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概率與統計
專題二　統計
9.2　統計
知識點1　總體與樣本
1. 總體：在統計問題中，把所研究對象的全體稱為總體.
2. 個體：總體中的每一個對象稱為個體.
3. 樣本：從總體中抽取的一部分個體所組成的集合稱為總體的樣本.
4. 樣本量：樣本中個體的數目稱為樣本量，也稱為樣本容量.
知識點2　抽樣方法
1. 簡單隨機抽樣
（1）簡單隨機抽樣的定義
一般地，設總體中的個體數為N. 從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本 （n≤N），且每次抽取時總體內的每個個體被抽到的概率相等，這種抽樣方法 稱為簡單隨機抽樣.
（2）抽簽法
①基本步驟：第一步是編號，把總體中的N個個體從1至N逐一編號；第二步是 做簽，做編號為1至N的簽；第三步是抽簽，將做好的簽放到容器中，搖勻后， 從中不放回地逐個抽取n個簽；第四步是取樣，按照抽取到的簽上的號碼取出對 應的個體，得到一個容量為n的樣本.
②特點：個體數量較少；個體逐個抽取；個體不放回抽樣，所抽取的樣本中沒有 被重復抽取的個體；等可能性抽樣，每一個個體被抽取的概率相等.
2. 系統抽樣
（1）系統抽樣的定義
當總體容量較大時，可將總體分成均衡的若干部分，按照預先確定的規則，從每 一部分中抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣方法稱為系統抽樣.
（2）系統抽樣的特點
①個體數目比較多；
②把總體分成均衡的若干部分，分段間隔相等，在第一段用抽簽法確定起始編 號，其余依次加上間隔的整數倍；
③每個個體被抽到的概率相等.
3. 分層抽樣
（1）分層抽樣的定義
當總體由差異明顯的幾部分組成時，可將總體按差異情況分成互不重疊的幾個部 分（在統計上稱為“層”），再從每一層內隨機抽取一定數量的個體組成樣本， 這種抽樣方法稱為分層抽樣.
（2）分層抽樣的特點
①適用于由差異比較明顯的幾個部分組成的總體；
②按比例確定每層抽取個體的個數；
③用抽簽法或系統抽樣的方法在每一層抽樣；
④每個個體被抽到的概率相同.
（3）分層抽樣的基本步驟
①分層：將總體按照一定標準分層；
②計算：樣本容量與總體個數的比值；
③確定各層應抽取的個體數（按②中的比值確定各層應該抽取的個體數）；
④取樣：在每一層抽樣，所抽取的個體合在一起就是所需要的樣本.
4. 三種抽樣方法的異同點
類別 相同點 不同點 相互聯系 適用范圍
簡單隨
機抽樣 抽樣過程中 每個個體被 抽到的概率 是相同的 從總體中逐個不 放回地抽取 — 總體中的個體數比 較少
系統抽樣 將總體分成均衡 的若干部分，按 照預先確定的規 則在每一部分中 抽取 在起始部分 抽樣時采用 抽簽法抽樣 總體中的個體數比 較多
類別 相同點 不同點 相互聯系 適用范圍
分層抽樣 抽樣過程中 每個個體被 抽到的概率 是相同的 將總體分成幾 層，分層進行抽 取 各層抽樣時 采用抽簽法 或系統抽樣 總體由差異明顯的 幾部分組成
知識點3　用樣本的頻率分布估計總體
1. 樣本的頻率分布的有關概念
（1）頻數的定義
在統計學中，將樣本按照一定的方法分成若干組，每組內所含個體的數目稱為該 組的頻數.
（2）頻率
某組的頻數與樣本容量的比值稱為該組的頻率.
（3）頻率分布表
頻率分布表一般由分組、頻數、頻率組成，可以清楚地反映數據的分布規律.
2. 用樣本的頻率分布估計總體
（1）用樣本的頻率分布估計總體的步驟
①選擇恰當的抽樣方法得到樣本數據；
②求極差，確定組數和組距，確定分點并列出頻率分布表；
③繪制頻率分布直方圖；
④觀察頻率分布表和頻率分布直方圖，根據樣本的頻率分布，估計總體中某事件 發生的概率.
（2）基本思想
用樣本的頻率分布可估計總體的頻率分布，進而估計總體中某事件發生的概率.
知識點4　用樣本均值、標準差估計總體
1. 樣本均值
（1）樣本均值的定義
（2）樣本均值的意義
在統計工作中，樣本均值反映樣本的平均水平，通常用來估計總體的平均數，樣 本容量越大，這種估計的可信程度越高.
2. 樣本方差與樣本標準差
（1）樣本方差的定義
（3）樣本方差與樣本標準差的意義
樣本的方差和標準差反映了樣本的波動情況，即數據的離散程度.方差或標 準差越大，說明數據的離散程度越大；方差或標準差越小，說明數據的離散 程度越小.
3. 用樣本的均值和方差（或標準差）估計總體
（1）基本思想
分別用樣本的均值和標準差估計總體的平均水平和波動情況.
（2）意義
用樣本估計總體時，樣本的均值、方差（或標準差）只是總體的平均數、方差 （或標準差）的近似值.將樣本均值與方差（或標準差）結合，可對總體做出較 好的估計.在實際應用中，當所得數據的平均值不相等時，需要先分析數據的平 均水平，再計算方差（或標準差）并分析其穩定性.
例1　為了解某校600名學生的視力情況，從中抽取50名學生的視力情況進行統計 分析.在這項調查中，樣本容量是（　　）.
A. 50名學生 B. 50名學生的視力情況
C. 600名學生 D. 50
【考查目標】 本題考查樣本容量.
【解析】 由題意可知，總體是600名學生的視力情況，個體是每一名學生的視力 情況，樣本是被抽取出來的50名學生的視力情況，樣本容量是50.
【答案】 D
【解題技巧】 （1）解題的關鍵是理解總體、個體、樣本和樣本容量的概念.
（2）總體是研究對象的全體，樣本是被抽取出來的個體的集合，樣本容量是樣 本的數目.
A. 112名學生是總體
B. 每個學生是個體
C. 抽取的30名學生的數學成績是樣本
D. 112與30的比值是樣本容量
【解析】根據總體、個體、樣本、樣本容量的定義可知C項正確.
C
例2　（2022屆安徽省“江淮十校”職教高考第十次聯考）為了了解某地區中小 學生的視力情況，現從該地區中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解該 地區小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況 差異不大.該調查最適合采用的抽樣方法是（　　）.
A. 簡單隨機抽樣 B. 按性別分層抽樣
C. 按學段分層抽樣 D. 系統抽樣
【考查目標】 本題考查抽樣方法.
【解析】 因為該地區小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差 異，而男女生視力情況差異不大，所以該調查最適合采用的抽樣方法是按學 段分層抽樣.
【答案】 C
【解題技巧】 當總體由差異明顯的幾部分組成時，一般采用分層抽樣.
A. 系統抽樣 B. 簡單隨機抽樣
C. 分層抽樣 D. 以上都可
C
例3　（2021年安徽省職教高考真題）某學校為了了解1 000名學生的體質狀況， 將這些學生編號為1，2，…，1 000，用系統抽樣的方法從這些學生中等距抽取 100名進行體質測試，若23號學生被抽到，則下面編號對應的學生被抽到的是 （　　）.
A. 100 B. 107 C. 113 D. 115
【考查目標】 本題考查系統抽樣.
【解析】 由系統抽樣的特點可知，本題中被抽到的學生的編號可組成公差為10 的等差數列.
【答案】 C
【解題技巧】 根據系統抽樣按等分段間隔抽樣的規則，可將樣本編號轉化成一個 等差數列，公差是分段間隔.
A. 57 B. 67 C. 77 D. 87
C
例4　（2024年安徽省職教高考真題）某學校高一年級有210名學生，高二年級有 180名學生，高三年級有150名學生.為了解學生的身體狀況，該學校采用分層抽 樣的方法抽取n名學生進行體能測試.若從高二年級抽取了30名學生，則n＝ （　　）.
A. 55 B. 65 C. 90 D. 120
【考查目標】 本題考查分層抽樣.
【答案】 C
【解題技巧】 分層抽樣就是按比例抽樣，所占比例越大，被抽取得越多，所占比 例越小，被抽取得越少.
A. 6 B. 18 C. 24 D. 36
A. 240 B. 360 C. 540 D. 660
C
D
例5　（2022年安徽省職教高考真題）從一塊小麥地里隨機抽取100株小麥，測量 各株小麥的高度（單位：cm）.根據測量的數據得到頻率分布直方圖（如圖）， 則樣本高度落在區間[15，20]上的頻數為（　　）.
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【考查目標】 本題考查頻率分布直方圖的簡單應用.
【解析】 樣本高度落在區間[15，20]上的頻率為1－（0.10＋0.06）×5＝0.2， 所以其頻數為0.2×100＝20.
【答案】 B
【解題技巧】 能夠讀懂頻率分布直方圖是解題的關鍵.頻率分布直方圖的橫軸表 示數據的分組情況，縱軸表示頻率與組距的比值，因此，某一組距的頻率就等于 其對應矩形的面積.根據頻率分布直方圖能夠得到各組的頻率，進而解決一些簡 單的問題.
B
A. 3 600 B. 3 000 C. 2 400 D. 1 500
【解析】由題圖可知，每周平均體育運動時間少于4小時的人數是12 000× （0.025＋0.100）×2＝3 000.
A. 身高數據比體重數據的離散程度大
B. 身高數據比體重數據的離散程度小
C. 身高數據和體重數據的離散程度一樣大
D. 身高數據和體重數據的離散程度無法判斷
【考查目標】 本題考查統計數據的應用.
【答案】 B
【解題技巧】 （1）樣本均值反映樣本的平均水平，通過樣本均值來估計總體的 平均數時，樣本容量越大，這種估計可信程度越高.
（2）方差能描述數據的離散程度，方差越小，數據的離散程度越小，即數據波 動越小、越穩定.
變式訓練6
（1）某校要從甲、乙兩名優秀選手中選一名選手參加全市中學生田徑百米比 賽，在最近的8次選拔賽中，他們的成績（單位：秒）如下：
甲：12.1，12.5，13.0，12.5，12.8，12.2，12.4，12.5；
乙：12.0，12.9，12.2，13.1，12.2，13.0，12.1，12.9.
①他們的平均成績分別是多少？
②他們這8次選拔賽成績的方差各是多少？（保留到小數點后第2位）
③這兩名選手的選拔成績各有什么特點？
（2）某中等職業學校農藝專業的學生為了考察甲、乙兩種農作物的長勢，分別 從中抽取了10株苗，測得苗高（單位：mm）如下表所示.
甲 9 10 11 12 7 13 10 8 12 8
乙 8 13 12 11 10 12 7 7 9 11
請你經過計算，回答下列問題：
①哪種農作物的10株苗長得比較高？
②哪種農作物的10株苗長得比較整齊？（保留到小數點后第1位）
A. 總體 B. 個體
C. 總體中的一個樣本 D. 樣本容量
【解析】根據樣本的定義可知，C項符合題意.
C
A. 3，2 B. 2，3
C. 2，30 D. 30，2
A
A. 5件 B. 10件
C. 12件 D. 15件
B
學生 甲 乙 丙 丁
21.4 22.5 22.5 20.3
方差s2 6.6 6.6 2.5 7.2
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
【解析】從均值來看，乙、丙兩人的平均得分最高，整體成績較好，而丙的方差 比乙的方差小，所以這四人中丙的成績最好而且穩定，所以丙是最佳人選.
C
A. 875 B. 1 000
C. 1 010 D. 1 250
A
【解析】由頻率分布直方圖知，獲得“優秀”的學生的頻率是0.035×10＝ 0.35；故可估計此次知識競賽中獲得“優秀”的學生人數是0.35×2 500＝875.
二、填空題
6. 已知樣本數據6，x，7，5，6的樣本均值是6，則x＝ ，樣本標準差 是 .
6

7. 采用系統抽樣的方法從含有2 000個個體的總體（編號為0～1 999）中抽取一個 容量為100的樣本，若在第一段用簡單隨機抽樣的方法得到的起始個體編號為 13，則第6個入樣編號是 .
113
8. 將容量為100的樣本數據分為8組，各組頻數如下表所示，則第3組的頻率 是 .
組號 1 2 3 4 5 6 7 8
頻數 10 13 14 14 15 13 12 9
0.14
三、解答題
9. 為了檢測3 000個零件的長度是否合格，現從中抽取500個零件進行測量，請分 別指出此次統計調查中的總體、個體、樣本和樣本容量.
解：根據題意和統計的相關知識可知，總體為3 000個零件的長度，個體為每一 個零件的長度，樣本為500個零件的長度，樣本容量為500.
10. 某商場新進了一批直徑為12 mm的螺絲，從中抽取了20個螺絲，生產商規定 它們的標準差若大于0.2 mm，就可以要求退貨.這20個螺絲的直徑（單位： mm）如下：
11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1，
12.0，12.2，11.9，11.7，11.9，12.1，12.3，12.2，11.8，11.9.
通過計算說明該商場是否可以要求退貨？（保留到小數點后第3位）
解：由題圖，可得（0.035＋0.030＋a＋0.010）×10＝1，解得a＝0.025，
所以這500輛汽車中車速低于60 km/h的汽車有（0.025＋0.035）×10×500＝300 （輛）.
12. 某企業500名員工參加“學雷鋒”志愿活動，按年齡（單位：歲）分組如下： 第1組為[25，30），第2組為[30，35），第3組為[35，40），第4組為[40， 45），第5組為[45，50]，得到如下表所示的尚不完整的頻數分布表和頻率分布直 方圖.
分組 [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50]
人數 50 50 a 150 b
（1）求頻數分布表中正整數a，b的值；
解：（1）由頻率分布直方圖可知，第3組的頻率為0.08×5＝0.4，第5組的頻率 為0.02×5＝0.1，
所以a＝0.4×500＝200，b＝0.1×500＝50.
（2）現在要從年齡較小的第1組、第2組、第3組中用分層抽樣的方法抽取6人， 求分別從第1組、第2組、第3組抽取的人數.
解：（2）第1組、第2組、第3組的人數分別為50，50，200，人數之比為 1∶1∶4，
所以用分層抽樣的方法抽取6人，從這三組中抽取的人數分別為1，1，4.

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