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　不等式
專題二　不等式的運算
2.2　一元二次不等式
知識點1　一元二次不等式
1. 概念：含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次 不等式.
2. 一般形式：ax2＋bx＋c＞0（a≠0），其中“＞”也可以換成 “＜”“≥”“≤”或“≠”.
知識點2　一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的聯系
對于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0），設 相應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的兩個實數解為x1，x2且x1≤x2， 則不等式的解集的各種情況如下表：
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函數y＝ax2 ＋bx＋c（a＞ 0）的圖像
一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0（a ＞0）的解 兩個不相等的實數解 x1，x2（x1＜x2） 無實數解
ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集 {x｜x＜x1或x＞x2} R
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2}
ax2＋bx＋c≥0 （a＞0）的解集 {x｜x≤x1或x≥x2} R R
ax2＋bx＋c≤0 （a＞0）的解集 {x｜x1≤x≤x2}
例1　（2023年安徽省職教高考真題）不等式x（3x－1）≤0的解集為（　　）.
A. {x｜x≤0}
【考查目標】 本題考查一元二次不等式的解法.
【答案】 C
【解題技巧】 解一元二次不等式的步驟：
（1）將二次項系數化為正：ax2＋bx＋c＞0（或ax2＋bx＋c＜0）（a＞0）；
（2）計算判別式Δ＝b2－4ac，分析不等式的解集的情況：
①當Δ＝b2－4ac＞0時，x1，x2（x1＜x2）是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個不相等 的實數解.
a.若ax2＋bx＋c＞0，則解集為{x｜x＜x1或x＞x2}；
b.若ax2＋bx＋c＜0，則解集為{x｜x1＜x＜x2}.
變式訓練1
A. {x|x＜0或x＞5} B. {x|0＜x＜5}
C. {x|x＜－5或x＞0} D. {x|－5＜x＜0}
【解析】由x2－5x＜0，得x(x－5)＜0,解得0＜x＜5，所以原不等式的解集為{x|0＜x＜5}.
B
（2）解下列不等式.
①（2－2x）（1＋x）＞0；
解：①因為（2－2x）（1＋x）＞0 （x－1）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜1.
所以不等式（2－2x）（1＋x）＞0的解集為（－1，1）.
②（2＋4x）（－x）≤0；
解：②因為（2＋4x）（－x）≤0 x（2x＋1）≥0，
③（1－3x）（1＋x2）＜0.
【答案】 （－∞，－7]∪[1，＋∞）
【解題技巧】 二次根式中，被開方數是一個非負數.
A. [－3，＋∞） B. （－3，0）∪（0，＋∞）
C. [－3，0）∪（0，＋∞） D. （－∞，－3]
【解析】由題意，得k≠0且Δ＝62－4k×（－3）≥0，解得k≥－3且k≠0.故 實數k的取值范圍是[－3，0）∪（0，＋∞）.
C
例3　當x∈R時，不等式ax2＋ax＋1＞0恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）.
A. （0，＋∞） B. [0，＋∞）
C. [0，4） D. （0，4）
【考查目標】 本題考查不等式恒成立問題及一元二次不等式的概念.
【答案】 C
【解題技巧】 不等式的恒成立問題：根據a是否等于0進行分類討論，當a≠0 時，結合二次函數的圖像即可得出答案.一元二次不等式，恒大于0就是相應的二 次函數的圖像在給定的區間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應的二次函數的圖 像在給定的區間上全部在x軸下方.
A. [－2，2] B. （－2，2）
C. （－∞，－2]∪[2，＋∞） D. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
【解析】∵不等式x2＋ax＋1＜0的解集為非空集合，且二次函數y＝x2＋ax＋1 的圖像開口向上，∴函數y＝x2＋ax＋1的圖像與x軸有兩個不重合的交點，故Δ ＝a2－4×1×1＞0，解得a＞2或a＜－2，∴實數a的取值范圍是（－∞，－2） ∪（2，＋∞）.
D
例4　若“x≥2”是“不等式（x＋3）（x－a2－1）≥0”的充分不必要條件， 求實數a的取值范圍.
【考查目標】 本題考查條件判斷及一元二次不等式的解法.
【解析】 不等式（x＋3）（x－a2－1）≥0的解集為{x｜x≤－3或x≥a2＋1}. 由題意，得{x｜x≥2} {x｜x≤－3或x≥a2＋1}，所以a2＋1≤2，解得－ 1≤a≤1，即實數a的取值范圍是[－1，1].
【解題技巧】 （1）當a＞0時，不等式ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c≥0的解集 的口訣：大于取兩邊；不等式ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≤0的解集的口訣： 小于取中間.
（2）在結合條件判斷時，需要考慮集合之間的關系.
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
A
例5　一元二次不等式x2－ax＋b＜0的解集為{x｜－2＜x＜5}，則不等式ax2－ x＋b＜0的解集為（　　）.
C. {x｜－5＜x＜2}
【考查目標】 本題考查利用一元二次不等式的解集求參數以及一元二次不等式的 解法.
【答案】 B
【解題技巧】 根據一元二次不等式x2－ax＋b＜0的解集求出a，b的值，代入 不等式ax2－x＋b＜0中再求解即可.
B
C. （0，1） D. （－∞，0）
A
A. （4，6）
B. （－6，－4）
C. （－∞，4）∪（6，＋∞）
D. （－∞，－6）∪（－4，＋∞）
【解析】－x2＋10x＞24可化為x2－10x＋24＜0，即（x－4）（x－6）＜0， 解得4＜x＜6，所以不等式－x2＋10x＞24的解集為（4，6）.
A
A. {x｜x＞3} B. {x｜x＜－1}
C. {x｜－1＜x＜3} D. {x｜x＜－1或x＞3}
【解析】因為x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0，所以不等式（x2－2x＋3）（x＋ 1）＜0 x＋1＜0，解得x＜－1，故不等式的解集為{x｜x＜－1}.
B
A. （－1，6） B. （－∞，－1）∪（6，＋∞）
C. （－∞，－1]∪[6，＋∞） D. [－1，6]
D
【解析】結合二次函數的圖像可知，當a＜0，Δ＝b2－4ac＜0時，不等式ax2＋ bx＋c≥0的解集為 .
D
二、填空題
6. 下列不等式中，是一元二次不等式的是 .（填序號）
①ax2＋bx＋c≤0；②－x2－2x＋7≠0；
③3x＋y≥7；④（x＋4）（2－x）≤0.
【解析】一元二次不等式是指只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的 不等式；不等號包含“＜”“＞”“≤”“≥”和“≠”.①ax2＋bx＋c≤0含 有4個未知數，不滿足條件；③3x＋y≥7含有2個未知數，不滿足條件；故滿足 條件有②④.
②④
【解析】因為x2－ax＋4＞0的解集為R，所以對應方程x2－ax＋4＝0無實數 解，即Δ＝a2－16＜0，解得－4＜a＜4，故實數a的取值范圍是（－4，4）.
8. 已知不等式x2－ax＋b＜0的解集是（－3，2），則a＋b的值為 .
（－4，
4）
－7
三、解答題
9. 解下列不等式.
（1）－x2＋5x－6＞0；
解：（1）不等式－x2＋5x－6＞0可化為x2－5x＋6＜0，
因式分解，得（x－3）（x－2）＜0，解得2＜x＜3.
故不等式－x2＋5x－6＞0的解集為{x｜2＜x＜3}.
（2）－2x2＋x≤0.
10. 若關于x的不等式x2＋ax＋2＜0的解集為（1，2），求不等式2x2＋ax＋ 1≥0的解集.
因為不等式x2＋ax＋2＜0的解集為（1，2），
所以方程x2＋ax＋2＝0的兩個實數解為x1＝1，x2＝2.
由韋達定理可知，x1＋x2＝1＋2＝－a，
11. 若關于x的不等式ax2－2x＋b＞0的解集為（－3，1）.求：
（1）a，b的值；
（2）不等式bx2＋ax－2≤0的解集.
12. 在實數R中存在關系式a*b＝（1－a）b，若不等式（x＋m）*（x－m）＜ 1對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍.

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