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　復(fù)數(shù)
專題三　復(fù)數(shù)的應(yīng)用
10.3　實系數(shù)一元二次方程的解法
例1　在復(fù)數(shù)集C中，求解方程x2＋4＝0.
【考查目標(biāo)】 本題考查在復(fù)數(shù)集中求實系數(shù)一元二次方程的根.
【解析】 x2＝－4，則x2＝4i2，即x＝±2i.
【解題技巧】 實系數(shù)一元二次方程Δ＜0時的兩根是共軛復(fù)數(shù)，注意i2＝－1.
變式訓(xùn)練1
在復(fù)數(shù)集中求解方程x2＋2x＋4＝0.
例2　已知實系數(shù)一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一個根是2＋3i，求它的另一個根 和b，c的值.
【考查目標(biāo)】 本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
【解題技巧】 Δ＜0時，實系數(shù)一元二次方程的兩個根是虛數(shù)且互為共軛復(fù)數(shù)， 韋達(dá)定理在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.
變式訓(xùn)練2
已知實系數(shù)一元二次方程x2－mx＋n＝0的一個根是3－4i，求它的另一個根和 m，n的值.
解：由該方程的一個根為虛數(shù)可得Δ＜0，
當(dāng)Δ＜0時，實系數(shù)一元二次方程的兩個根是虛數(shù)且互為共軛復(fù)數(shù)，則它的另一 個根是3＋4i.
由韋達(dá)定理，得（3＋4i）＋（3－4i）＝m，（3＋4i）（3－4i）＝n，即m＝ 6，n＝25.
例3　在復(fù)數(shù)集中解方程x4－9＝0.
【考查目標(biāo)】 本題考查復(fù)數(shù)集中解高次方程.
【解題技巧】 在復(fù)數(shù)集中解方程，注意虛根的存在.
變式訓(xùn)練3
在復(fù)數(shù)集中解方程x3＋4x＝0.
解：由x3＋4x＝0得x（x2＋4）＝0，
即x1＝0或x2＋4＝0.
當(dāng)x2＋4＝0時，x2＝2i，x3＝－2i，
故原方程的根為x1＝0，x2＝2i，x3＝－2i.
A. 實系數(shù)一元二次方程在Δ＜0時無解
B. 對于實系數(shù)一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系在Δ＜0時不成立
C. 實系數(shù)一元二次方程的一個根為1－i，則另一個根為－1－i
D. 實系數(shù)一元二次方程可能只有虛根
【解析】實系數(shù)一元二次方程在Δ＜0時有虛根；對于實系數(shù)一元二次方程，根 與系數(shù)的關(guān)系在Δ＜0時仍成立；實系數(shù)一元二次方程的一個根為1－i，則另一個 根為1＋i；實系數(shù)一元二次方程當(dāng)Δ＜0時只有虛根.
D
A. Δ＝b2－4ac＞0 B. x1≠x2
C. x1＋x2一定是實數(shù) D. x1與x2一定是共軛復(fù)數(shù)
【解析】當(dāng)Δ＝b2－4ac≥0時，方程有實數(shù)解，兩根之和為實數(shù)；當(dāng)Δ＝b2 －4ac＜0時，方程有虛數(shù)解且互為共軛復(fù)數(shù)，兩根之和為實數(shù)，故C選項一 定正確.
C
A. （－4，0） B. （－∞，－4）∪（0，＋∞）
C. （0，4） D. （－∞，0）∪（4，＋∞）
【解析】由題意可知Δ＝b2－4ac＜0，即m2－4m＜0，則m（m－4）＜0，故0 ＜m＜4.
A. －2＋3i B. 2＋3i
C. －3＋2i D. －3－2i
【解析】實系數(shù)一元二次方程如果有虛根，則兩個虛數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，故另一個 根是2＋3i.
C
B
A. 0 B. 9 C. －9 D. 3
【解析】由題意可知x2＝－3i，所以x1x2＝3i×（－3i）＝9.
A. －8，25 B. －8，－25
C. 8，25 D. 8，－25
【解析】由題意可知另一個根是x2＝4＋3i，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝－a＝8，即 a＝－8，x1x2＝b＝25，即b＝25.
B
A
A. 16 B. 1 C. －1 D. －16
A. 有兩個相等的實根 B. 有兩個不相等的實根
C. 有兩個虛根 D. 只有一個實根
【解析】由題意可知Δ＝b2－4ac＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根.
C
A
A. 2 B. 4
A. 0 B. －i C. i D. 1
【解析】由x3＋x＝0得x（x2＋1）＝0，由x＝0得x1＝0，由x2＋1＝0得x2＝ i，x3＝－i，故方程的解不可能是1.
D
D
二、填空題
11. 在復(fù)數(shù)集中方程3x2＋27＝0的根是 .
【解析】3x2＋27＝3（x2＋9）＝0，由x2＋9＝0，得x＝±3i.
12. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的一個根是1＋i，則m＝ .
【解析】由題意可知另一個根是1－i，由韋達(dá)定理，得m＝（1－i）（1＋ i）＝2.
13. 在復(fù)數(shù)集中，方程x2＋3x＋3＝0的解是 .
±3i
2
14. 若實系數(shù)一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一個根為1＋2i，則這個一元二次方 程是 .
【解析】由題意可知另一個根是1－2i，由韋達(dá)定理，得－a＝（1－2i）＋（1＋ 2i）＝2，即a＝－2，b＝（1－2i）（1＋2i）＝5，故這個一元二次方程是x2－ 2x＋5＝0.
x2－2x＋5＝0
三、解答題
15. 在復(fù)數(shù)集中解下列方程：
（1）3x2＋2x＋1＝0；
（2）2x2＋4x＋5＝0.
16. 實系數(shù)一元二次方程x2－2x＋a＝0的兩個根x1，x2都是虛數(shù)，求：
（1）實數(shù)a的取值范圍；
解：（1）由題意可知Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4×a×1＜0，即a＞1，故實數(shù) a的取值范圍是（1，＋∞）.
（2）｜x1｜＋｜x2｜的值.
17. 在復(fù)數(shù)集中，關(guān)于x的實系數(shù)方程x2－4x＋m＝0（m∈R）的兩個不相等的 根分別是x1，x2，若｜x1－x2｜＝2，求m的值.
解：由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝4，x1x2＝m，

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