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(共23張PPT)
　函數
專題一　函數的概念及性質
3.3　函數的奇偶性
知識點1　對稱點的坐標
　一般地，設點P為平面直角坐標系內的任意一點，坐標記為（a，b）：
（1）點P（a，b）關于x軸對稱的點的坐標為（a，－b）.
（2）點P（a，b）關于y軸對稱的點的坐標為（－a，b）.
（3）點P（a，b）關于原點對稱的點的坐標為（－a，－b）.
（4）點P（a，b）關于直線y＝x對稱的點的坐標為（b，a）.
（5）點P（a，b）關于直線y＝－x對稱的點的坐標為（－b，－a）.
知識點2　奇函數和偶函數的概念及圖像特征
1. 設函數f（x）的定義域為數集D：
（1）若對于任意的x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝f（x），則函數f （x）叫作偶函數.
（2）若對于任意的x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x），則函數f （x）叫作奇函數.
（3）不具有奇偶性的函數叫作非奇非偶函數.
2. 奇函數和偶函數的圖像特征
奇函數的圖像關于原點中心對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱.
3. 用定義判斷函數奇偶性的步驟
（1）判斷函數的定義域是否關于原點對稱.
（2）若定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數；若定義域關于原點對 稱，則分別計算出f（x）與f（－x）的值.
（3）若f（－x）＝f（x），則函數為偶函數；若f（－x）＝－f（x），則函 數為奇函數.
例1　已知點P與點P'關于y軸對稱，若點P的坐標為（3，5），則點P'的坐標為 （　?。?
A. （－3，－5） B. （－3，5）
C. （3，－5） D. （5，3）
【考查目標】 本題考查關于y軸對稱的點的坐標.
【解析】 ∵點P與點P'關于y軸對稱，∴兩個點橫坐標互為相反數，縱坐標相 同，則點P'的坐標為（－3，5）.
【答案】 B
【解題技巧】 點P（x，y）關于y軸對稱的點的坐標是（－x，y）.
A. （－4，－3） B. （－3，4）
C. （4，－3） D. （4，3）
C
例2　（1）（2019年安徽省職教高考真題）下列函數為奇函數的是（　?。?
A. y＝x3＋1 B. y＝x3＋x
C. y＝x2＋1 D. y＝x2＋x
【解析】 （1）對于選項B，f（x）＝x3＋x的定義域為R，關于原點對稱.因為 f（－x）＝（－x）3－x＝－x3－x，f（x）＝x3＋x，所以f（－x）＝－f （x），所以f（x）＝x3＋x為奇函數.
【答案】 （2）B
【解析】（2）y＝ cos x為偶函數.
【答案】 （2）B
【解題技巧】 （1）判斷函數奇偶性的方法：①定義法；②圖像法.
（2）三角函數中，正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.
（2）（2020年安徽省職教高考真題）下列函數中，為偶函數的是（　?。?
A. y＝ sin x B. y＝ cos x
C. y＝ sin x＋ cos x D. y＝ sin x cos x
【考查目標】 本題考查函數的奇偶性.
A. y＝x＋1 B. y＝x2－1
C. y＝－x3 D. y＝2x2＋x
A. f（x）＝1－x2 B. f（x）＝x＋1
C. f（x）＝ cos x D. f（x）＝ sin x
【解析】f（x）＝1－x2和f（x）＝ cos x都為偶函數，f（x）＝ sin x為奇函 數，f（x）＝x＋1為非奇非偶函數.
B
B
例3?。?022年安徽省職教高考真題）已知奇函數f（x）在區間[1，2]上的最小 值為3，最大值為4，則f（x）在區間[－2，－1]上（　###　）.
A. 最小值為3，最大值為4 B. 最小值為－4，最大值為－3
C. 最小值為－3，最大值為4 D. 最小值為－4，最大值為3
【考查目標】 本題考查奇函數的性質.
【解析】 因為f（x）是奇函數，所以f（x）的圖像關于原點對稱，因此f （x）在[－2，－1]上的最小值為－4，最大值為－3.
【答案】 B
A. f（－4）＜f（3）＜f（－2）
B. f（－4）＜f（－2）＜f（3）
C. f（3）＜f（－2）＜f（－4）
D. f（3）＜f（－4）＜f（－2）
A
例4　（2024年安徽省職教高考真題）已知f（x）是R上的奇函數.當x＜0時，f （x）＝x2＋4x.若af（a）＞0，則a的取值范圍是（　　）.
A. （－4，0）∪（4，＋∞） B. （－∞，－4）∪（0，4）
C. （－4，0）∪（0，4） D. （－∞，－4）∪（4，＋∞）
【考查目標】 本題考查函數的奇偶性，以及分段函數的相關運算.
【答案】 C
【解析】 當a＜0時，af（a）＝a（a2＋4a）＞0，所以a2＋4a＜0，解得－4 ＜a＜0.當a＞0時，因為f（x）是R上的奇函數，所以f（－a）＝－f （a），又a＞0，所以－a＜0，則f（－a）＝（－a）2＋4×（－a）＝a2－ 4a，所以f（a）＝－a2＋4a，因為af（a）＝a（－a2＋4a）＞0，所以－a2 ＋4a＞0，解得0＜a＜4.當a＝0時，顯然不滿足af（a）＞0.綜上所述，a的 取值范圍是（－4，0）∪（0，4）.
【解題技巧】 利用奇函數定義求出x＞0的解析式，再利用分類討論和解不等式 的方法即可求出解集.本題還可以利用數形結合的思想，畫出函數的圖像，在圖 像上即可找出不等式的解集.
A. －5 B. －3 C. 3 D. 5
A. －2 B. －4 C. 4 D. 2
【解析】當x＞0時，f（x）＝3x－x2，得f（1）＝3－1＝2，又函數f（x） 是奇函數，所以f（－1）＝－f（1）＝－2.
B
A
A. （－1，－2） B. （－2，－1）
C. （2，1） D. （1，－2）
【解析】由題可知函數f（x）的圖像關于原點對稱，且過點（1，2），則點 （1，2）關于原點的對稱點（－1，－2）一定在函數f（x）的圖像上.
A
A. 在[－7，－3]上單調遞增且有最小值－4
B. 在[－7，－3]上單調遞增且有最大值4
C. 在[－7，－3]上單調遞減且有最小值－4
D. 在[－7，－3]上單調遞減且有最大值4
【解析】因為函數f（x）是偶函數，在[3，7]上單調遞增且有最大值4，所以根 據偶函數的性質可知，函數f（x）在[－7，－3]上單調遞減且有最大值4.
D
A. f（1）＜f（－2） B. f（1）＜f（2）
C. f（－1）＜f（2） D. f（－2）＜f（－1）
A. f（x）＝1－2x2 B. f（x）＝－x2＋x3
C. f（x）＝x3＋1 D. f（x）＝｜x｜
D
A
B. 2 C. 4
A
二、填空題
6. 已知函數f（x）為奇函數，當x＞0時，f（x）＝x2－4x，f（－1） ＝ .
7. 已知二次函數f（x）＝（m－2）x2＋（m2－3m＋2）x＋2是偶函數，則m ＝ .
8. 已知函數f（x）＝ax3＋bx＋2，若f（2）＝3，則f（－2）＝ .
3
1
1
9. 若函數f（x）和g（x）分別為定義在R上的偶函數和奇函數，滿足f（x） －g（x）＝2x2－3x＋1，則f（1）·g（1）＝ .
【解析】函數f（x）和g（x）分別為定義在R上的偶函數和奇函數，滿足f （x）－g（x）＝2x2－3x＋1，所以f（－x）－g（－x）＝f（x）＋g （x）＝2（－x）2－3×（－x）＋1，即f（x）＋g（x）＝2x2＋3x＋1，所 以f（x）＝2x2＋1，g（x）＝3x，則f（1）·g（1）＝3×3＝9.
9
11. 設函數f（x）在R上既是奇函數又是減函數，且f（1）＝－2.
（1）求f（－1）的值；
解：（1）因為函數f（x）在R上是奇函數，
所以f（－1）＝－f（1）＝2.
（2）若f（a2－3a－5）＞2，求a的取值范圍.
解：（2）由函數f（x）在R上是減函數，f（a2－3a－5）＞2＝f（－1），
得a2－3a－5＜－1，解得－1＜a＜4.
故實數a的取值范圍為（－1，4）.
12. 已知函數f（x）＝3x3＋2a＋b在[－2b，4]上是奇函數，求a＋b的值.
解：由于奇函數的定義域關于原點對稱，
則－2b＝－4，解得b＝2，
又因為f（x）過原點，所以f（0）＝2a＋b＝0，則a＝－1，所以a＋b＝1.

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