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　不等式
專題一 不等式的基本性質
2.1　不等式的基本性質
重點 難點 易錯點
掌握比較兩個實數（或代數 式）大小的方法，掌握不等式 的性質，掌握｜ax＋b｜＜c （c＞0）與｜ax＋b｜＞c （c＞0）型不等式的解法， 掌握一元二次不等式與一元二 次方程、二次函數三者之間的 關系. 比較實數（或代數 式）大小，解一元二 次不等式，解含絕對 值的不等式，不等式 的實際應用. 不等式的性質，一元二 次不等式的解集，含絕 對值的不等式的解集在 數軸上的表示.
知識點1　不等式的定義
　用不等號（＞、＜、≥、≤、≠）連接的式子叫作不等式.
知識點2　作差比較法
　一般地，對于任意實數a，b，如果a－b為正數，即a－b＞0，那么稱a大 于b（或b小于a）.
關于實數a，b的大小關系，可以通過以下運算來表示：
a＞b a－b＞0，a＝b a－b＝0，a＜b a－b＜0.
知識點3　不等式的性質
1. 性質1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
性質1表明，不等式兩邊同時加上（或減去）同一個數（或代數式），不等號的 方向不變.因此性質1也稱為不等式的加法法則.
推論：如果a＋b＞c，那么a＞c－b.
移項法則：不等式的任何一項可以從不等式的一邊移到另一邊，但同時要改 變符號.
2. 性質2：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性質2表明，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不 等式兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.性質2也稱為不等式 的乘法法則.
例1　（2024年安徽省職教高考真題）設a，b，c∈R，且a＞b，則下列結論正 確的是（　　）.
A. ac2＜bc2 B. a＋c＜b＋c
C. a－c＞b－c D. ac＞bc
【考查目標】 本題考查不等式的性質.
【解析】 對于選項A，若c＝0，則ac2＝bc2，A項錯誤；對于選項B，由a＞b可 得a＋c＞b＋c，B項錯誤；對于選項C，由a＞b可得a－c＞b－c，C項正 確；對于選項D，若c≤0，則ac≤bc，D項錯誤.
【答案】 C
【解題技巧】 此類問題應靈活運用題目已知條件、不等式的性質和賦值法.利用 賦值法時，應特別注意題目中字母的正負及大小關系.
A. 若a＞b，c∈R，則a＋c＞b＋c
B. 若a＞b，c∈R，則ac＞bc
C. 若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d
D. 若a＞b，c＞d，則ac＞bd
【解析】選項B中，當c＝0時，ac＝bc；選項C中，令a＝2，b＝1，c＝4，d ＝－5，滿足a＞b，c＞d，但a－c＜b－d；選項D中，令a＝2，b＝－2，c ＝1，d＝－4，滿足a＞b，c＞d，但ac＜bd.
A
A. a＋b＞ab
D. a2＋b2＞ab
D
A. a2＞a＞－a2＞－a B. －a＞a2＞－a2＞a
C. －a＞a2＞a＞－a2 D. a2＞－a＞a＞－a2
【解析】∵a∈R，a2＋a＜0，∴a2＜－a ，－a2＞a，∴a是負數.∵a2和－a 是正數，－a2和a是負數，正數大于負數，∴－a＞a2＞－a2＞a.
B
【答案】 （0，5）
變式訓練2
若－1≤a＜2，－3＜b＜3，求a＋｜b｜的取值范圍.
解：∵－3＜b＜3，∴0≤｜b｜＜3.
又∵－1≤a＜2，∴－1≤a＋｜b｜＜5，
即a＋｜b｜的取值范圍是[－1，5）.
【答案】 ＞
【解題技巧】 比較兩個實數（或代數式）的大小一般采用作差比較法，作差比較 法的一般步驟：①作差；②變形[配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化 等]；③判斷符號；④得出結論.
A. a＞b B. a＜b
C. a＞2b D. a＜2b
【解析】因為a－b＝（x2＋1）－（2x－1）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1＞ 0，所以a＞b.因為a－2b＝x2＋1－2（2x－1）＝x2－4x＋3＝（x＋2）2－ 1，所以無法判斷a－2b與0的大小關系，故無法確定a與2b的大小關系.
A
（2）已知a，b均為正實數，試用作差比較法比較下列代數式的大小.
①2a2－6a＋1和a2－4a－1；
解：①因為2a2－6a＋1－（a2－4a－1）＝2a2－6a＋1－a2＋4a＋1＝a2－2a ＋2＝（a－1）2＋1＞0，
所以2a2－6a＋1＞a2－4a－1.
②a2＋4a＋4和a（a＋4）；
解：②因為a2＋4a＋4－a（a＋4）＝a2＋4a＋4－a2－4a＝4＞0，
所以a2＋4a＋4＞a（a＋4）.
③a3＋b3和a2b＋ab2.
解：③a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2）＝a2（a－b）＋b2 （b－a）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2·（a＋b）.
當a＝b時，（a－b）2＝0，a＋b＞0，
即a3＋b3＝a2b＋ab2；
當a≠b時，（a－b）2＞0，a＋b＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2.
綜上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
A. a2＞b2 B. ac＞bc
D. a＋c＞b－c
C
A. a＞ab＞ab2 B. ab＞a＞ab2
C. ab2＞ab＞a D. ab＞ab2＞a
【解析】∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0.又∵－1＜b＜0，∴0＜b2＜ 1.由b2＜1兩邊同乘以a，得ab2＞a，∴ab＞0＞ab2＞a.
D
C. a－c＜b D. a－b＜c
A
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】根據同向不等式的可加性可知，a＞b且c＞d a＋c＞b＋d，而a ＋c＞b＋d /a＞b且c＞d，所以“a＞b且c＞d”是“a＋c＞b＋d”的充 分不必要條件.
A
B. ｜a｜＞｜b｜
D. a｜c｜＞b｜c｜
C
A. a＋b＞c B. ab＞c2
C
A. 3x＞2y B. x＋3＞y＋2
B
A. M＜N B. M≤N C. M＞N D. M≥N
【解析】M－N＝（a2＋b）－（b2－a）＝（a2－b2）＋（a＋b）＝（a－ b）（a＋b）＋（a＋b）＝（a＋b）（a－b＋1）.因為a＞b＞0，所以a ＋b＞0，a－b＞0，所以a－b＋1＞1，則M－N＞0，即M＞N.
C
A. a＋b＜0 B. a－b＜0
C. a2＜ab D. b2＜ab
【解析】∵a＜b＜0，則a＋b＜0，A項正確；∵a＜b，∴a－b＜0，B項正 確；由a＜b＜0，得a2＞ab，b2＜ab，C項錯誤，D項正確.
A. x＞y B. x＜y＜0
C. x＜0，y＜0 D. x＞0，y＞0
【解析】由x－y＞x，得y＜0，由y＞x＋y，得x＜0.
C
C
【解析】由x＞y，（a－1）x＜（a－1）y，可知a－1＜0，解得a＜1，則實 數a的取值范圍是（－∞，1）.
＞
＞
（－ ∞，
1）
14. 已知代數式M＝2x2－1，N＝－x2＋4x－3，則代數M與N的大小關系 為 .
15. 不等式5x＋3≤－2x＋10的解集是 .
【解析】由5x＋3≤－2x＋10，得7x≤7，解得x≤1，故不等式的解集為
（－∞，1].
M＞N
（－∞，1]
（－∞，1）
三、解答題
17. 已知a∈R，M＝2a2＋3a，N＝a2＋a－1，試比較M和N的大小關系.
解：∵M－N＝2a2＋3a－（a2＋a－1）＝a2＋2a＋1＝（a＋1）2≥0，
∴M≥N.
19. 已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范圍.
21. 設M＝（x＋2）（x＋3），N＝（x＋1）（x＋4）－a＋2.
（1）當a＝2時，比較M，N的大小關系；
解：（1）當a＝2時，N＝（x＋1）（x＋4）.
M－N＝（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4）＝6－4＝2＞0，即M＞N.
（2）當a∈R時，討論M，N的大小關系.
解：（2）∵當a∈R時，M－N＝（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4）＋ a－2＝a.
∴當a＞0時，M＞N；當a＝0時，M＝N；當a＜0時，M＜N.

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