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(共54張PPT)
概率與統計
專題一　概率與計數原理
9.1　概率與計數原理
重點
了解隨機事件的相關概念：必然現象、隨機現象、隨機試驗、隨機事件、必然 事件、不可能事件、基本事件、樣本空間、樣本點等，了解頻率與概率的相關 概念：頻數、頻率、概率，掌握概率的簡單性質，了解古典概型所具備的條 件，會求隨機事件所包含的樣本點個數，掌握古典概型的概率公式，了解互斥 事件的概念及其概率的求法；掌握兩類計數原理，并能利用兩類計數原理解決 一些簡單的實際問題；了解總體、個體、樣本和樣本容量的概念，了解用簡單 隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣獲取樣本需滿足的條件，并掌握簡單隨機抽 樣、系統抽樣、分層抽樣的方法和步驟；掌握用樣本的頻率分布估計總體的方 法，即頻率分布直方圖，掌握用樣本的均值、方差或標準差估計總體的方法.
難點 易錯點
求隨機事件所包含的樣本點個數，古典概型概 率的求法.抽樣的三種方法，即簡單隨機抽樣、 系統抽樣和分層抽樣的相關知識.用樣本的頻率 分布估計總體，即頻率分布直方圖，用樣本的 均值、方差或標準差估計總體. 樣本的標準差、方差公式.
知識點1　隨機事件的相關概念
1. 根據現象發生的結果是否可以準確預測，常把現象分為兩類，即必然現象和隨 機現象.在一定條件下，發生的結果事先能夠確定的現象稱為必然現象，發生的 結果事先不能確定的現象稱為隨機現象.
2. 在相同條件下，對隨機現象進行的觀察試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗.
3. 隨機試驗中每一種可能出現的結果，都稱為樣本點，常用小寫希臘字母ω表 示.所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，通常用大寫希臘字母Ω表示.
4. 如果隨機試驗的樣本空間是Ω，那么Ω的任意一個非空真子集稱為隨機事件， 簡稱為事件，常用大寫字母A，B，C，…表示，事件中的每一個元素都稱為基 本事件.
5. 樣本空間Ω是其自身的子集，因此，Ω也是一個事件，又因為Ω包含所有的樣 本點，每次試驗無論哪個樣本點出現，Ω都必然發生，因此，Ω稱為必然事件.
6. 也是Ω的子集，可以看作一個事件，但由于空集 不包含任何樣本點，在每 次試驗中都不會發生，因此，空集 稱為不可能事件.
A
知識點4　互斥事件
1. 在一次試驗中，不可能同時發生的兩個事件稱為互斥事件.
2. 一般地，當事件C發生則事件A與事件B中至少有一個會發生，稱事件C為事 件A與事件B的和事件，記作C＝A∪B.
3. 互斥事件的概率加法公式：P（A∪B）＝P（A）＋P（?。?
B
知識點5　計數原理
1. 分類計數原理（加法原理）
（1）分類計數原理的定義
一般地，如果完成一件事有n類方式.第1類方式有k1種方法，第2類方式有k2種方 法，……，第n類方式有kn種方法，那么完成這件事的方法共有N＝k1＋k2＋… ＋kn（種），這種計數原理稱為分類計數原理.
（2）分類計數原理的特點
完成一件事有n類不同的方式，用每一類方式中的每一種方法都可以獨立完成這 件事，將這n類方式中的方法數相加，即得能完成這件事的方法數.
2. 分步計數原理（乘法原理）
（1）分步計數原理的定義
一般地，如果完成一件事，可以分成n個步驟，完成第1個步驟有k1種方法，完成 第2個步驟有k2種方法，……，完成第n個步驟有kn種方法，并且只有這n個步驟 都完成后，這件事才能完成，那么完成這件事的方法共有N＝k1k2…kn（種）， 這種計數原理稱為分步計數原理.
（2）分步計數原理的特點
完成一件事需要n個步驟，缺一不可，完成每一步有若干種方法，把每一步的方 法數相乘，就可以得到完成這件事的方法數.
例1　指出下列事件中的必然事件、不可能事件和隨機事件.
（1）一個實心鐵球掉入水池，鐵球下沉；
（2）打開電視機，電視里正在播廣告；
（3）兩個銳角互余；
（4）任意取兩個正數，和大于零；
（5）鐵在沸水中會熔化.
【考查目標】 本題考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.
【解析】 （1）（4）是必然事件，（2）（3）是隨機事件，（5）是不可能 事件.
【解題技巧】 正確理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念是解題的關鍵.
A. {出現的點數是1} B. {出現的點數不大于2}
C. {出現的點數是奇數} D. {出現的點數是3的整數倍}
【解析】任意拋擲一顆質地均勻的骰子，可能出現的點數有1，2，3，4，5，6， 共有6個基本事件.{出現的點數不大于2}包含2個基本事件，{出現的點數是奇數} 包含3個基本事件，{出現的點數是3的整數倍}包含2個基本事件.
A
A. 學校在每日體溫測量中，某學生的體溫為36.3 ℃
B. 某學生練習定點投籃，第二次投籃沒有投中
C. 在除夕的22時，隨機撥打朋友的電話，朋友在看春節聯歡晚會
D. 一個不透明的袋子中有兩個紅球、三個黃球，從中摸取三個球，摸出的球中 有黃球
【解析】 根據隨機事件的概念知，選項A，B，C都是隨機事件；對于D， 由于袋子中只有兩個紅球，從中任意摸取三個球，至少摸到一個黃球，這是 一個必然事件.
D
例2　某籃球運動員在最近幾場比賽中罰球投籃的結果如下表所示.
（1）計算該籃球運動員的投中頻率，并填入表格；（保留到小數點后第2位）
【解析】 （1）
投籃次數n 8 10 12 9 13 16
投中次數m 6 8 9 7 10 12
投籃次數n 8 10 12 9 13 16
投中次數m 6 8 9 7 10 12
0.75
0.80
0.75
0.78
0.77
0.75
（2）求該籃球運動員投中的概率.
A. 12 B. 9 C. 4 D. 3
A
（2）某地區為了解居民對預防電信詐騙宣傳教育的效果，選擇了6個片區進行隨 機調查，調查結果如下表：
片區 1 2 3 4 5 6
被調查人數 500 700 900 a 1 500 1 800
不知曉人數 10 14 16 17 b 33
不知曉率 0.02 0.02 0.018 0.017 0.018 c
①請補全表中的數據：a＝ ，b＝ ，c＝ .（近似結果 保留三位小數）
1 000
27
0.018
A. 0.02 B. 0.019 C. 0.017 D. 0.018
D
例3?。?020年安徽省職教高考真題）若3個正整數可作為一個直角三角形三條邊 的邊長，則稱這3個數是一組勾股數.關于勾股數的描述早在中國古代的《周髀算 經》中就有所記載.從4，6，8，10中任取3個不同的數，則它們構成一組勾股數 的概率是（　?。?
【考查目標】 本題考查古典概型的概率計算.
【答案】 C
變式訓練3
（1）（2023年安徽省職教高考真題）古代數學家常用小石子在沙灘上擺成各種 形狀來研究數，如下圖中的小石子個數1，4，9，16，…被稱為“正方形數”.
B
（2）（2024年安徽省職教高考真題）意大利數學家斐波那契（Fibonacci）研究 兔子繁殖問題時，得到數列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…
B
例4?。?021年安徽省職教高考真題）袋中共有8個除了顏色外完全相同的小球， 其中2個紅色球，3個白色球，3個黑色球.現從袋中任取一個球，則取到的球不是 黑色球的概率為（　?。?
【考查目標】 本題考查古典概型的概率計算.
【答案】 C
【解題技巧】 如果事件A、事件B和事件C兩兩互斥，則P（A∪B∪C）＝P （A）＋P（B）＋P（?。?
C
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【考查目標】 本題考查互斥事件的應用.
【答案】 C
A. 2張 B. 3張 C. 4張 D. 5張
A
例6　甲、乙兩中等職業學校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校 1男2女.
（1）若從甲中等職業學校和乙中等職業學校報名的教師中任選1名，共有多少種 不同的選擇方法？
【解析】 （1）從甲中等職業學校和乙中等職業學校報名的教師中任選1名，可 以分成兩類方式來完成：第一類方式是從甲中等職業學校選擇一名教師，有k1＝ 3種選法；第二類方式是從乙中等職業學校選擇一名教師，有k2＝3種選法.根據 分類計數原理得N＝k1＋k2＝3＋3＝6（種），故從甲中等職業學校和乙中等職 業學校報名的教師中任選1名，共有6種不同的選擇方法.
（2）若從甲中等職業學校和乙中等職業學校報名的教師中各選1名，共有多少種 不同的選擇方法？
【解析】（2）從甲中等職業學校和乙中等職業學校報名的教師中各選1名，可以 分兩步完成：第一步是從甲中等職業學校選擇一名教師，有k1＝3種選法；第二 步是從乙中等職業學校選擇一名教師，有k2＝3種選法.根據分步計數原理得N ＝k1k2＝3×3＝9（種），故從甲中等職業學校和乙中等職業學校報名的教師中 各選1名，共有9種不同的選擇方法.
（2）區分“分步”“分類”的依據在于事件能否“一次性”完成，若能“一次 性”完成，則不需要分步，只需要分類；否則就要分步處理.
注：涉及既有分步又有分類的題目需要仔細審題，準確判斷，不要混淆.
【考查目標】 本題考查計數原理.
【解題技巧】 （1）首先分析事件屬于分類計數還是分步計數，再根據相關的計 數原理來解決問題.
A. 1 B. 5 C. 10 D. 25
A. 8 B. 9 C. 10 D. 20
C
C
A. 某事件A發生的概率為P（A）＝1.2
B. 不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1
C. 小概率事件就是不可能事件
D. 有一批產品，已知次品率為10％，則從中任取100件產品，必有10件次品
【解析】對于任意事件A，都有0≤P（A）≤1，A項錯誤；必然事件的概率為 1，即P（Ω）＝1，不可能事件的概率為0，即P（ ）＝0，B項正確；小概率 事件是指這個事件發生的可能性很小，C項錯誤；雖然一批產品的次品率為10％，但從中任取100件產品，未必恰好有10件次品.
B
C
A. 6種 B. 7種
C. 12種 D. 18種
【解析】從中任選1個壓軸表演，有三類方式：第一類是從3個歌舞類節目中任選 1個，有k1＝3種選法；第二類是從2個小品類節目中任選1個，有k2＝2種選法； 第三類是從2個相聲類節目中任選1個，有k3＝2種選法.根據分類計數原理得N ＝k1＋k2＋k3＝3＋2＋2＝7（種），所以從3個歌舞類節目、2個小品類節目和2 個相聲類節目中任選1個壓軸表演，共有7種不同的選法.
B
4. （2025屆安徽省“江淮十校”職教高考高三摸底聯考）目前青少年手機使用問 題日益突出，某中等職業學校為了了解全校學生手機使用情況，隨機抽查了50名 學生暑假中某一天累計使用手機時間（單位：小時），數據如下：
累計使用手機時間/小時 （0，1] （1，3] （3，8] （8， 12] （12， 24]
人數 12 13 15 8 2
C
A. 事件B＝{兩次正面都向上}
B. 事件C＝{兩次反面都向上 }
C. 事件D＝{只有1次反面向上}
D. 事件E＝{一次反面向上，一次正面向上}
【解析】將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲兩次，樣本空間Ω＝{（正，正）， （正，反），（反，正），（反，反）}，事件A＝{至少出現一次反面向上}＝ {（正，反），（反，正），（反，反）}，則該事件的互斥事件是事件B＝{兩 次正面都向上}＝{（正，正）}.
A
二、填空題
6. 從1，2，3，4四個數字中任取兩個不同的數字組成一個兩位數，則組成的兩位 數大于30的概率為 .
7. 從5名男生、3名女生中隨機選取兩名參加社團活動，則選到的兩名學生中既有 男生又有女生的種數為 .
8. 拋擲一顆質地均勻的骰子，則事件C＝{點數為奇數或2}的概率為

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三、解答題
9. 現有一個質地均勻的圓形小鐵片，一面涂上紅色，一面涂上綠色，連續隨機地 拋擲這個圓形小鐵片兩次，在這個試驗中，“紅色面向上”簡記為“紅”，“綠 色面向上”簡記為“綠”，如兩次紅色面向上記為（紅，紅）.
（1）請寫出這個試驗的樣本空間；
解：（1）試驗的樣本空間Ω＝{（紅，紅），（紅，綠），（綠，紅），（綠， 綠）}.
（2）寫出一對互斥事件；
解：（2）事件A＝{兩次紅色面向上}＝{（紅，紅）}與事件B＝{至少有一次綠 色面向上}＝{（綠，紅），（綠，綠），（紅，綠）}互斥.
（3）求“只有一次綠色面向上”的概率.
10. 小麗有20張質地、大小相同的卡片，上面分別寫有1～20這20個數字，她把卡 片放在一個盒子中攪勻，每次從盒中抽出一張卡片，記錄結果如下.
（1）完成上表；（保留到小數點后第2位）
（2）頻率隨著試驗次數的增加，穩定于什么值左右？
解：（2）頻率隨著試驗次數的增加，穩定在0.30左右.
0.25
0.33
0.28
0.33
0.32
0.30
0.30
0.31
0.30
0.30
（3）從試驗數據看，估計從盒中抽出一張卡片是3的倍數的概率是多少？
解：（3）大量反復試驗下頻率的穩定值即概率，故從盒中抽出一張卡片是3的倍 數的概率估計是0.30.
11. 在一個盒子中裝有編號為1到10的10個相同的小球，現從中任取一球，求下列 事件的概率.
（1）事件A＝{球的編號數不大于4}；
解：從裝有編號為1到10的10個相同的小球的盒子中，任取一球，樣本空間Ω包 含的樣本點為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，樣本點總數為10.
（2）事件B＝{球的編號數為3的倍數}；
（3）事件C＝{球的編號數為2的倍數或球的編號數小于2}.
解：（3）球的編號數為2的倍數有5個樣本點：2，4，6，8，10，
12. 體育測試成績分為四個等級：優秀、良好、合格和不合格.某班級50名學生參 加體育測試的成績如下表所示.
等級 優秀 良好 合格 不合格
人數 5 19 23 3
（1）從該班級中任意抽取1名學生，求這名學生的體育測試成績為“良好”或 “合格”的概率.
（2）體育測試成績為“優秀”的3名男生記為a1，a2，a3，2名女生記為b1，b2. 現從這5名學生中任選2人參加學校的體育比賽.
①列出所有等可能的樣本點；
解：（2）①從5名體育測試成績為“優秀”的學生中任選2人可能發生的等可能 的樣本點有a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2.
②求參賽學生中恰有1名女生的概率.
②由①知樣本空間Ω包含的樣本點總數n＝10，參賽學生中恰有1名女生包含的 樣本點個數m＝6，
13. 將一枚質地均勻的骰子先后拋擲2次，求：
（1）這個隨機試驗的樣本點總數n；
解：（1）先后拋擲一枚骰子2次，樣本空間Ω包含的樣本點為（1，1），（1， 2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2， 3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3， 4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4， 5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5， 6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），樣本 點總數n＝36.
（2）事件A＝{向上的點數之和為8}包含的樣本點個數m；
解：（2）由（1）知事件A＝{向上的點數之和為8}包含的樣本點有（2，6）， （3，5），（4，4），（5，3），（6，2），樣本點個數m＝5.
（3）事件A＝{向上的點數之和為8}的概率.

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