的向量的數量積的絕對值.
知識點二　點P到直線l的距離
1.如圖，P是直線l外一點，A是l上任意一點，在平面中，取一個與直線l垂直的向量n，則·n＝｜｜｜n｜cos θ，其中θ＝＜，n＞，從而點P到直線l的距離d＝　　　　.
2.如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，O為垂足，A是l上任意一點，設e是直線l的方向向量.記φ＝＜，e＞，則cos φ＝，故點P到直線l的距離d＝　　　　　　.
【想一想】
如何求兩平行線l1與l2的距離？
1.已知平面α的一個法向量n＝（－2，－2，1），點A（－1，3，0）在α內，則P（－2，1，4）到α的距離為（　　）
A.10 B.3
C. D.
2.已知直線l過定點A（2，3，1），且n＝（0，1，1）為其一個方向向量，則點P（4，3，2）到直線l的距離為（　　）
A. B.
C. D.
題型一 點到平面的距離
【例1】　（鏈接教科書第40頁例10）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別是C1C，D1A1，AB的中點，求點A到平面EFG的距離.
通性通法
求點到平面的距離的方法
（1）作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；
（2）在三棱錐中用等體積法求解；
（3）向量法：d＝（n為平面的法向量，A為平面上一點，MA為過點A的斜線段）.
【跟蹤訓練】
　在三棱錐B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點D到平面ABC的距離.
題型二 點到直線的距離
【例2】　（2024·蘇州月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，則點C到直線PA的距離為（　　）
A.2 B.2
C. D.4
通性通法
用向量法求點到直線距離的步驟
（1）建立適當的空間直角坐標系；
（2）求所求點P與直線上某一點A所構成的向量；
（3）若已知直線的方向向量e，則利用公式d＝｜｜·sin＜，e＞求解；若已知直線的法向量n，則利用公式d＝求解.
【跟蹤訓練】
如圖，P為矩形ABCD所在平面外的一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點P到BD的距離.
題型三 直線到平面、平面與平面的距離
【例3】　（鏈接教科書第44頁練習4題）如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中點，求直線A1B1與平面ABE的距離.
通性通法
1.直線到平面、平面到平面的距離都是在它們相互平行條件下定義的，否則不談距離問題.
2.線面距、面面距均可轉化為點到平面的距離問題.
3.用向量方法研究空間距離問題的一般步驟：
第一步，確定法向量；
第二步，選擇參考向量；
第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的長度.
【跟蹤訓練】
　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離.
1.兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A（2，1，1），且兩平面的一個法向量n＝（－1，0，1），則兩平面間的距離是（　　）
A. B.
C. D.3
2.已知Rt△ABC的兩條直角邊BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝3，則點P到斜邊AB的距離是　　　　.
3.如圖所示，在直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求點D到平面ACE的距離.
6.3.4　空間距離的計算
【基礎知識·重落實】
知識點一
知識點二
1.　2.｜｜ sin φ
想一想
　提示：l1上任一點P到l2的距離即為l1與l2的距離.
自我診斷
1.D　∵＝（－1，－2，4），∴P（－2，1，4）到α的距離為
＝＝.
2.A　∵＝（2，0，1），∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝，∴d＝｜｜sin φ＝×＝.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），G（2，1，0），所以＝（0，1，0），＝（－2，1，1），＝（－1，－1，2）.
設n＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，點A到平面EFG的距離為d，
則所以所以令z＝1，此時n＝（1，1，1），所以d＝＝＝，即點A到平面EFG的距離為.
跟蹤訓練
　解：如圖所示，以AD的中點O為原點，以OD，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標系，
則A（－，0，0），B（，0，），C（0，，0），D（，0，0），
∴＝（，，0），＝（，0，），＝（－，，0），
設n＝（x，y，z）為平面ABC的一個法向量，
則
∴y＝－x，z＝－x，可取n＝（－，1，3），
代入d＝，得d＝＝，
即點D到平面ABC的距離是.
【例2】　A　法一（向量法）　如圖，以B為坐標原點，BC，BA，BP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，4，0），P（0，0，4），故＝（2，0，－4），＝（0，4，－4），所以在上的投影向量的長度d＝＝＝2，故點C到直線PA的距離h＝＝＝2，故選A.
法二（幾何法）　如圖，取PA的中點M，連接BM，CM，因為PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PB⊥BC，又因為AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，PA 平面PAB，所以BC⊥PA，因為M是PA的中點，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM為點C到直線PA的距離.在等腰直角三角形PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2.故點C到直線PA的距離為2.故選A.
跟蹤訓練
　解：如圖，分別以AB，AD，AP所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），B（3，0，0），D（0，4，0），
∴＝（3，0，－1），＝（－3，4，0）.
設＜，＞＝φ，
∴cos φ＝＝－，
∴sin φ＝，
∴點P到BD的距離d＝｜｜·sin φ＝.
【例3】　解：∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，
∴A1B1∥平面ABE，
∴A1B1到平面ABE的距離就是點A1到平面ABE的距離.
如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0，，1），C（0，，0），
過點C作AB的垂線交AB于點F，易得BF＝，∴B（1，2，0），
∴＝（0，2，0），＝（－1，－，1）.
設平面ABE的法向量為n＝（x，y，z），
則即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1，0，1）.
∵＝（0，0，2），
∴點A1到平面ABE的距離d＝＝＝.
∴直線A1B1與平面ABE的距離為.
跟蹤訓練
　解：以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，－1），＝（－1，0，－1），＝（－1，0，0）.
設平面A1BD的法向量為n＝（x，y，z）.
則即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝（－1，1，1）.
所以點D1到平面A1BD的距離d＝＝＝.
由題意可知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離等于點D1到平面A1BD的距離，所以平面A1BD與平面B1CD1間的距離為.
隨堂檢測
1.B　∵兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A（2，1，1），＝（2，1，1），且兩平面的一個法向量n＝（－1，0，1），∴兩平面間的距離d＝＝＝.故選B.
2.　解析：以點C為坐標原點，CA，CB，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則A（4，0，0），B（0，3，0），P，∴＝（－4，3，0），＝（－4，0，3），記φ＝＜，＞，∴cos φ＝＝＝，∴sin φ＝＝＝，∴點P到AB的距離為d＝｜｜sin φ＝5×＝.
3.解：取AB的中點O，以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C（0，1，2），從而＝（0，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）.
設平面ACE的法向量為n＝（x，y，z），
則即令y＝1，則x＝－1，z＝－1，
所以n＝（－1，1，－1）為平面ACE的一個法向量.故點D到平面ACE的距離d＝＝＝.
4 / 4(共60張PPT)
6.3.4　
空間距離的計算
新課程標準解讀 核心素養
1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、
相互平行的直線、相互平行的平面間的距離
問題 數學抽象、直觀想象
2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方
法在研究幾何問題中的作用 直觀想象、數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　幾何學中，經常需要計算兩個圖形間的距離.一個圖形內任一點
與另一個圖形內任一點的距離中的最小值，通常叫作這兩個圖形的距
離.空間中常見的距離有：兩點間的距離、點到直線的距離、點到平
面的距離、相互平行的直線之間的距離、相互平行的平面之間的距離
等.計算距離是空間度量最基本的問題.
【問題】　如何用向量方法求解這些距離呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知識點一　點P到平面α的距離
如圖，P是平面α外一點，PO⊥α，垂足為O，A為平面α內任意一點，設n為平面α的法向量，則點P到平面α的距離d
＝ .
　
提醒　點P到平面α的距離的實質就是平面α的單位法向量與從該點
出發的任一條斜線段AP對應的向量 的數量積的絕對值.
知識點二　點P到直線l的距離
1. 如圖，P是直線l外一點，A是l上任意一點，在平面中，取一個與
直線l垂直的向量n，則 ·n＝｜ ｜｜n｜ cos θ，其中θ＝
＜ ，n＞，從而點P到直線l的距離d＝ .
　
2. 如圖，P是直線l外一點，PO⊥l，O為垂足，A是l上任意一點，
設e是直線l的方向向量.記φ＝＜ ，e＞，則 cos φ＝
，故點P到直線l的距離d＝ .
｜ ｜ sin φ　
【想一想】
如何求兩平行線l1與l2的距離？
提示：l1上任一點P到l2的距離即為l1與l2的距離.
1. 已知平面α的一個法向量n＝（－2，－2，1），點A（－1，3，
0）在α內，則P（－2，1，4）到α的距離為（　　）
A. 10 B. 3
解析： 　∵ ＝（－1，－2，4），∴P（－2，1，4）到α的
距離為 ＝ ＝ .
2. 已知直線l過定點A（2，3，1），且n＝（0，1，1）為其一個方
向向量，則點P（4，3，2）到直線l的距離為（　　）
解析： 　∵ ＝（2，0，1），∴ cos φ＝ ＝ ＝
，∴ sin φ＝ ＝ ，∴d＝｜ ｜ sin φ＝ ×
＝ .
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 點到平面的距離
【例1】　（鏈接教科書第40頁例10）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的
棱長為2，E，F，G分別是C1C，D1A1，AB的中點，求點A到平面
EFG的距離.
解：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），G（2，1，
0），所以 ＝（0，1，0）， ＝（－2，1，1）， ＝（－1，
－1，2）.
設n＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，點A到平面EFG的距離為
d，
則所以
所以令z＝1，此時n＝（1，1，1），
所以d＝ ＝ ＝ ，
即點A到平面EFG的距離為 .
通性通法
求點到平面的距離的方法
（1）作點到平面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；
（2）在三棱錐中用等體積法求解；
（3）向量法：d＝ （n為平面的法向量，A為平面上一點，
MA為過點A的斜線段）.
【跟蹤訓練】
　在三棱錐B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC＝CD＝
AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點D到平面ABC的距離.
解：如圖所示，以AD的中點O為原點，以OD，OC
所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB
于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標系，
則A（－ ，0，0），B（ ，0， ），C（0，
，0），D（ ，0，0），
∴ ＝（ ， ，0）， ＝（ ，0， ）， ＝（－ ， ，0），
設n＝（x，y，z）為平面ABC的一個法向量，
則
∴y＝－ x，z＝－ x，可取n＝（－ ，1，3），
代入d＝ ，得d＝ ＝ ，
即點D到平面ABC的距離是 .
題型二 點到直線的距離
【例2】　（2024·蘇州月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，則點C到直線PA的距離為（　　）
D. 4
解析： 　法一（向量法）　如圖，以B為坐標原
點，BC，BA，BP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系.則B（0，0，0），C（2，0，
0），A（0，4，0），P（0，0，4），故 ＝（2，
0，－4）， ＝（0，4，－4），所以 在 上的投影向量的長度d＝ ＝ ＝2 ，故點C到直線PA的距離h＝ ＝ ＝2 ，故選A.
法二（幾何法）　如圖，取PA的中點M，連接BM，
CM，因為PB⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以
PB⊥BC，又因為AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，
AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，PA 平面PAB，
所以BC⊥PA，因為M是PA的中點，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM為點C到直線PA的距離.在等腰直角三角形PAB中，BM＝ PB＝2 ，在Rt△BCM中，CM＝ ＝ ＝2 .故點C到直線PA的距離為2 .故選A.
通性通法
用向量法求點到直線距離的步驟
（1）建立適當的空間直角坐標系；
（2）求所求點P與直線上某一點A所構成的向量 ；
（3）若已知直線的方向向量e，則利用公式d＝｜ ｜· sin ＜
，e＞求解；若已知直線的法向量n，則利用公式d＝
求解.
【跟蹤訓練】
如圖，P為矩形ABCD所在平面外的一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求點P到BD的距離.
解：如圖，分別以AB，AD，AP所在的直線為x，y，z
軸建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），B（3，0，
0），D（0，4，0），
∴ ＝（3，0，－1）， ＝（－3，4，0）.
設＜ ， ＞＝φ，
∴ cos φ＝ ＝－ ，∴ sin φ＝ ，
∴點P到BD的距離d＝｜ ｜· sin φ＝ .
題型三 直線到平面、平面與平面的距離
【例3】　（鏈接教科書第44頁練習4題）如圖，在直棱柱ABCD-
A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝
1，CD＝ ，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中點，求直線A1B1與平
面ABE的距離.
解：∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，
∴A1B1∥平面ABE，
∴A1B1到平面ABE的距離就是點A1到平面ABE的距離.
如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y
軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0， ，1），C（0， ，
0），過點C作AB的垂線交AB于點F，易得BF＝ ，∴B（1，2 ，0），
∴ ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，－ ，1）.
設平面ABE的法向量為n＝（x，y，z），
則即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1，0，1）.
∵ ＝（0，0，2），
∴點A1到平面ABE的距離d＝ ＝ ＝ .
∴直線A1B1與平面ABE的距離為 .
通性通法
1. 直線到平面、平面到平面的距離都是在它們相互平行條件下定義
的，否則不談距離問題.
2. 線面距、面面距均可轉化為點到平面的距離問題.
3. 用向量方法研究空間距離問題的一般步驟：
第一步，確定法向量；
第二步，選擇參考向量；
第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的長度.
【跟蹤訓練】
　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面
B1CD1間的距離.
解：以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，
1）， ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1），
＝（－1，0，0）.
設平面A1BD的法向量為n＝（x，y，z）.
則即
令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝（－1，1，1）.
所以點D1到平面A1BD的距離d＝ ＝ ＝ .
由題意可知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD與平面B1CD1間
的距離等于點D1到平面A1BD的距離，所以平面A1BD與平面B1CD1間
的距離為 .
1. 兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A（2，1，1），且兩
平面的一個法向量n＝（－1，0，1），則兩平面間的距離是
（　　）
解析： 　∵兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A（2，
1，1）， ＝（2，1，1），且兩平面的一個法向量n＝（－1，
0，1），∴兩平面間的距離d＝ ＝ ＝ .故選B.

解析：以點C為坐標原點，CA，CB，CP所在直
線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直
角坐標系.則A（4，0，0），B（0，3，0），
P ，∴ ＝（－4，3，0）， ＝
（－4，0，3），記φ＝＜ ， ＞，∴ cos φ＝ ＝ ＝ ，∴ sin φ＝ ＝ ＝ ，∴點P到AB的距離為d＝｜ ｜ sin φ＝5× ＝ .
　
3. 如圖所示，在直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正
方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求點D到平
面ACE的距離.
解：取AB的中點O，以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標
系，則A（0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C
（0，1，2），從而 ＝（0，0，2）， ＝
（1，1，0）， ＝（0，2，2）.
設平面ACE的法向量為n＝（x，y，z），
則即令y＝1，則x＝－1，z＝－1，
所以n＝（－1，1，－1）為平面ACE的一個法向量.故點D到平面
ACE的距離d＝ ＝ ＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 若O為坐標原點， ＝（1，1，－2）， ＝（3，2，8），
＝（0，1，0），則線段AB的中點P到點C的距離為（　　）
解析： 　∵ ＝ （ ＋ ）＝ （4，3，6）＝
， ＝（0，1，0），∴ ＝ － ＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ .
2. （2024·鹽城月考）在空間直角坐標系O-xyz中，已知點D（2，
1，0）和向量m＝（4，1，2），且m⊥平面DEF，則點O到平面
DEF的距離為（　　）
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解析： 因為D（2，1，0），所以 ＝（2，1，0），又向量
m＝（4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面
DEF的一個法向量，所以點O到平面DEF的距離為d＝
＝ ＝ ＝ .
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3. 已知棱長為1的正方體ABCD-EFGH，若點P在正方體內部且滿足
＝ ＋ ＋ ，則點P到直線AB的距離為（　　）
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解析： 　建立如圖所示的空間直角坐標系，則
＝ （1，0，0）＋ （0，1，0）＋ （0，0，1）
＝ .又 ＝（1，0，0），記φ＝＜
， ＞，∴ cos φ＝ ＝ ＝ ，∴ sin φ＝ ＝ ，∴d＝｜ ｜· sin φ＝ .
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4. 已知△ABC的頂點分別為A（1，－1，2），B（5，－6，2），C
（1，3，－1），則AC邊上的高BD＝（　　）
A. 25 B. 5
解析： 　設 ＝λ ，∵ ＝（0，4，－3），∴ ＝（0，
4λ，－3λ），又∵ ＝（4，－5，0），∴ ＝ － ＝
（－4，4λ＋5，－3λ）.由 · ＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝
0，解得λ＝－ ，∴ ＝（－4， ， ），∴BD＝｜ ｜＝
5.故選B.
D. 1
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5. （2024·淮安月考）如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝
5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是（　　）
A. 5 B. 8
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解析： 以D為坐標原點， ， ，
的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所
示的空間直角坐標系，則C（0，12，0），D1
（0，0，5）.設AD＝x（x＞0），則B（x，
12，0），B1（x，12，5）.設平面A1BCD1的法向量為n＝（a，b，c），由n⊥ ，n⊥ ，得n· ＝（a，b，c）·（－x，
0，0）＝－ax＝0，n· ＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝ c，所以可取n＝（0，5，12）.
又 ＝（0，0，－5），所以點B1到平面A1BCD1的距離為 ＝ .因為B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距離為 .
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6. （多選）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，
O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ ，以O為原
點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直
角坐標系，則下列說法正確的是（　　）
B. 平面OBB1的一個法向量為n＝（0，
1，－1）
C. A1C⊥平面OBB1
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解析： 　由題意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，
1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所
以 ＝（1，1，1），故A不正確； ＝（1，0，0），設平面
OBB1的法向量為n＝（x，y，z），則令
y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正確； ＝（0，1，－1）＝
n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正確；連接OA（圖略）， ＝
（0，－1，0），則點A到平面OBB1的距離d＝ ＝ ＝
，故D正確.故選B、C、D.
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7. 已知平面α的一個法向量為n＝（－2，－2，1），點A（x，3，
0）在平面α內，若點P（－2，1，4）到平面α的距離d＝ ，則
x的值為 .
解析：連接PA（圖略），由題意知 ＝（x＋2，2，－4），∴d
＝ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝－1或x＝－
11.
－1或－11　
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解析：連接AO1，建立如圖所示的空間直角坐標
系.則A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，
3，0），∴ ＝（－2，0，2）， ＝（－2，
3，0），記φ＝＜ ， ＞，∴ cos φ＝
＝ ＝ ，∴ sin φ＝
＝ ，∴d＝｜ ｜· sin φ＝2
× ＝ .
　
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解析：由正方體的性質，易得平面AB1D1∥平面
BDC1，則兩平面間的距離可轉化為點B到平面
AB1D1的距離.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所
在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空
間直角坐標系，則A（a，0，0），B（a，a，
0），A1（a，0，a），C（0，a，0）， ＝
（a，－a，a）， ＝（0，－a，0），連接A1C，則A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一個法向量為n＝（1，－1，1），則兩平面間的距離d＝ ＝ ＝ a.
9. （2024·南通質檢）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則平
面AB1D1與平面BDC1的距離為 .
a
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10. 在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是C1C，
D1A1的中點，求點A到直線EF的距離.
解：以{ ， ， }為正交基底，建立空間直
角坐標系D-xyz，如圖，
則A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），
＝（1，－2，1）， ＝（1，0，－2）.
設＜ ， ＞＝φ，則 cos φ＝ ＝ ＝－ ，
∴ sin φ＝ ，
∴d＝｜ ｜· sin φ＝ .
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11. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均為1，且AA1⊥底面
ABC，則點B1到平面ABC1的距離為（　　）
D. 1
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解析： 　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A
（ ， ，0），B（0，1，0），B1（0，1，1），
C1（0，0，1），則 ＝（ ， ，－1），
＝（0，1，0）， ＝（0，1，－1）.設平面ABC1
的一個法向量為n＝（x，y，1），則有解得n＝（ ，1，
1），則所求距離為 ＝ ＝ .
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解析：如圖所示，建立空間直角坐標系D-xyz，則A（4，
0，0），M（2，0，4），D（0，0，0），B（4，4，0），
E（0，2，4），F（2，4，4），N（4，2，4）.∴ ＝
（2，2，0）， ＝（2，2，0）， ＝（－2，0，4），
＝（－2，0，4），∴ ＝ ， ＝ ，∴EF∥
MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M. ∴平面
AMN∥平面EFBD. 設n＝（x，y，z）是平面AMN的法向量，則解得取z＝1，則x＝2，y＝－2，得n＝（2，－2，1）.平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面AMN的距離.∵ ＝（0，4，0），∴平面AMN與平面EFBD間的距離d＝ ＝ .
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13. （2024·揚州月考）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平
面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點.
（1）求點D到平面PEF的距離；
解： 建立以D為坐標原點， ， ，
分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角
坐標系，如圖所示.
則P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，
1，0），E ，F ，D
（0，0，0）.
所以 ＝ ，
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＝ ， ＝ ，
設平面PEF的法向量n＝（x，y，z），
則即
取x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3），
所以點D到平面PEF的距離
d＝ ＝ ＝ .
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（2）求直線AC到平面PEF的距離.
解： 因為E，F分別為AB，BC的中點，所以EF∥AC.
又因為AC 平面PEF，EF 平面PEF，
所以AC∥平面PEF.
因為 ＝ ，所以點A到平面PEF
的距離d＝ ＝ ＝ ，
所以直線AC到平面PEF的距離為 .
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14. 如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，四邊形ABCD是邊長
為2的正方形，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∠HDC
＝∠FAB＝90°，求四棱錐P-ABCD外接球的球心到平面PBC的
距離.
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解：該幾何體的直觀圖如圖所示，分別取AD，
BC的中點O，M，連接OM，PM，PO，
∵PO＝1，OM＝2，PM＝ ＝
＝ ，∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM，
又∵PO⊥AD，∴由線面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD，
以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系.
則A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D（－
1，0，0），P（0，0，1），
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設四棱錐P-ABCD外接球的球心為N（0，1，a），
∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0.
設平面PBC的法向量為n＝（x，y，z），
＝（1，2，－1）， ＝（－1，2，－1）， ＝（0，－1，1），

取z＝2，則n＝（0，1，2），
則四棱錐P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距離d＝
＝ ＝ ＝ .
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