資源簡介

(共44張PPT)
　立體幾何
專題一　點、線、面之間的位置關系
8.1　平面
重點
了解空間點、線、面之間的位置關系的定義，并能用文字語言、圖像語言和符 號語言來描述；理解平面的三個基本性質及三個推論，并能利用性質解決簡單 的線共面、點共線和線共點問題；了解線線平行、線面平行、面面平行的定 義；了解異面直線所成角的概念；了解直線與平面所成角的概念；了解二面角 的平面角的概念；了解線面垂直、面面垂直的定義；理解并掌握線面垂直、面 面垂直的判定及性質定理；熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間 的相互轉化，并能借助定理解
重點
決實際問題；了解旋轉體及柱、錐、球的相關概念及它們所具有的簡單性質； 認識幾何體圖形、會繪制簡單的幾何體；了解簡單幾何體的三視圖，會畫簡單 幾何體的直觀圖；掌握有關柱、錐的側面積計算公式與球的表面積計算公式， 并能靈活運用公式解決實際問題；掌握有關柱、錐、球的體積計算公式，并能 靈活運用公式解決實際問題.
難點
理解平面的三個基本性質及三個推論，并能利用性質解決簡單的線共面、點共 線和線共點問題；理解公理1、2及三個推論成立的條件，即用一個平面應具備 的條件去確定一個平面；了解異面直線所成角的概念；了解二面角的平面角的 概念；了解直線與平面所成角的概念；了解線面垂直、面面垂直的定義；理解 并掌握線面垂直、面面垂直的判定及性質定理；熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的相互轉化，并能借助定理解決實際問題；掌握有關柱、錐的側面積計算公式與球的表面積計算公式和柱、錐、球的體積計算公式.
易錯點
理解并掌握線面平行、面面平行的判定及性質定理；熟練掌握線線平行、線面 平行、面面平行三者之間的相互轉化，并能借助定理解決實際問題；了解二面 角的平面角的概念；了解直線與平面所成角的概念；理解并掌握線面垂直、面面垂直的判定及性質定理；熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的相互轉化，并能借助定理解決實際問題.
知識點1　空間點、線、面之間的位置關系
類型 位置關系 圖形表示 符號表示
點、線位置關系 點在直線上 A∈l
點在直線外 B l
點、面位置關系 點在平面內 A∈α
點在平面外 B α
類型 位置關系 圖形表示 符號表示
線、線位置關系 平行 m∥n
相交 m∩n＝A
異面 —
線、面位置關系 線在面內 m α
類型 位置關系 圖形表示 符號表示
線、面位置關系 線面相交 m∩α＝A
線面平行 m∥α
m∩α＝
面、面位置關系 面面平行 α∥β
α∩β＝
面面相交 α∩β＝l
知識點2　平面的基本性質及推論
性質 內容 圖形表示 符號表示
公理1 經過不在同一條直線 上的三點，有且只有 一個平面 若A，B，C三 點不共線，則存 在唯一平面α， 使得A∈α， B∈α，C∈α
公理2 如果一條直線上有兩 個點在一個平面內， 那么這條直線上的所 有點都在這個平面內 若A，B∈l， A，B∈α，
則l α
性質 內容 圖形表示 符號表示
公理3 如果兩個平面有一個 公共點，那么它們有 且只有一條經過該點 的公共直線 若A∈α， A∈β，則存在唯 一的直線l，使 得A∈l，α∩β ＝l
推論1 經過一條直線和該直 線外一點有且只有一 個平面 若A l，則存在 唯一平面α，使 得A∈α，l α
性質 內容 圖形表示 符號表示
推論2 經過兩條相交直線有 且只有一個平面 若m∩n＝A， 則存在唯一平面 α，使得m α， n α
推論3 經過兩條平行直線有 且只有一個平面 若m∥n，則存 在唯一平面α， 使得m α，n α
　注：畫兩個平面相交時，一定要畫出它們的交線，平面被遮擋部分用虛線表示 或不畫.
例1　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，試用符號語言表示下列點、 線、面之間的位置關系.
（1）點A，A1與直線AB的位置關系；
【解析】 （1）A∈AB，A1 AB.
（2）點A，A1與平面ABCD的位置關系；
【解析】（2）A∈平面ABCD，A1 平面ABCD.
（3）直線AB與AC，AB與CD，AB與D1C的位置關系；
【解析】 （3）AB∩AC＝A，AB∥CD，AB與D1C異面.
（4）直線AB，D1C，A1B1與平面ABCD的位置關系；
【解析】 （4）AB 平面ABCD，D1C∩平面ABCD＝C，A1B1∥平面ABCD.
（5）平面ACD1，A1B1C1D1與平面ABCD的位置關系.
【解析】（5）平面ACD1∩平面ABCD＝AC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD.
【考查目標】 本題考查點、線、面之間的位置關系和符號表示.
【解題技巧】 三種語言的轉換方法：①用文字語言、符號語言表示一個圖形時， 首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系，試著用文字語 言表示，再轉化為符號語言；②根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注 意實線與虛線的區別.
A. A∈m，m∈α B. A m，m α
C. A∈m，m α D. A m，m∈α
C
（2）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC1為體對角線，試用符號語 言表示下列點、線、面間的位置關系.
①點A，A1與直線AD的位置關系；
解：①A∈AD，A1 AD；
②點C，C1與平面BC1D的位置關系；
解：②C 平面BC1D，C1∈平面BC1D；
③直線AB與BD，B1D1與BD，A1B1與BD的位置關系；
解：③AB∩BD＝B，B1D1∥BD，A1B1與BD異面；
④直線AB，B1D1，BD與平面BC1D的位置關系；
解：④AB∩平面BC1D＝B，B1D1∥平面BC1D，BD 平面BC1D；
⑤平面BC1D與平面ABCD，平面BC1D與平面AB1D1的位置關系.
解：⑤平面BC1D∩平面ABCD＝BD，平面BC1D∥平面AB1D1.
例2　（2023屆安徽省“江淮十校”職教高考第二次聯考）對于空間中的三條不 同的直線，有下列四個條件：
①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行；③三條直線有一個公共 點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交.其中，能推出三條直 線共面的條件是（　　）.
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
【考查目標】 本題考查平面的基本性質（公理1、2）及三個推論.
【答案】 B
【解析】 兩條相交直線確定一個平面，由于第三條直線不過前面兩條直線的交 點但又分別與它們相交，所以第三條直線也在這個平面內，①正確；兩兩平行的 三條直線，最多可以確定三個平面，②錯誤；三條直線交于一點，最多可以確定 三個平面，③錯誤；兩條平行直線確定一個平面，由于第三條直線與它們都相 交，所以第三條直線也在這個平面內，④正確.
變式訓練2
A. 四邊形確定一個平面
B. 互相平行的三條直線只能確定一個平面
C. 組成銳角的兩條射線可以確定一個平面
D. 兩點和一條直線只能確定一個平面
C
【解析】因為平面具有平的特征，所以A錯誤，根據平面具有無限延展的特征知 B，C錯誤.
A. 籃球的表面是一個平面
B. 正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD比平面ACC1A1小
D. 平靜的湖面可以看作平面的一部分
D
例3　（2021年安徽省職教高考真題）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，以 下直線與直線BD1異面的是（　　）.
A. A1C B. AC1
C. B1D D. AC
【考查目標】 本題考查空間中兩條直線的位置關系.
【答案】 D
【解析】 因為A1D1∥BC，所以A1，D1，B，C四點共面，所以BD1與A1C共 面.同理，AC1與BD1共面，B1D與BD1共面.
A. 可能是平行直線 B. 一定是異面直線
C. 可能是相交直線 D. 平行、相交、異面直線都有可能
【解析】因為直線a，b異面，所以直線a上任意兩點與直線b上任意兩點不共 面，故不存在平行的直線c，d；當直線c，d與直線a，b中的一條交于同一點 時，直線c，d相交；當直線c，d與直線a，b的交點均不相同時，直線c，d 為異面直線.所以直線c，d可能為相交直線，也可能為異面直線.
C
例4　下列說法正確的是（　　）.
A. 空間中四個點能確定一個平面或四個平面
B. 兩個平面可以只有一個公共點
C. 四邊形的對角線一定相交
D. 已知直線l和平面α，若點A，B，C都在直線l上，且A∈α，B∈α，則 C∈α
【考查目標】 平面的基本性質及推論.
【答案】 D
【解析】 若空間中四個點在一條直線上，則過這四個點的平面有無數個，若四 個點確定的兩條直線相交或平行，則能確定一個平面，若四個點是空間四邊形的 四個頂點，則能確定四個平面，如三棱錐的四個頂點，故A錯；根據公理3“如 果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條經過該點的公共直線”可知B 錯；空間四邊形的對角線是異面直線，所以C錯；根據公理2“如果一條直線上 有兩個點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內”可知l α， 所以C∈α，D正確.
【解題技巧】 熟記并理解平面的三個公理及推論；對于空間四點問題，要分四點 在一條直線上、四點在一個平面內但不共線及四點不共面三種情況.
例5　已知平面α，β，γ兩兩相交，交線分別為直線l，m，n，且l與m不平行， 求證：直線l，m，n相交于同一點.
【考查目標】 本題考查平面的三個基本性質與三個推論的靈活運用.
【解析】 如圖所示，設α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n.
因為l β，m β，且l與m不平行，
所以l與m必相交，設l∩m＝P，
則P∈l，P∈m.因為l α，m γ，所以P∈α，P∈γ，
又因為α∩γ＝n，所以P∈n，故直線l，m，n相交于一點P.
例6　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱 DD1，CC1，AD，BC上的點，若EF，GH交于點M，求證：D，C，M三點 共線.
【考查目標】 本題考查平面基本性質的公理2與公理3的靈活運用.
【解析】 ∵E∈DD1，F∈CC1，DD1 平面CC1D1D，CC1 平面CC1D1D，
∴EF 平面CC1D1D，同理GH 平面ABCD.
∵EF∩GH＝M，∴M∈EF，M∈GH，
∴M∈平面CC1D1D且M∈平面ABCD，
∴點M在平面CC1D1D和平面ABCD的交線上.
又平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，
∴M∈DC，即D，C，M三點共線.
【解題技巧】 ①證明點、線共面，一般先由部分點、線確定一個平面，再證其他 點和線在所確定的平面內；②證明多點共線，通常利用公理3，即兩個相交平面 交線的唯一性，通過證明點分別在這兩個平面內，從而證明點在相交平面的交線 上，還可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在該直線上；③證明三 線共點，可先證明兩條直線交于一點，再證明該交點在第三條直線上.
D
A. 直線BD，AC是異面直線
B. 點E，F，G，H四點共面
C. 直線GH，EF的交點在直線BD上
D. 直線GH，EF是異面直線
（2）已知直線a∥b∥c，a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C. 求證：a，b， c，l四線共面.
證明：因為a∥b，所以能確定一個平面α.
因為a∩l＝A，b∩l＝B，所以A∈α，B∈α.
因為A∈l，B∈l，所以l α.
因為b∥c，所以能確定一個平面β，同理l β.
因為l α，l β，又b α，b β，且l∩b＝B，
所以由經過兩條相交直線有且只有一個平面，可知平面α與平面β重合，
即a，b，c，l四線共面.
A. 三角形 B. 菱形 C. 梯形 D. 四邊形
【解析】三角形、菱形、梯形都是平面圖形，四邊形可能是平面四邊形也可能是 空間四邊形.
A. A∈l B. A∈α C. l α D. l∩α＝A
【解析】直線和平面都可以看成點的集合，點和直線、點和平面之間的關系是元 素與集合的關系，所以A，B正確；直線與平面之間的關系相當于集合之間的關 系，所以C錯誤；直線l與平面α相交于點A，故D正確.
D
C
A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 平行或相交
【解析】由平面的基本性質的推論可知，兩條平行直線或相交直線可以確定一個 平面，所以這兩條直線的位置關系是平行或相交.
D
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】當不共線A，B，C，D四點共面時，A，B，C三點不一定共線，比 如平行四邊形ABCD中，充分性不成立；當A，B，C三點共線時，若D和 A，B，C三點共線，顯然四點是共面的，若D不與A，B，C三點共線，根據 直線和直線外一點確定一個平面可知，這時A，B，C，D四點共面，必要性成 立，故選B.
B
A. 沒有公共點的兩條直線
B. 不相交的兩條直線
C. 不同在任何一個平面內的兩條直線
D. 在兩個不同平面內的兩條直線
A. 相交 B. 平行
C. 異面 D. 以上都有可能
【解析】平行于同一個平面的兩條直線的位置關系不能確定，相交、平行、異面 都有可能，從長方體中都能找到例子.
C
D
A. 異面 B. 相交 C. 平行 D. 平行或異面
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【解析】①和一條直線相交的兩條直線可能在同一平面內也可能異面，所以不正 確；②三條兩兩相交的直線若相交于同一點則可能不共面，所以不正確；③有三 個不同公共點的兩個平面重合或相交，所以不正確；④兩兩平行的三條直線確定 三個平面或一個平面，所以不正確.正確命題的個數是0.
D
D
【解析】假設m∥n，根據m∥a，n∥b可得a∥b，這與直線a，b異面矛 盾，直線m，n相交或異面可在長方體中找到例子.
10. 已知直線a，點A a，則直線a與點A確定的平面有 個.
11. 在四棱錐S－ABCD中，與棱SA異面的棱有 .
【解析】根據過平面外一點和平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線是異 面直線可知與棱SA異面的棱有BC，CD.
相交或
異面
1
BC，CD
12. 給出以下四個命題：①若一條直線在平面外，則直線與平面沒有公共點；② 若一條直線與兩條平行直線都相交，則這三條直線共面；③若兩個平面相交，則 它們只有有限個交點；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線只能確定一個平 面.其中不正確的序號是 .
【解析】①若一條直線在平面外，則直線與平面的位置關系是相交或平行.相交 時，直線與平面有一個交點，故該命題不正確；②若一條直線與兩條平行直線都 相交，則這三條直線共面，由兩條平行直線可以確定一個平面，第三條直線也在 該平面內，故該命題正確；③若兩個平面相交，則它們的交點有無數個，且在同 一條直線上，故該命題不正確；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線確定一個 或三個平面，故該命題不正確.
①③④
三、解答題
13. 用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：三個平面α，β，γ相交于同一點P， 且平面α與平面β相交于直線PA，平面α與平面γ相交于直線PB，平面β與平面γ相 交于直線PC.
解：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
（畫圖略，合理即可，形式不定）
14. 如圖，對于長方體ABCD－A1B1C1D1，回答下列問題：
（1）直線AC是否在平面ABCD內？
解：（1）AC 平面ABCD.
（2）A，A1，C，C1四點是否在同一平面內？
解：（2）因為AA1∥CC1，所以A，A1，C，C1四點在同一平面內.
（3）過直線AD和點B1的平面有多少個？
解：（3）過直線AD和點B1的平面只有一個.
15. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設直線A1C與平面ABC1D1交于 點Q，求證：B，Q，D1三點共線.
證明：連接BD1，A1B和D1C，如圖所示.
因為BD1 平面ABC1D1，BD1 平面BCD1A1，
所以平面ABC1D1∩平面BCD1A1＝BD1.
又因為A1C∩平面ABC1D1＝Q，
所以Q∈A1C，Q∈平面ABC1D1，
而A1C 平面BCD1A1，所以Q∈平面BCD1A1，
所以點Q在平面ABC1D1與平面BCD1A1的交線BD1上，即B，Q，D1三點共線.
16. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為C1D1，B1C1的中點.求 證：B，D，E，F四點共面.
證明：如圖，連接B1D1，因為E，F分別為C1D1，B1C1的中點，
所以EF∥B1D1，又因為B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以B，D，E，F四點共面.

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