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　復數(shù)
專題二　復數(shù)的運算
10.2　復數(shù)的運算
知識點1　復數(shù)的加法和減法
1. 定義
z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；
即兩個復數(shù)的和（差）仍然是一個復數(shù)，它的實部等于兩個復數(shù)的實部相加 （減），虛部等于兩個復數(shù)的虛部相加（減）.
2. 運算律
對任意復數(shù) z1，z2，z3，有
（1）z1＋z2＝z2＋z1；（交換律）
（2）（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.（結合律）
3. 幾何意義
由平面向量的坐標運算，可得
顯然，（a＋c，b＋d）所對應的復數(shù)是（a＋c）＋（b＋d）i，（a－c，
b－d）所對應的復數(shù)是（a－c）＋（b－d）i；
兩個復數(shù)的和所對應的向量就是它們各自所對應向量的和，兩個復數(shù)的差所對應 的向量就是它們各自所對應向量的差.這是復數(shù)加法和復數(shù)減法的幾何意義.
知識點2　復數(shù)的乘法
1. 定義
z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；
兩個復數(shù)的乘積仍然是一個復數(shù).
2. 運算律
復數(shù)的乘法運算滿足交換律、結合律和對加法的分配律，即對任意的復數(shù)z1， z2，z3，有
z1z2＝z2z1，（z1z2）z3＝z1（z2z3），z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.
3. 互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)的乘積
例1　已知z1＝2i，z2＝1－i，z3＝－1，計算：z1－z2＋z3.
【考查目標】 本題考查復數(shù)的加法和減法定義.
【解析】z1－z2＋z3＝2i－（1－i）＋（－1）＝2i－1＋i－1＝－2＋3i.
【解題技巧】 兩個復數(shù)的和（差）仍然是一個復數(shù)，它的實部等于兩個復數(shù)的實 部相加（減），虛部等于兩個復數(shù)的虛部相加（減）.
變式訓練1
已知z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝3i，計算：z1＋z2－z3.
解：z1＋z2－z3＝1－2i＋1＋i－3i＝2－4i.
【解題技巧】 兩個復數(shù)的差所對應的向量就是它們各自所對應向量的差.
例3　已知復數(shù)z1＝1－2i，z2＝－2＋3i，計算：
（1）z1z2；
【解析】 （1）z1z2＝（1－2i）（－2＋3i）＝－2＋3i＋4i－6i2＝－2＋6＋3i＋4i ＝4＋7i.
（2）（z1＋z2）2.
【解析】 （2）z1＋z2＝1－2i－2＋3i＝－1＋i.
（z1＋z2）2＝（－1＋i）2＝（－1＋i）（－1＋i）＝1－2i＋i2＝1－2i－1＝－2i.
【考查目標】 本題考查復數(shù)的乘法.
【解題技巧】 復數(shù)的乘法類似于實數(shù)的乘法，注意i2＝－1.
變式訓練3
已知復數(shù)z1＝2－3i，z2＝1＋i，計算：
（1）z1z2；
解：（1）z1z2＝（2－3i）（1＋i）＝2＋2i－3i－3i2＝2－i＋3＝5－i.
（2）（z1－z2）2.
解：（2）z1－z2＝2－3i－1－i＝1－4i，
（z1－z2）2＝（1－4i）（1－4i）＝1－8i＋16i2＝－15－8i.
一、選擇題
A. －3＋3i B. 1－5i
C. －1＋i D. －1－i
【解析】z1＋z2＝－2i＋（－1＋3i）＝－1＋i.
A. 2＋4i B. 2－4i
C. 0 D. －2－4i
【解析】z1－z2＝1－2i－（－1＋2i）＝2－4i.
C
B
A. 5＋i B. 5－5i
C. 1－5i D. －5－5i
【解析】z1z2＝（2－i）（－1－3i）＝－2－6i＋i＋3i2＝－5－5i.
A. 1 B. －1 C. 3 D. －3
【解析】z＝z1z2＝（－i）（－1＋3i）＝i－3i2＝3＋i，實部是3.
D
C
A. （2，－1） B. （2，1）
C. （6，－5） D. （－6，－5）
【解析】z＝z1＋z2＝4－2i＋（－2＋3i）＝2＋i，則z1＋z2在復平面內對應的點 的坐標是（2，1）.
A. 1－3i B. 1＋3i
C. －1－3i D. －1＋3i
【解析】z＝z1－z2＝3－i－（2＋2i）＝1－3i，則z的共軛復數(shù)是1＋3i.
B
B
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形
B
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】z＝z1z2＝（2＋4i）（－1＋i）＝－2＋2i－4i＋4i2＝－6－2i，z的對應 點是（－6，－2），在第三象限.
A. 0 B. －1 C. 1 D. 1或－1
【解析】z＝z1－z2＝1＋ai－（a2＋i）＝1－a2＋（a－1）i，因為z是純虛數(shù)， 則1－a2＝0且a－1≠0，故a＝－1.
C
B
A. 2i B. －2i
C. 2i或－2i D. 0
C
二、填空題
11. 若復數(shù)z＋2－i＝3i，則z＝ .
【解析】由z＋2－i＝3i，得z＝3i－2＋i＝－2＋4i.
13. 若復數(shù)z1＝2＋4i，z2＝x＋i，若z1z2是實數(shù)，則實數(shù)x＝ .
－2＋4i
6－4i
14. i＋i2＋i3＋i4＋…＋i10＝ .
【解析】i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，i9＝i，i10＝－ 1，故i＋i2＋i3＋i4＋…＋i10＝－1＋i.
－1＋i
三、解答題
15. 已知復數(shù)z1＝3－i，z2＝－1＋2i，求：
（1）z1＋z2；
解：（1）z1＋z2＝3－i＋（－1＋2i）＝2＋i.
（2）z1－z2；
解：（2）z1－z2＝3－i－（－1＋2i）＝4－3i.
（3）z1z2.
解：（3）z1z2＝（3－i）（－1＋2i）＝－3＋6i＋i－2i2＝－1＋7i.
16. 若i是虛數(shù)單位，x是純虛數(shù)，y是實數(shù)，且2x－1－i＝y(tǒng)＋（3－y）i，求y －x.

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