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　函數
專題一　函數的概念及性質
3.2　函數的單調性
知識點　　函數的單調性
1. 函數值隨著自變量的增大而增大（或減?。┑男再|叫作函數的單調性.
2. 設函數y＝f（x）的定義域為D，區間I D.
（1）如果對于區間I上的任意兩點x1和x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f （x2），那么稱函數y＝f（x）在區間I上是增函數，區間I稱為函數y＝f （x）的增區間，如圖1.
（2）如果對于區間I上的任意兩點x1和x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f （x2），那么稱函數y＝f（x）在區間I上是減函數，區間I稱為函數y＝f （x）的減區間，如圖2.
3. 增函數的圖像自左向右呈上升趨勢，減函數的圖像自左向右呈下降趨勢.
4. 如果函數y＝f（x）在區間I上是增函數或減函數，那么稱函數y＝f（x）在 區間I上具有單調性，區間I稱為單調區間.增區間也稱為單調增區間，減區間也 稱為單調減區間.
例1　下列函數中，在（－∞，0）內為減函數的是（　?。?
A. y＝3－2x B. y＝3x＋2
C. y＝2－3x2
【考查目標】 本題考查函數的單調減區間.
【答案】 A
【解題技巧】 可以通過單調性的定義判斷出各函數在給定區間上的單調性，同時 也可以通過常見的一次函數、二次函數、反比例函數的圖像來判斷它們在給定區 間上的單調性.
A. y＝－x＋3 B. y＝x＋1
C. y＝－x3 D. y＝x2－3
B
例2　已知函數f（x）＝x2＋2（m＋2）x＋3在區間[3，＋∞）上單調遞增，則 實數m的取值范圍為（　?。?
A. [－2，＋∞） B. [－5，＋∞）
C. （－∞ ，－2] D. （－∞ ，－5]
【考查目標】 本題考查利用函數的單調性求參數.
【解析】 由題可知函數f（x）的圖像的開口向上，對稱軸方程為x＝－（m＋ 2），則f（x）在[－（m＋2），＋∞）上單調遞增，所以－（m＋2）≤3，解 得m≥－5.
【答案】 B
【解題技巧】 此類問題要注意兩個點：一是函數本身的定義域，二是函數 的單調性.
A
A. （－∞，－3） B. （－∞，5）
C. （3，＋∞） D. （5，＋∞）
D
A. f（x）＝｜x｜ B. f（x）＝－2x＋1
A. [1，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. （－∞，1] D. （－∞，－1]
D
D
A. （0，2）
B. （－2，0）
C. （－∞，－2）∪（0，＋∞）
D. （－∞，0）∪（2，＋∞）
【解析】因為函數y＝f（x）是定義在R上的增函數，則f（｜k－1｜）＜f （20） ｜k－1｜＜20＝1，則0＜k＜2.
A
A. [0，＋∞） B. [－1，＋∞）
C. [1，＋∞） D. （－∞，0]
【解析】因為二次函數在定義域內有最大值，所以a＜0.又因為二次函數圖像的 對稱軸方程為x＝－1，故其減區間是[－1，＋∞）.
A. f（－3）＜f（0）＜f（3） B. f（0）＜f（－3）＜f（3）
C. f（3）＜f（0）＜f（－3） D. f（3）＜f（－3）＜f（0）
B
C
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
C
【解析】因為函數f（x）＝－x2－2x＋3的定義域為[－3，1]，其圖像的開口向 下，且對稱軸方程為x＝－1，所以函數f（x）＝－x2－2x＋3在[－3，－1]上 單調遞增，在[－1，1]上單調遞減，故函數f（x）在區間[－3，1]上的增區間是 [－3，－1].
減
（－∞，
－2）
[－3，－1]
三、解答題
10. 求證：函數f（x）＝2x＋3在（－∞，0）上是增函數.
解：任取x1，x2∈（－∞，0）且x1＜x2，
則f（x1）－f（x2）＝2（x1－x2），
因為x1－x2＜0，所以f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以函數f（x）＝2x＋3在（－∞，0）上是增函數.
11. 已知函數f（x）在R上是單調增函數，且f（6＋a）＞f（a2＋4），求實數 a的取值范圍.
解：∵f（x）在R上是單調增函數，且f（6＋a）＞f（a2＋4），
∴6＋a＞a2＋4，
∴a2－a－2＜0，
∴－1＜a＜2，即a∈（－1，2）.
12. 已知函數f（x）＝x2－2x－3在（a＋1，2－a）上單調遞增，求實數a的取 值范圍.
13. 已知函數f（x）＝ax2＋2ax＋b在[1，3]上的最大值為6，最小值為2，求實 數a，b的值.

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