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集合、區間與充要條件
專題　集合、區間與充要條件
1.3　充要條件
知識點1　充分不必要條件
　若由條件p成立推出結論q成立，則把條件p叫作結論q的充分條件，記作 p q.在p q的情況下，p /　q，則把條件p叫作結論q的充分不必要條件.
知識點2　必要不充分條件
　若由結論q成立推出條件p成立，則把條件p叫作結論q的必要條件，記作 p q.在p q的情況下，p /　q，則把條件p叫作結論q的必要不充分條件.
知識點3　充要條件
　若p q且p q，則把條件p叫作結論q的充要條件，記作p q.
注：如果p /　q，且q /　p，則p是q的既不充分也不必要條件.
例1?。?023年安徽省職教高考真題）“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的 （　?。?
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【考查目標】 本題考查條件的判斷.
【解析】 由“x＝y”可推出“｜x｜＝｜y｜”成立；而由“｜x｜＝｜y｜” 可推出“x＝y”或“x＝－y”成立，故“x＝y”是“｜x｜＝｜y｜”的充 分不必要條件.
【答案】 A
A. 充分條件 B. 必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】由x＝1可以推出x＞0，而x＞0不可以推出x＝1，故“x＝1”是“x ＞0”的充分條件.
A. 充分條件 B. 必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】由a＞1能推出a2＞1，而由a2＞1得出a＞1或a＜－1.所以“a＞1”是 “a2＞1”的充分條件.
A
A
A. 充分條件 B. 必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】因為x＝2可以推出－1＜x≤3，而－1＜x≤3不可以推出x＝2，所以 “x＝2”是“－1＜x≤3”的充分條件.
A
例2　指出下列各組命題中的p是q的什么條件.
（1）p：x2－1＝0，q：｜x｜－1＝0；
【解析】 根據充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件的定義進行推 理判斷.
（1）解x2－1＝0，得x＝±1；解｜x｜－1＝0，得x＝±1，所以p是q的充要 條件.
（2）p：0≤a－1＜2，q：0≤a＜4；
【解析】 （2）0≤a－1＜2 1≤a＜3，因為1≤a＜3 0≤a＜4，但0≤a＜ 4 /　1≤a＜3，所以p是q的充分不必要條件.
（3）p：a，b是實數且a＞b，q：a2＞b2；
【解析】 （3）a，b是實數且a＞b /　a2＞b2，且a2＞b2 /　a，b是實數且 a＞b，所以p是q的既不充分也不必要條件.
（4）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形.
【解析】 （4）等腰三角形不一定是等邊三角形，但等邊三角形一定是等腰三角 形，故p是q的必要不充分條件.
【考查目標】 本題考查條件判斷.
【解題技巧】 在進行充分條件與必要條件的判斷時，若p是q的充分條件，則 p q；若p是q的必要條件，則p q；若p是q的充要條件，則p q；若p是 q的既不充分也不必要條件，則p /　q且q /　p.
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】因為a，b是偶數，兩個偶數的和一定是偶數，所以“a，b是偶數” 能推出“a＋b是偶數”；如果兩個數的和是偶數，那么這兩個數可以都是偶數 也可以都是奇數，所以“a，b是偶數”是“a＋b是偶數”的充分不必要條件.
A
（2）指出下列各組命題中條件p是結論q的什么條件.
①p：｜x｜＞1，q：x＞1；
解：①解｜x｜＞1，得x＞1或x＜－1，即｜x｜＞1 /x＞1，但x＞1 ｜x｜ ＞1，
所以p是q的必要不充分條件.
②p：m≥2，q：方程x2＋2x＋m＝0無實數解；
解：②當方程x2＋2x＋m＝0無實數解時，Δ＜0，即4－4m＜0，解得m＞1.因 為m≥2 m＞1，但m＞1 /m≥2，所以p是q的充分不必要條件.
例3?。?024年安徽省職教高考真題）“x＞2”是“x＞1”的（　　）.
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【考查目標】 本題考查條件的判斷.
【解析】 當x＞2時，一定有x＞1；但當x＞1時，不一定有x＞2.故“x＞2” 是“x＞1”的充分不必要條件.
【答案】 A
【解題技巧】 充要條件可按照集合范圍的大小和元素數量的多少來理解.
（1）充分條件
從集合范圍角度：若A是B的充分不必要條件，則A所對應的集合是B所對應集 合的真子集，即A B. 這意味著A的范圍比B小，A中的元素都在B中，但B中 存在一些元素不在A中.從元素數量角度：若A是B的充分不必要條件，則A集合 中的元素數量比B集合中的元素數量少.
（2）必要條件
從集合范圍角度：若A是B的必要不充分條件，則B所對應的集合是A所對應集 合的真子集，即B A. 也就是說B的范圍比A小，B中的元素都在A中，但A中 存在一些元素不在B中.從元素數量角度：若A是B的必要不充分條件，則B集合 中的元素數量比A集合中的元素數量少.
即判斷充要條件可以利用“從小范圍到大范圍”“從數量少到數量多”的方法.
注：【充要條件的解題口訣】充分條件前推后，必要條件后推前，充要條件 兩頭推.
A. 充分條件 B. 必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】因為A，B是兩個非空集合，且B A，由子集的概念可知， x∈B x∈A，反之則不確定，所以“x∈A”是“x∈B”的必要條件.
B
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
B
【解析】因為集合B＝（0，2]中的元素一定在集合A＝（0，3]中，反之則不一 定，所以“n∈A”是“n∈B”的必要不充分條件.
（3）已知集合A＝{x｜x＞2m2－4}，集合B＝{x｜－2＜x＜2}.若“x∈A” 是“x∈B”的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.
解：因為“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，所以B A，即2m2－4≤ －2，解得－1≤m≤1，所以實數m的取值范圍為[－1，1].
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】因為x＝2 ｜x｜＝2，｜x｜＝2 x＝±2，即｜x｜＝2 /x＝2，所 以“x＝2”是“｜x｜＝2”的充分不必要條件.
A
A. [1，3] B. [2，3]
C. （1，3） D. （2，3）
B
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
A
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】因為x＞1 /x＞6，而x＞6 x＞1，所以“x＞1”是“x＞6”的必要 不充分條件.
B
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
A
A. 充分條件 B. 必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】由a－b＝0，得a＝b，由a2－b2＝0，得a＝±b，所以“a－b＝0” 是“a2－b2＝0”的充分條件.
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】當a＞0，b＞0時，ab＞0，則a＞0，b＞0 /ab＜0；當ab＜0時，a ＞0，b＜0或a＜0，b＞0，則ab＜0 /a＞0，b＞0，所以“a＞0，b＞0”是 “ab＜0”的既不充分也不必要條件.
A
D
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
C
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】由四邊形ABCD是菱形可得到四邊形ABCD的四條邊相等，但反過來卻 不成立，故選A.
A
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】因為（a－1）2＋｜1－b｜2＝0，所以a＝b＝1，所以ab＝1，滿足充 分條件；當a＝b＝－1時，滿足ab＝1，但（a－1）2＋｜1－b｜2≠0，不滿足 必要條件.所以“（a－1）2＋｜1－b｜2＝0”是“ab＝1”的充分不必要條件.
A
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
A
二、填空題
12. “x＞3”的 條件是“x＞4”.（填“充分不必要”“必要不 充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
【解析】當x＞4時，一定有x＞3；但當x＞3時，不一定有x＞4.故“x＞4”是 “x＞3”的充分不必要條件，即“x＞3”的充分不必要條件是“x＞4”.
13. 已知△ABC中，p：a2＋b2＝c2，q：∠C＝90°，則p是q的 條 件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【解析】由a2＋b2＝c2滿足勾股定理，那么三角形c邊對應∠C＝90°，所以 “a2＋b2＝c2”是“∠C＝90°”的充要條件.
充分不必要
充要
m＝
4
三、解答題
15. 判斷命題p與q的條件關系.
（1）p：A∩B＝ ，q：A與B中至少有一個空集；
解：（1）A∩B＝ ，只能說明A與B沒有共同元素，不能說明A與B中至少 有一個空集，即由p推不出q；
A與B中至少有一個空集，能夠推出A∩B＝ ，即由q能推出p.
所以p是q的必要不充分條件.
（2）p：x2－3x＋2＝0，q：x＝1.
解：（2）解方程x2－3x＋2＝0，得x1＝1，x2＝2，則由p推不出q；
當x＝1時，x2－3x＋2＝12－3×1＋2＝0，所以由q能推出p.
故p是q的必要不充分條件.
16. 求關于x的方程（m－1）x2＋3x－1＝0有兩個實數解的充要條件.

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