資源簡介

一、空間向量的概念及運算
　　向量的運算包含線性運算和數量積運算，其中線性運算是研究向量共面、共線的數學表達形式.利用數量積可以解決有關垂直、夾角、長度問題.
【例1】　（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，P分別是AA1，C1D1的中點，則＝（　　）
A.a＋b＋c B.a＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
（2）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，G，E，D分別是棱A1B1，CC1，AC的中點，F是棱AB上的點，若·＝－1，則線段DF的長度為　　　　.
反思感悟
1.空間向量數量積的3個應用
（1）求夾角：設向量a，b的夾角為θ，則cos θ＝，進而可求兩異面直線所成的角；
（2）求長度（距離）：利用公式｜a｜2＝a·a，可將線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題；
（3）解決垂直問題：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可將垂直問題轉化為向量數量積的計算問題.
2.證明三點共線和空間四點共面的方法比較
【跟蹤訓練】
1.（2024·杭州月考）已知不共面的三個向量a，b，c都是單位向量，且夾角都是，則向量a－b－c和b的夾角為（　　）
A.　 　B. C.　 　D.
2.已知A，B，C三點不共線，點O為空間任意一點，若點M滿足＝＋＋，則點M　　　　（填“∈”或“ ”）平面ABC.
二、利用空間向量證明位置關系
　　用空間向量判斷空間中位置關系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉化為線線關系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明.
【例2】　在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點.
（1）求證：BM∥平面PAD；
（2）平面PAD內是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由.
反思感悟
利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟
【跟蹤訓練】
如圖，在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面EFG⊥平面PBC.
三、利用空間向量求距離
1.點P到平面α的距離d＝（其中P是平面α外一點，A∈α，n為平面α的法向量）.
2.點P到直線l的距離：
公式①d＝；
公式②d＝｜｜sin＜，e＞（其中P是直線l外一點，A∈l，n是與直線l垂直的直線的方向向量，e是直線l的方向向量）.
【例3】　如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
（1）求BF的長；
（2）求點C到平面AEC1F的距離.
反思感悟
　　利用向量法求點面距，只需求出平面的一個法向量和該點與平面內任一點連線表示的向量，代入公式求解即可.
【跟蹤訓練】
1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則點D1到直線AC的距離為（　　）
A.a B.a
C.a D.a
2.（2024·蘇州月考）在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，則點C到平面PAB的距離是（　　）
A. B.
C. D.
四、利用空間向量求空間角
1.設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cos θ＝｜cos＜m1，m2＞｜.
2.設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成的角θ滿足sin θ＝｜cos＜m，n＞｜.
3.設n1，n2分別是二面角的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的平面角與這兩個平面的法向量的夾角相等或互補.
【例4】　（2024·九省聯考）如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°.
（1）證明：C1O⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-AA1-D的正弦值.
反思感悟
1.兩異面直線所成角的范圍為0°＜θ≤90°，兩異面直線的方向向量所成角的范圍為0°＜θ＜180°.
2.要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦值cos＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞－或－＜n，a＞.
3.二面角的范圍為（0，π），二面角需要根據圖形判斷是銳角還是鈍角.
【跟蹤訓練】
（2023·新高考Ⅰ卷18題）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
（1）證明：B2C2∥A2D2；
（2）點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.
章末復習與總結
【例1】　（1）C　（2）
解析：（1）如圖，由題意，M，P分別是AA1，C1D1的中點，∴＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝a＋b＋c.故選C.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則G（1，0，2），E（0，2，1），D（0，1，0），故＝（－1，1，－2）.又F是棱AB上的點，所以設F（a，0，0），則＝（a，－2，－1），因為·＝－1，所以－a－2＋2＝－1，解得a＝1.所以F（1，0，0），故DF＝＝.
跟蹤訓練
1.C　由題意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝，∴｜a－b－c｜＝＝＝，（a－b－c）·b＝a·b－b2－b·c＝－1.設向量a－b－c和b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
2.∈　解析：＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，∵＋＋＝1，∴M，A，B，C四點共面，即點M∈平面ABC.
【例2】　解：（1）證明：以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），M（1，1，1），
∵＝（0，1，1），平面PAD的一個法向量為n＝（1，0，0），
∴·n＝0，即⊥n，
又BM 平面PAD，∴BM∥平面PAD.
（2）由（1）知，＝（－1，2，0），＝（1，0，－2），
假設平面PAD內存在一點N，使MN⊥平面PBD.
設N（0，y，z），則＝（－1，y－1，z－1），
從而MN⊥BD，MN⊥PB，
∴
即
∴∴N（0，，），
∴在平面PAD內存在一點N（0，，），使MN⊥平面PBD.
跟蹤訓練
　證明：由題意，以三棱錐的頂點P為坐標原點，以PA，PB，PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
設PA＝PB＝PC＝3，則P（0，0，0），A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，3），E（0，2，1），F（0，1，0），G（1，1，0）.
于是＝（3，0，0），＝（1，0，0），
故＝3，∴PA∥FG.
∵在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，∴AP⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又∵FG 平面GEF，∴平面GEF⊥平面PBC.
【例3】　解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.
設F（0，0，z）.由題意得AEC1F為平行四邊形，
∴＝，∴（－2，0，z）＝（－2，0，2），
∴z＝2，∴F（0，0，2）.∴＝（－2，－4，2），
∴｜｜＝2，即BF的長為2.
（2）設n＝（x，y，z）為平面AEC1F的法向量，由（1）可知＝（0，4，1），＝（－2，0，2），
則 令x＝1，則z＝1，y＝－，∴n＝.
又＝（0，0，3），∴點C到平面AEC1F的距離d＝＝＝.
跟蹤訓練
1.D　如圖建立空間直角坐標系，易得C（a，a，0），D1（0，a，2a），則＝（－a，0，2a），＝（－a，－a，0），所以cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，則點D1到直線AC的距離為d＝｜｜sin＜，＞＝a.
2.A　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），P（0，4，4），∴＝（0，4，4），＝（4，0，0），＝（0，0，－4）.設平面PAB的法向量為m＝（x，y，z），則即令y＝，則z＝－1，∴m＝（0，，－1），∴點C到平面PAB的距離為＝.
【例4】　解：（1）證明：＝＋＝－（＋），
·＝［－（＋）］·（－）
＝（·－·）－（－）＝0，∴C1O⊥BD，
而CC1＝2，CO＝，∠C1CO＝45°，∴C1O＝，∴C1O2＋OC2＝C，∴C1O⊥OC，
∵BD∩OC＝O，BD，AC 平面ABCD，∴C1O⊥平面ABCD.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
∴B（，0，0），A（0，－，0），C1（0，0，），C（0，，0），A1（0，－2，），D（－，0，0），
設平面AA1B與平面AA1D的一個法向量分別為n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2），
又＝（0，－，），＝（，，0），＝（－，，0），
∴ n1＝（1，－1，－1），
n2＝（1，1，1），
設二面角B-AA1-D的平面角為θ，
∴｜cos θ｜＝＝＝，∴sin θ＝.故二面角B-AA1-D的正弦值為.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：法一（坐標法）　以點C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），
所以＝（0，－2，1），＝（0，－2，1），
所以＝，所以B2C2∥A2D2.
法二（向量法）　依題意，得＝＋＋＝＋＋＝ ，
所以B2C2∥A2D2.
（2）設P（0，2，a）（0≤a≤4），
則＝（2，0，－1），＝（2，2，－2），＝（0，2，a－3）.
設平面A2C2D2的法向量為m＝（x1，y1，z1），
則
即
令x1＝1，則z1＝2，y1＝1，所以m＝（1，1，2）.
設平面A2C2P的法向量為n＝（x2，y2，z2），
則
即
令z2＝2，得y2＝3－a，x2＝a－1，
所以n＝（a－1，3－a，2）.
由二面角P-A2C2-D2的大小為150°，
得｜cos＜m，n＞｜＝＝，
即＝.
解得a＝1或a＝3，故B2P＝｜a－2｜＝1.
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章末復習與總結
一、空間向量的概念及運算
　　向量的運算包含線性運算和數量積運算，其中線性運算是研究向
量共面、共線的數學表達形式.利用數量積可以解決有關垂直、夾
角、長度問題.
【例1】　（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設 ＝a，
＝b， ＝c，M，P分別是AA1，C1D1的中點，則 ＝
（　C　）
A. a＋ b＋ c B. a＋ c
C. a＋ b＋c D. a＋ b＋ c
C
解析： 如圖，由題意，M，P分別是
AA1，C1D1的中點，∴ ＝ ＋ ＝
＋（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ a＋
b＋c.故選C.
（2）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC
＝AA1＝2，G，E，D分別是棱A1B1，CC1，AC的中點，F是
棱AB上的點，若 · ＝－1，則線段DF的長度為 .
　
解析： 建立如圖所示的空間直角坐標系，
則G（1，0，2），E（0，2，1），D（0，1，
0），故 ＝（－1，1，－2）.又F是棱AB上
的點，所以設F（a，0，0），則 ＝（a，－
2，－1），因為 · ＝－1，所以－a－2＋2＝－1，解得a＝1.所以F（1，0，0），故DF＝ ＝ .
反思感悟
1. 空間向量數量積的3個應用
（1）求夾角：設向量a，b的夾角為θ，則 cos θ＝ ，進
而可求兩異面直線所成的角；
（2）求長度（距離）：利用公式｜a｜2＝a·a，可將線段長度的
計算問題轉化為向量數量積的計算問題；
（3）解決垂直問題：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可將
垂直問題轉化為向量數量積的計算問題.
2. 證明三點共線和空間四點共面的方法比較
【跟蹤訓練】
1. （2024·杭州月考）已知不共面的三個向量a，b，c都是單位向
量，且夾角都是 ，則向量a－b－c和b的夾角為（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　由題意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝
b·c＝ ，∴｜a－b－c｜＝ ＝
＝ ，（a－b－c）·b＝a·b
－b2－b·c＝－1.設向量a－b－c和b的夾角為θ，則 cos θ＝
＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ＝ .
2. 已知A，B，C三點不共線，點O為空間任意一點，若點M滿足
＝ ＋ ＋ ，則點M （填“∈”或“ ”）平
面ABC.
解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）
＝ ＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，∴M，A，B，C四點共
面，即點M∈平面ABC.
∈　
二、利用空間向量證明位置關系
　　用空間向量判斷空間中位置關系的類型有：線線平行、線線垂
直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思
想是轉化為線線關系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直
進行證明.
【例2】　在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面
ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點.
（1）求證：BM∥平面PAD；
解： 證明：以A為原點，以AB，AD，AP
所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的
空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（0，
2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），M
（1，1，1），∵ ＝（0，1，1），平面PAD的一個法向量
為n＝（1，0，0），∴ ·n＝0，即 ⊥n，
又BM 平面PAD，∴BM∥平面PAD.
（2）平面PAD內是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確
定N的位置；若不存在，說明理由.
解：由（1）知， ＝（－1，2，0）， ＝（1，0，－2），
假設平面PAD內存在一點N，使MN⊥平面PBD.
設N（0，y，z），則 ＝（－1，y－1，z－1），
從而MN⊥BD，MN⊥PB，
∴即
∴∴N（0， ， ），
∴在平面PAD內存在一點N（0， ， ），使MN⊥平面PBD.
反思感悟
利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟
【跟蹤訓練】
如圖，在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的
重心，E，F分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求證：平面EFG⊥平面PBC.
證明：由題意，以三棱錐的頂點P為坐標原點，以
PA，PB，PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立
空間直角坐標系.
設PA＝PB＝PC＝3，則P（0，0，0），A（3，
0，0），B（0，3，0），C（0，0，3），E（0，
2，1），F（0，1，0），G（1，1，0）.
于是 ＝（3，0，0）， ＝（1，0，0），
故 ＝3 ，∴PA∥FG.
∵在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，
∴AP⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又∵FG 平面GEF，∴平面GEF⊥平面PBC.
三、利用空間向量求距離
1. 點P到平面α的距離d＝ （其中P是平面α外一點，
A∈α，n為平面α的法向量）.
2. 點P到直線l的距離：
公式①d＝ ；
公式②d＝｜ ｜ sin ＜ ，e＞（其中P是直線l外一點，
A∈l，n是與直線l垂直的直線的方向向量，e是直線l的方向向
量）.
【例3】　如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.
（1）求BF的長；
解： 建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），B（2，4，0），A
（2，0，0），C（0，4，0），E（2，
4，1），C1（0，4，3）.
設F（0，0，z）.由題意得AEC1F為平行四邊形，
∴ ＝ ，∴（－2，0，z）＝（－2，0，2），
∴z＝2，∴F（0，0，2）.∴ ＝（－2，－4，2），
∴｜ ｜＝2 ，即BF的長為2 .
（2）求點C到平面AEC1F的距離.
解： 設n＝（x，y，z）為平面AEC1F的法向量，由（1）可知 ＝（0，4，1）， ＝（－2，0，2），
則
令x＝1，則z＝1，y＝－ ，∴n＝ .
又 ＝（0，0，3），∴點C到平面
AEC1F的距離d＝ ＝ ＝ .
反思感悟
　　利用向量法求點面距，只需求出平面的一個法向量和該點與平面
內任一點連線表示的向量，代入公式求解即可.
【跟蹤訓練】
1. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則點D1
到直線AC的距離為（　　）
A. a B. a C. a D. a
解析： 　如圖建立空間直角坐標系，易得C（a，
a，0），D1（0，a，2a），則 ＝（－a，0，
2a）， ＝（－a，－a，0），所以 cos ＜ ，
＞＝ ， sin ＜ ， ＞＝ ，則點D1到
直線AC的距離為d＝｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝
a.
2. （2024·蘇州月考）在三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC
＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，則點C到平面PAB的距離
是（　　）
A. B. C. D.
解析： 　建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），
P（0，4，4 ），∴ ＝（0，4，4 ），
＝（4，0，0）， ＝（0，0，－4 ）.設平面
PAB的法向量為m＝（x，y，z），則即令y＝ ，則z＝－1，∴m＝（0， ，
－1），∴點C到平面PAB的距離為 ＝ .
四、利用空間向量求空間角
1. 設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ
滿足 cos θ＝｜ cos ＜m1，m2＞｜.
2. 設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平
面α所成的角θ滿足 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜.
3. 設n1，n2分別是二面角的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的
平面角與這兩個平面的法向量的夾角相等或互補.
【例4】　（2024·九省聯考）如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°.
（1）證明：C1O⊥平面ABCD；
解： 證明： ＝ ＋ ＝ － （ ＋ ），
· ＝［ － （ ＋ ）］·（ － ）
＝（ · － · ）－ （ － ）＝0，∴C1O⊥BD，
而CC1＝2，CO＝ ，∠C1CO＝45°，∴C1O＝ ，
∴C1O2＋OC2＝C ，∴C1O⊥OC，
∵BD∩OC＝O，BD，AC 平面ABCD，∴C1O⊥平面
ABCD.
（2）求二面角B-AA1-D的正弦值.
解： 建立如圖所示的空間直角坐
標系，∴B（ ，0，0），A（0，－
，0），C1（0，0， ），C（0，
，0），A1（0，－2 ， ），D
（－ ，0，0），
設平面AA1B與平面AA1D的一個法向量分別為n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2），
又 ＝（0，－ ， ）， ＝（ ， ，0）， ＝（－ ， ，0），
∴ n1＝（1，－1，－1），
n2＝（1，1，1），
設二面角B-AA1-D的平面角為θ，
∴｜ cos θ｜＝ ＝ ＝ ，∴ sin θ＝ .故二面角B-AA1-D的正弦值為 .
反思感悟
1. 兩異面直線所成角的范圍為0°＜θ≤90°，兩異面直線的方向向
量所成角的范圍為0°＜θ＜180°.
2. 要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量n與直
線a的方向向量a夾角的余弦值 cos ＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞
－ 或 －＜n，a＞.
3. 二面角的范圍為（0，π），二面角需要根據圖形判斷是銳角還
是鈍角.
【跟蹤訓練】
（2023·新高考Ⅰ卷18題）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
（1）證明：B2C2∥A2D2；
解： 證明：法一（坐標法）　以點C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立
如圖所示的空間直角坐標系，則B2（0，2，2），
C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），
所以 ＝（0，－2，1）， ＝（0，－2，1），
所以 ＝ ，所以B2C2∥A2D2.
法二（向量法）　依題意，得 ＝ ＋
＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，
所以B2C2∥A2D2.
（2）點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.
解： 設P（0，2，a）（0≤a≤4），
則 ＝（2，0，－1）， ＝（2，2，－2）， ＝（0，2，a－3）.
設平面A2C2D2的法向量為m＝（x1，y1，z1），
則即
令x1＝1，則z1＝2，y1＝1，所以m＝（1，1，2）.
設平面A2C2P的法向量為n＝（x2，y2，z2），
則即
令z2＝2，得y2＝3－a，x2＝a－1，
所以n＝（a－1，3－a，2）.
由二面角P-A2C2-D2的大小為150°，
得｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ，
即 ＝ .
解得a＝1或a＝3，故B2P＝｜a－2｜＝1.
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