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　不等式
專題二　不等式的運(yùn)算
2.3　含絕對(duì)值的不等式
知識(shí)點(diǎn)1　含絕對(duì)值的不等式的類型
1. ｜x｜＜a，｜x｜＞a，｜x｜≤a，｜x｜≥a（a＞0）型不等式
（1）不等式｜x｜＜a的解集是{x｜－a＜x＜a}.
（2）不等式｜x｜＞a的解集是{x｜x＜－a或x＞a}.
（3）不等式｜x｜≤a的解集是{x｜－a≤x≤a}.
（4）不等式｜x｜≥a的解集是{x｜x≤－a或x≥a}.
2. ｜ax＋b｜＜c，｜ax＋b｜＞c，｜ax＋b｜≤c，｜ax＋b｜≥c （a≠0，c＞0）型不等式
（1）不等式｜ax＋b｜＜c的解集為{x｜－c＜ax＋b＜c}.
（2）不等式｜ax＋b｜＞c的解集為{x｜ax＋b＜－c或ax＋b＞c}.
（3）不等式｜ax＋b｜≤c的解集為{x｜－c≤ax＋b≤c}.
（4）不等式｜ax＋b｜≥c的解集為{x｜ax＋b≤－c或ax＋b≥c}.
例1　（2022年安徽省職教高考真題）不等式｜x＋1｜≥2的解集是（　###　）.
A. {x｜x≤－3或x≥1} B. {x｜－3≤x≤1}
C. {x｜x≤－1或x≥3} D. {x｜－1≤x≤3}
【考查目標(biāo)】 本題考查含絕對(duì)值的不等式的解法.
【解析】 由題意知x＋1≥2或x＋1≤－2，解得x≥1或x≤－3，
所以原不等式的解集為{x｜x≤－3或x≥1}.
【答案】 A
A. {x｜x＜2} B. {x｜－2＜x＜2}
C. {x｜x＞2} D. {x｜x＜－2或x＞2}
【解析】∵｜x｜＜2，∴－2＜x＜2.
A. {x｜x＜－2} B. {x｜x＞4}
C. {x｜－2＜x＜4} D. {x｜x＜－2或x＞4}
【解析】由｜x－1｜＜3，得－3＜x－1＜3，解得－2＜x＜4，故該不等式的解 集為{x｜－2＜x＜4}.
B
C
例2　（2023屆安徽省“江淮十校”職教高考第二次聯(lián)考）已知不等式｜2x－ a｜≤3的解集為[－1，2]，則實(shí)數(shù)a的值是（　　）.
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
【考查目標(biāo)】 本題考查利用含絕對(duì)值的不等式的解集求參數(shù).
【答案】 B
【解題技巧】 1.解含有絕對(duì)值的不等式時(shí)，若絕對(duì)值內(nèi)未知量前面的系數(shù)為負(fù)， 首先要將系數(shù)轉(zhuǎn)化為正，然后記住口訣“大于取兩邊，小于取中間”.
2. 絕對(duì)值內(nèi)x前面的系數(shù)“a”轉(zhuǎn)化為正時(shí)，不等式的符號(hào)不改變.
A. （－∞，2） B. （－∞，2]
C. （2，＋∞） D. [2，＋∞）
【解析】由2x－｜2－x｜＜2＋x，得｜x－2｜＞x－2，則x－2＜0，解得x ＜2，所以不等式的解集為（－∞，2）.
A
例3　不等式組1＜｜x｜＜3的解集為 　　　　.（用區(qū)間表示）
【考查目標(biāo)】 本題考查含絕對(duì)值的不等式的解法.
【答案】 （－3，－1）∪（1，3）
變式訓(xùn)練3
求不等式組2＜｜x－1｜＜3的解集.
解：不等式組2＜｜x－1｜＜3可化為2＜x－1＜3或2＜1－x＜3，
解得3＜x＜4或－2＜x＜－1，
故不等式組2＜｜x－1｜＜3的解集為（－2，－1）∪（3，4）.
A. 2 B. －2
C. 3 D. －3
C
C
A. {x｜－1≤x≤1} B. {x｜x≤－1或x≥1}
C. {x｜x≥1或x＝－1} D. {x｜x≤－1或x＝1}
【解析】由絕對(duì)值的性質(zhì)，得｜1－x｜≥0，所以｜1－x｜（x＋1）≤0 x＋ 1≤0或x＝1，解得x≤－1或x＝1，故不等式的解集為{x｜x≤－1或x＝1}.
D
A. R B. （－1，1）
C. D. （－∞，1）∪（1，＋∞）
D
A. （－2，0）
B. （0，2）
C. （－∞，0）∪（2，＋∞）
D. （－∞，－2）∪（0，＋∞）
B
A. －1≤x≤6 B. －2≤x≤5
C. －1＜x≤5 D. 0≤x≤6
【解析】由｜x－2｜≤3，得－3≤x－2≤3，解得－1≤x≤5.結(jié)合選項(xiàng)可知， p成立的一個(gè)充分不必要條件是－1＜x≤5.
C
A. [－5，－2]∪[2，5] B. [－5，5]
C. [－2，2] D. R
A
A. a＝－3，b＝6 B. a＝3，b＝－6
C. a＝3，b＝6 D. a＝－3，b＝－6
C
A. ab≥0 B. ab＞0
C. ab≤0 D. ab＜0
【解析】因?yàn)椋黙－b｜≥｜a＋b｜≥0，原不等式兩邊同時(shí)平方，得a2－2ab ＋b2≥a2＋2ab＋b2，即4ab≤0，得ab≤0.
C
二、填空題
10. 不等式1－2｜x｜＞－5的解集為 .
【解析】1－2｜x｜＞－5 2｜x｜＜6 ｜x｜＜3 －3＜x＜3，故不等式的解 集為{x｜－3＜x＜3}.
11. 不等式｜8－3x｜＞0的解集是 .
{x｜－3＜x＜3}
13. 不等式｜x－2｜（x＋2）2≤0的解集為 .

{x｜x＝2或x＝－2}
三、解答題
14. 解下列不等式（組）.
（1）2｜x－2｜－3＜0；
（2）3＜｜2x－2｜＜4.
15. 若含絕對(duì)值的不等式｜－x＋a｜≥b與一元二次不等式x2－x－20≥0有相 同的解集，求實(shí)數(shù)a，b的值.
解：由一元二次不等式x2－x－20≥0，得（x＋4）·（x－5）≥0，解得x≤－4 或x≥5，
即一元二次不等式x2－x－20≥0的解集為（－∞，－4]∪[5，＋∞）.
因?yàn)楹^對(duì)值的不等式｜－x＋a｜≥b與一元二次不等式x2－x－20≥0有相同 的解集，
所以｜－x＋a｜≥b的解集為（－∞，－4]∪[5，＋∞）.
因?yàn)椋瓁＋a｜≥b，即｜x－a｜≥b，
所以b＞0，且x－a≥b或x－a≤－b，即x≥b＋a或x≤－b＋a，
16. 已知關(guān)于x的不等式｜ax－3｜≤x的解集為[1，b]，其中a＞1.求實(shí)數(shù)a， b的值.
17. 已知實(shí)數(shù)m，n，且m＋n＝3，若不等式｜2x－a｜≤5的解集為[m，n]， 求m2－n2的值.

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