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　函數(shù)
專題一　函數(shù)的概念及性質(zhì)
3.1　函數(shù)的概念及表示方法
重點
了解函數(shù)的概念及表示方法，理解函數(shù)的兩個要素：定義域和對應法則，會求函數(shù)的定義域、值域和函數(shù)的解析式，會根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，了解奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)特征，會利用奇偶性和單調(diào)性解決一些綜合性的問題，理解實數(shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運算，理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及其應用，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及其應用.
難點 易錯點
函數(shù)定義域、值域的求法，函數(shù)的表示方法，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，分段函數(shù)的定義域、值域及圖像，判斷兩個函數(shù)是否屬于同一函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)解析式或求函數(shù)值，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小. 函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖像.
知識點1　函數(shù)的概念
1. 一般地，設D是非空實數(shù)集，對于D中的每一個x，按照某個確定的對應法則 f，都有唯一確定的實數(shù)y與它對應，則稱y為x的函數(shù)，記作y＝f（x）， x∈D. 其中，x稱為函數(shù)的自變量，集合D稱為函數(shù)的定義域.
2. 當x0∈D時，與x0相對應的值y0稱為函數(shù)在點x0處的函數(shù)值，記y0＝f（x0）. 函數(shù)值的集合{y｜y＝f（x），x∈D}稱為函數(shù)的值域.
3. 函數(shù)的兩個要素：定義域、對應法則.
4. 同一個函數(shù)：若兩個函數(shù)有相同的對應法則，且定義域相同，則這兩個函數(shù)就 是同一個函數(shù).
知識點2　函數(shù)的表示方法
1. 用解析式來表示函數(shù)的方法叫作解析法.
2. 用表格來表示兩個變量的函數(shù)的方法叫作列表法.
3. 用圖像來表示函數(shù)的方法叫作圖像法.
知識點3　分段函數(shù)
1. 分段函數(shù)：當自變量在不同范圍內(nèi)取值時，需要用不同的解析式來表示，我們 稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).
2. 分段函數(shù)的定義域、值域：分段函數(shù)的定義域是自變量的各段不同取值范圍集 合的并集，值域是自變量在各段不同取值范圍的函數(shù)值集合的并集.
注：分段函數(shù)在整個定義域上仍然是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).
3. 分段函數(shù)的圖像：作分段函數(shù)的圖像時，分別在各段不同取值范圍內(nèi)，根據(jù)相 應解析式，作出相應部分的圖像.
例1　下列表示同一個函數(shù)的是（　　）.
B. f（x）＝lg x3，g（x）＝（lg x）3
D. f（x）＝1，g（x）＝x0
【考查目標】 本題考查同一個函數(shù)的概念.
【答案】 C
【解題技巧】 判斷兩個函數(shù)是否屬于同一個函數(shù)，主要看函數(shù)的定義域和對應法 則是否相同，只有定義域與對應法則均相同的函數(shù)才是同一個函數(shù).
A. y＝x2與s＝t2
B. f（x）＝2 021與g（x）＝2 022
A
A. {x｜x≠0} B. {x｜x≠－4}
C. {x｜x≠4} D. {x｜x≠±4}
【考查目標】 本題考查函數(shù)的定義域.
【解析】 由分母不能為0，得｜x｜－4≠0，故x≠±4，所以函數(shù)的定義域為 {x｜x≠±4}.
【答案】 D
【解題技巧】 （1）偶次方根的被開方數(shù)為非負數(shù)；（2）分式的分母不能為零； （3）零次冪的底數(shù)不能為零；（4）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零.
C
A. {x｜x≠1且x≠－1} B. {x｜－1＜x＜1}
C. {x｜x≠1} D. {x｜x≠－1}
C
【解析】要使函數(shù)有意義，必須使x－1≠0，則x≠1.所以函數(shù)f（x）的定義域 為{x｜x≠1}.

A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （－∞，0] D. [0，＋∞）

B
A. 23 B. 9 C. 3 D. 1
【考查目標】 本題考查分段函數(shù)的運算.
【解析】 f（4）＝42＝16，f（0）＝0＋a＝a.若f（4）－f（0）＝7，則有16 －a＝7，解得a＝9.
【答案】 B
A. {x｜x＜－1} B. {x｜x＞1或x＜－2}
C. {x｜x＜－2} D. {x｜x＞2或x＜－1}
B
例4　某市出租車計費方法如下：
路程不超過3 km時，計費8元；
超過3千米但不超過5千米時，超過的部分按3元/km計費；
超過5千米時，超過的部分按2.5元/km計費.
某人乘出租車行駛x km，求計費y（單位：元）與路程x（單位：km）之間的函 數(shù)關系式.
【考查目標】 本題考查如何建立函數(shù)關系式.
【解題技巧】 求解分段函數(shù)的表達式關鍵是弄清楚在定義域的不同區(qū)間上自變量 與因變量的關系.
A. y＝20x＋1（x∈N*） B. y＝21x（x∈N*）
C. y＝19x（x∈N*） D. y＝20x－1（x∈N*）
【解析】由題意可知購買一冊圖書需花費（20＋20×5％）＝21元，則實付款y （元）與x（冊）的函數(shù)解析式為y＝21x（x∈N*）.
B
C. f（x）＝3ln x2，g（x）＝6ln x
A
　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　　D
【解析】A，B，C項均表示定義域是[0，1]，值域是[0，2]的函數(shù)圖像，符合題 意；D項的圖像表示的不是y關于x的函數(shù).
D
A. {x｜x≠1且x≠3} B. {x｜x≠1或x≠3}
C. {x｜x≠1} D. {x｜x≠3}
【解析】要使函數(shù)有意義，須滿足x－1≠0，所以x≠1.故函數(shù)f（x）的定義域 為{x｜x≠1}.
A. 14 B. 15 C. 7 D. 6
C
C
A. （1，6） B. （－1，6）
C. （2，－3） D. （3，－2）
A
B
二、填空題
7. 二次函數(shù)f（x）過點（1，0）和（3，0），且頂點的縱坐標為－1，則該二次 函數(shù)的解析式為 .
【解析】由題可知二次函數(shù)圖像的對稱軸為x＝2，則頂點坐標為（2，－1）， 設二次函數(shù)的解析式為f（x）＝a（x－1）（x－3），所以f（2）＝a（2－ 1）（2－3）＝－1，解得a＝1，所以二次函數(shù)的解析式為f（x）＝（x－1） （x－3）＝x2－4x＋3.
8. 函數(shù)y＝2x＋1在[－1，2]上的值域是 .
【解析】函數(shù)y＝2x＋1在[－1，2]上是增函數(shù)，當x＝－1時，y＝－1；當x＝2 時，y＝5.所以函數(shù)的值域為[－1，5].
f（x）＝x2－4x＋3
[－1，5]
（－∞，－6）∪（6，＋∞）
三、解答題
11. 已知函數(shù)f（x）＝x3－2x2＋1，求f（－1），f（0），f（1）的值.
解：∵f（x）＝x3－2x2＋1，
∴f（－1）＝（－1）3－2×（－1）2＋1＝－2，
f（0）＝03－2×02＋1＝1，
f（1）＝13－2×12＋1＝0.
解：當x≥0時，f（x）＝8即3x＋5＝8，解得x＝1，符合題意；
當x＜0時，f（x）＝8即x2－1＝8，解得x＝－3或x＝3，此時x＝－3符合題 意.
綜上所述，實數(shù)x的值為1或－3.
14. 已知函數(shù)f（x）的圖像如圖所示，其中y軸的左側(cè)為一條線段，右側(cè)為某拋 物線的一部分，寫出函數(shù)f（x）的定義域和值域.
解：由函數(shù)圖像，知函數(shù)f（x）的定義域為[－2，3]，值域為[－2，2].

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