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集合、區間與充要條件
專題　集合、區間與充要條件
1.2　區間
知識點1　區間
1. 區間：一般地，由數軸上兩點間的所有實數所組成的集合稱為區間，這兩個點 稱為區間端點.
2. 設a，b∈R，且a＜b.
（1）閉區間：滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合稱為閉區間，表示為[a，b].
（2）開區間：滿足不等式a＜x＜b的實數x的集合稱為開區間，表示為（a， b）.
（3）左閉右開區間：滿足不等式a≤x＜b的實數x的集合稱為左閉右開區間， 表示為[a，b）.
（4）左開右閉區間：滿足不等式a＜x≤b的實數x的集合稱為左開右閉區間， 表示為（a，b].
上述區間表示的集合及其數軸表示可歸納為
集合表示 數軸表示 區間表示
{x｜a≤x≤b} [a，b]
{x｜a＜x＜b} （a，b）
{x｜a≤x＜b} [a，b）
{x｜a＜x≤b} （a，b]
知識點2　無窮區間
1. 集合{x｜x≥a}，用區間表示為[a，＋∞）.
2. 集合{x｜x＞a}，用區間表示為（a，＋∞）.
3. 集合{x｜x≤b}，用區間表示為（－∞，b].
4. 集合{x｜x＜b}，用區間表示為（－∞，b）.
上述區間表示的集合及其數軸表示可歸納為
集合表示 數軸表示 區間表示
{x｜x≥a} [a，＋∞）
{x｜x＞a} （a，＋∞）
{x｜x≤b} （－∞，b]
{x｜x＜b} （－∞，b）
R （－∞，＋∞）
例1　已知集合A＝{x｜x≤－2或1＜x≤3}，則集合A用區間表示為（　　）.
A. （－∞，－2）∪（1，3] B. （－∞，－2）∪（1，3）
C. （－∞，－2]∪（1，3] D. （－∞，－2]∪[1，3）
【考查目標】 本題考查區間的概念和集合的區間表示.
【解析】 對于集合A＝{x｜x≤－2或1＜x≤3}，集合{x｜x≤－2}是個無窮區 間，集合{x｜1＜x≤3}是左開右閉區間，故集合A用區間表示為
（－∞，－2]∪（1，3].
【答案】 C
【解題技巧】 用區間表示集合時，要特別注意區間開、閉的問題，而且正、負無 窮大表示區間端點時必須用小括號.區間左端點數要小于其右端點數，中間用逗 號隔開；集合中包含區間端點的，在區間中用中括號表示，集合中不包含區間端 點的，在區間中用小括號表示；無窮區間的“－∞”在左端，“＋∞”在右端.
【解析】集合{x｜0≤x＜4}是左閉右開區間，集合{x｜x＞5}是無窮區間，故 集合A用區間表示為[0，4）∪（5，＋∞）.
D
例2　設全集U＝（－5，8]，集合A＝（－∞，5），集合B＝[3，＋∞）.求：
（1）A∩B；
【解析】 （1）A∩B＝（－∞，5）∩[3，＋∞）＝[3，5）.
（2）A∪B；
【解析】（2）A∪B＝（－∞，5）∪[3，＋∞）＝（－∞，＋∞）＝R.
（3） U（A∩B）.
【解析】（3） U（A∩B）＝（－5，3）∪[5，8].
【考查目標】 本題考查集合的交集、并集和補集及區間表示.
【解題技巧】 當全集不是全體實數時，求補集時要注意區間左右端點的數和所用 的括號；求交集時，要找出它們的公共部分；求并集時，要注意相同的元素不能 重復出現；求補集時，要注意（A∩B）∪ U（A∩B）＝U，（A∩B）∩ U （A∩B）＝ .
變式訓練2
已知全集U＝（－4，6]，集合A＝（－2，4]，集合B＝（3，＋∞）.求：
（1）A∩B；
解：（1）A∩B＝（3，4].
（2）A∪B；
解：（2）A∪B＝（－2，＋∞）.
（3） U（A∩B）.
解：（3） U（A∩B）＝（－4，3]∪（4，6].
例3　已知全集U＝R，集合A＝[－5，3），集合B＝（－2，4].利用數軸求：
（1）A∩B；
【解析】 集合A與集合B的數軸表示如圖所示.
（1）A∩B＝[－5，3）∩（－2，4]＝（－2，3）.
（2）A∪B；
【解析】（2）A∪B＝[－5，3）∪（－2，4]＝[－5，4].
（3） UA；
【解析】（3） UA＝（－∞，－5）∪[3，＋∞）.
（4）（ UA）∪（ UB）.
【解析】（4）∵ UA＝（－∞，－5）∪[3，＋∞）， UB＝（－∞，－2]∪ （4，＋∞），
∴（ UA）∪（ UB）＝（－∞，－2]∪[3，＋∞）.
【考查目標】 本題考查利用數軸求集合的交集、并集和補集.
【解題技巧】 在數軸上表示區間時，一定要注意左、右端點表示的數的位置是用 實心圓點，還是空心圓圈.區間中的中括號表示包括這個數，用實心圓點表示； 小括號表示不包括這個數，用空心圓圈表示.寫區間時，要求小數在左，大數在 右，中間用逗號隔開.
變式訓練3
已知全集U＝R，集合A＝[－2，0），集合B＝[0，5].利用數軸求：
（1）A∩B；
解：數軸略.
（1）A∩B＝ .
（2）A∪B；
解：（2）A∪B＝[－2，5].
（3）（ UA）∩（ UB）.
解：（3）∵ UA＝（－∞，－2）∪[0，＋∞）， UB＝（－∞，0）∪（5，＋ ∞），
∴（ UA）∩（ UB）＝（－∞，－2）∪（5，＋∞）.
例4　已知集合A＝（－1，1），集合B＝（－∞，a），且A B，求實數a的 取值范圍.
【考查目標】 本題考查集合之間的關系及集合的區間表示.
【解析】 因為集合A＝（－1，1），集合B＝（－∞，a），A B，所以 a≥1，即實數a的取值范圍是[1，＋∞）.
【解題技巧】 求集合關系中參數的取值范圍時，一般采用數形結合和分類討論的 數學思想.
變式訓練4
已知集合A＝{x｜x2－x－12≤0}，集合B＝{x｜m－1≤x≤1－m}，若A∩B ＝B，用區間的形式表示集合A和集合B，并求實數m的取值范圍.
解：由題意得，集合A＝{x｜－3≤x≤4}＝[－3，4]，集合B＝[m－1，1－m].
因為A∩B＝B，所以集合B是集合A的子集，根據子集的定義，得
①當集合B＝ 時，即m－1＞1－m，得m＞1，滿足條件；
解得－2≤m≤1.
綜上所述，實數m的取值范圍為[－2，＋∞）.
A. （－∞，60） B. （－∞，60]
C. （0，60） D. [0，60）
【解析】該成績區間包含0分不包含60分，為左閉右開區間.
D
C. （－∞，2]
A. （1，4） B. （2，3）
C. [2，3） D. [2，4]
【解析】因為集合A＝（1，3），集合B＝[2，4），所以A∩B＝[2，3）.
B
C
A. （－∞，－2） B. （－∞，4]
C. （－2，2） D. （－∞，4）
【解析】根據區間的概念和并集運算的性質可知，A∪B＝（－∞，4].
A. （－∞，＋∞） B. （－∞，－1]
C. [－1，＋∞） D. （－∞，－1]∪[1，＋∞）
A. －3 B. 0 C. 3 D. 0或3
B
A
A
A. {1，2，3，4}＝[1，4]
B. 方程x2－1＝0的解集為[－1，1]
C. 集合{x｜x∈R且x≠1}用區間表示為（－∞，1）∪（1，＋∞）
D. 集合{x｜1＜x＜5且x≠2}用區間表示為（1，5）
【解析】集合{1，2，3，4}表示含有“1，2，3，4”四個元素的有限數集，區間 [1，4]表示{x｜1≤x≤4}這個無限數集，所以兩個集合不是同一個集合，A項錯 誤；方程x2－1＝0的解為x1＝－1，x2＝1，用集合表示為{－1，1}，B項錯誤； 集合{x｜x∈R且x≠1}用區間表示為（－∞，1）∪（1，＋∞），C項正確； 集合{x｜1＜x＜5且x≠2}用區間表示為（1，2）∪（2，5），D項錯誤.
C
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】解不等式得x≤3－2a，由題意得3－2a＝1，故a＝1.
C
A. （0，＋∞），（0，＋∞） B. （0，＋∞），[0，＋∞）
C. [0，＋∞），（0，＋∞） D. [0，＋∞），[0，＋∞）
【解析】當k＞0，b＞0時，一次函數圖像經過第一、二、三象限；當k＞0，b ＝0時，一次函數圖像經過第一、三象限；當k＝0，b＝0時，一次函數圖像即 為x軸；當k＝0，b＞0時，一次函數圖像經過第一、二象限.綜上所述， k≥0，b≥0.
D
二、填空題
10. 區間（－2，0）∪（0，＋∞）用集合表示為 ；集 合{x｜－1＜x≤2}用區間表示為 .
【解析】因為全集U＝（－4，5），集合A＝[－2，2），所以 UA＝
（－4，－2）∪[2，5）.
{x｜x＞－2且x≠0}
（－1，2]
（－4，－2）
∪[2，5）
12. 若集合A＝（3，5），集合B＝[x，7），A∩B＝[x，5），則實數x的取值 范圍是 .（用區間表示）
【解析】畫數軸再結合交集的性質，可得實數x的取值范圍是（3，5）.
13. 集合A＝{x｜x≤－2或0＜x＜1}用區間表示為 .
14. 不等式2x－5≥4x＋7的解集可用區間表示為 .
（3，5）
（－∞，－2]∪（0，1）
（－∞，－6]
解①得x＞2，解②得x≤6；
取其交集，故不等式組的解集為{x｜2＜x≤6}，用區間表示為（2，6].
16. 設全集U＝{x｜－5≤x＜10}，集合A＝（－1，2]，集合B＝[0，4），用區 間表示：
（1）A∩B；
解：由題意得全集U＝[－5，10），集合A＝（－1，2]，集合B＝[0，4），UA＝[－5，－1]∪（2，10）， UB＝[－5，0）∪[4，10）.
（1）A∩B＝[0，2].
（2）A∪B；
解：（2）A∪B＝（－1，4）.
（3）（ UA）∪（ UB）；
解：（3）（ UA）∪（ UB）＝[－5，0）∪（2，10）.
（4）（ UA）∩（ UB）.
解：（4）（ UA）∩（ UB）＝[－5，－1]∪[4，10）.
17. 已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，集合B＝{x｜1－a＜x≤3a＋1}.
（1）當a＝1時，用區間表示A∩B；
解：（1）集合A＝{x｜x2－x－6≤0}＝[－2，3]，
當a＝1時，集合B＝（0，4]，
故A∩B＝（0，3].
（2）若B A，求實數a的取值范圍并用區間表示.
解：（2）①當集合B＝ 時，1－a≥3a＋1，解得a≤0.
解①得x＞3，解②得x＜a－2.
又因為不等式組的解集為空集，由數軸圖可知，a－2≤3，所以a≤5，所以實 數a的取值范圍用區間表示為（－∞，5].
19. 已知集合A＝[－4，4]，集合B＝[a，4]，若A∪B＝B，求實數a的取值范 圍并用區間表示.
解：∵A∪B＝B，∴A B. 由題意，知a≤－4，故實數a的取值范圍為
（－∞，－4].

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