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(共41張PPT)
　立體幾何
專題一　點、線、面之間的位置關系
8.2　直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的判定與性質
知識點1　空間線線、線面、面面平行的定義
1. 兩條直線平行的定義：在同一平面內不相交的兩條直線.
2. 空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行，這稱為平行線的傳遞性.
3. 直線與平面平行的定義：如果一條直線與一個平面沒有公共點，那么就稱這條 直線與這個平面平行，即a∩α＝ a∥α，如圖所示.
4. 兩個平面平行的定義：如果兩個平面沒有公共點，那么就稱這兩個平面互相平 行，即α∩β＝ α∥β，如圖所示.
　注：平行直線、平行平面都具有傳遞性.
知識點2　線面平行的判定定理與性質定理
1. 直線與平面平行的判定定理
如果平面外的一條直線與這個平面內的一條直線平行，那么這條平面外直線與這 個平面平行，即m α，n α，m∥n m∥α（即線線平行 線面平行），如圖 所示.
2. 直線與平面平行的性質定理
（1）性質1：如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與已知平面沒有交 點，即m∥α m∩α＝ .
（2）性質2：如果一條直線與一個平面平行，那么經過這條直線的任一平面和這 個平面的交線與這條直線平行，即m∥α，m β，α∩β＝n m∥n（即線面平 行 線線平行），如圖所示.
知識點3　面面平行的判定定理與性質定理
1. 兩個平面平行的判定定理
如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平 行，即a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α（即線面平行 面面平 行），如圖所示.
2. 兩個平面平行的推論
如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩 個平面互相平行，即a β，b β，a∩b＝A，m α，n α，a∥m， b∥n β∥α（即線線平行 面面平行），如圖所示.
3. 兩個平面平行的性質定理
（1）性質1：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么兩條交線互相 平行，即α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b（即面面平行 線線平行），如圖 所示.
（2）性質2：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線必平行于另一個平 面，即α∥β，m α m∥β（即面面平行 線面平行），如圖所示.
例1　（2024年安徽省職教高考真題）在空間中，下列結論正確的是（　　）.
A. 垂直于同一直線的兩條直線一定平行
B. 垂直于同一平面的兩條直線一定平行
C. 平行于同一平面的兩條直線一定平行
D. 沒有公共點的兩條直線一定平行
【考查目標】 本題考查空間中直線與直線的位置關系，尤其是平行關系的判斷.
【答案】 B
【解析】 垂直于同一直線的兩條直線、平行于同一平面的兩條直線還可能相交 或異面，這在長方體中都能找到例子，故A，C錯誤；根據直線與平面垂直的性 質定理可知垂直于同一平面的兩條直線一定平行，故B正確；沒有公共點的兩條 直線也可能是異面直線，故D錯誤.
【解題技巧】 判斷兩條直線是否平行的問題時：①要考慮到空間直線有三種位置 關系：相交、平行、異面，即根據條件想想兩條直線會不會相交或異面，可通過 長方體舉反例；②熟記可判斷兩直線平行的定理：平行于同一條直線的兩條直線 互相平行；垂直于同一平面的兩條直線互相平行；如果一個平面同時和兩個平行 平面都相交，那么它們的交線互相平行.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C
A. 直線m與平面α相交
B. 直線m與平面α平行
C. 直線m在平面α內
D. 直線m與平面α平行或直線m在平面α內
【解析】在長方體中能找到直線m與平面α平行或直線m在平面α內的例子，故D 正確.另解：假設直線m與平面α相交，設交點為A，則A∈m，經過直線l和點 A作平面β，則平面α，β相交，記交線為n，則A∈n，由直線與平面平行的性質 可知l∥n，又因為l∥m，所以可得m∥n，這與m，n交于點A矛盾，故假設 不成立，即直線m與平面α相交不成立.
D
例2　如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC， AB的中點.求證：CM∥平面A1PN.
【考查目標】 本題考查線面平行的判定定理的應用.
【解析】 在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵M，N分別為A1C1，AC的中點，∴A1M＝CN.
又∵A1M∥CN，∴四邊形A1NCM為平行四邊形，∴CM∥NA1.
又∵CM 平面A1PN，NA1 平面A1PN，
∴CM∥平面A1PN.
【解題技巧】 （1）證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內找到一條與已知 直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理（牢記：“看到中 點，想到中位線定理”）、線面平行的性質，或者構造平行四邊形等證明兩直線 平行.利用判定定理時，要注意說明已知的直線不在平面內.
（2）判斷線面平行的方法：①利用線面平行的定義（反證法）；②利用線面平 行的判定定理；③利用面面平行的性質定理.
（3）線面平行的性質和判定定理經常交替使用，也就是通過線線平行得到 線面平行，再通過線面平行得到線線平行.利用線面平行的性質定理解題的 具體步驟如下：①確定（或尋找）一條直線平行于一個平面；②確定（或尋 找）過這條直線且與這個平行平面相交的平面；③確定交線；④由性質定理 得出線線平行的結論.
變式訓練2
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
A. AB∥CD
B. AC∥平面EFGH
C. AC⊥FG
D. 平面ABC⊥平面ACD
C
B
【解析】在四面體ABCD中，AB，CD異面，所以A選項不正確；由三角形中位 線定理可知，AC∥EF，且AC 平面EFGH，EF 平面EFGH，所以AC∥平 面EFGH，所以B選項正確；FG∥BD，而AC與BD不一定垂直，故AC⊥FG 不一定成立，所以C選項不正確；由已知不能得出平面ABC與平面ACD是垂直 關系，所以D選項不正確.
（3）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F分別是 PB，PC的中點，求證：EF∥平面PAD.
證明：如圖，在△PBC中，因為E，F分別是PB，PC的中點，所以EF∥BC.
因為四邊形ABCD為平行四邊形，
所以AD∥BC，所以EF∥AD.
又因為EF 平面PAD，AD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
例3　如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F分別是棱PA，PB，PC的中 點.求證：平面DEF∥平面ABC.
【考查目標】 本題考查面面平行的判定定理.
【解析】 證明：在△PAB中，∵D，E分別是邊PA，PB的中點， ∴DE∥AB.
又∵DE 平面ABC，AB 平面ABC，∴DE∥平面ABC.
同理可證，EF∥平面ABC.
又∵DE 平面DEF，EF 平面DEF，且DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
例4　如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F分別是棱PA，PB，PC上的 點，若平面DEF∥平面ABC，試寫出圖中所有相互平行的直線.
【考查目標】 本題考查面面平行的性質定理.
【解析】 ∵平面DEF∥平面ABC，平面PBC∩平面DEF＝EF，平面PBC∩ 平面ABC＝BC，∴EF∥BC.
同理可得DE∥AB，DF∥AC.
∴圖中相互平行的直線有EF與BC，DE與AB，DF與AC.
【解題技巧】 （1）判定面面平行的常用方法：
①面面平行的定義，即判斷兩個平面沒有公共點；②面面平行的判定定理；③垂 直于同一直線的兩個平面平行；④利用平行平面的傳遞性，即兩個平面同時平行 于第三個平面，則這兩個平面平行.
（2）應用面面平行性質定理的基本步驟：
①定條件：審題，看是否有面面平行；②找平面：找（或作）第三個平面與已知 兩個平面相交；③定交線：確定交線位置；④得平行：得兩條交線互相平行.
（3）數學思想——化歸思想（化歸是指把未知的轉化為已知的，把復雜的轉化 為簡單的……）在這里的運用：要證明面面平行，就要轉化為線面平行；而要證 明線面平行，就要轉化為線線平行（由復雜的向簡單的轉化）.當然，在一些較 為復雜的問題中，有時不是一次性轉化就能完成任務的，而是要進行反復的相互 轉化（將未知的轉化為已知的），方能使問題最終達到解決.
A. 如果l∥m，m α，則l∥α
B. 如果l∥α，α∩β＝m，則l∥m
C. 如果α∥β，l α，m β，則l，m平行或異面
D. 如果l α，m α，l∥β，m∥β，則α∥β
【解析】A選項中，如果直線l α，就得不到l∥α，故A錯誤；直線l與m平行 或異面，故B錯誤；因為α∥β，這兩個平面沒有公共點，再由l α，m β可得 l，m沒有公共點，空間中沒有公共點的兩條直線平行或異面，故C正確；D選項 中，當l，m平行時不一定能得到α∥β，故D錯誤.
C
（2）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝2AB， E，F分別是CD，PC的中點，求證：平面BEF∥平面PAD.
證明：因為CD＝2AB，E為CD的中點，
所以AB＝DE，
又因為AB∥CD，所以四邊形ABED為平行四邊形，
所以BE∥AD.
又因為AD 平面PAD，BE 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
在△PCD中，因為E，F分別是CD，PC的中點，
所以EF∥PD.
又因為PD 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因為BE 平面BEF，EF 平面BEF，且BE∩EF＝E，
所以平面BEF∥平面PAD.
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 平行或相交
【解析】根據平面平行的判定定理可知只有一個平面內的兩條相交直線分別平行 于另一個平面內的兩條直線才能判定這兩個平面平行，因此本題中的條件不能判 定兩個平面平行，即這兩個平面可能平行也可能相交.
D
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 以上均有可能
D
A. 若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合
B. 若兩個平面平行，則在一個平面內的任何一條直線都平行于另一個平面
C. 若兩個平面平行，則分別在兩個平面內的兩條直線平行
D. 若一個平面內有無數條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行
【解析】若兩個平面的三個公共點共線，則這兩個平面也可能相交，選項A錯 誤；當兩個平面平行時，這兩個平面沒有公共點，因此一個平面內的任一條直線 都與另一個平面沒有公共點，所以它們平行，選項B正確；若兩個平面平行，則 兩個平面無公共點，則分別在兩個平面內的兩條直線也無公共點，則這兩條直線 平行或異面，選項C錯誤；若一個平面內有無數條直線平行于另一個平面，推不 出兩個平面平行，兩平面也可能相交，選項D錯誤.
B
A. 一個平面內的所有直線都平行于另一個平面
B. 一個平面內的兩條直線平行于另一個平面
C. 一個平面內的無數條直線平行于另一個平面
D. 一個平面內的一條直線平行于另一個平面
【解析】若一個平面內的所有直線都平行于另一個平面，則這兩個平面沒有公共 點，所以能判斷兩個平面平行，其余三個條件都判斷不出兩個平面平行.
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A. l∥m B. l與m異面
C. l與m相交 D. l∥β
【解析】因為α∥β，所以平面α，β沒有公共點，由l α知l與β沒有公共點，根據 線面平行的定義可得l∥β.
A
D
A. 相交 B. 平行
C. 直線在平面內 D. 平行或直線在平面內
A. 平面A1B1C1∥平面ACD B. 平面BC1D∥平面B1CD1
C. 平面B1D1D∥平面A1BD D. 平面AC1D∥平面ACD1
D
A
A. EF∥CD B. EF∥平面PCD
C. EF∥PD D. EF與PC異面
【解析】由EF∥AB，AB∥CD可知EF∥CD，因為EF 平面PCD，CD 平 面PCD，根據線面平行的判定定理可知EF∥平面PCD，所以A，B正確；PC 是連接平面PAB內一點P和平面外一點C的直線，它與平面PAB內不經過點P 的直線EF是異面直線，所以D正確.
C
二、填空題
10. 正方體ABCD－A1B1C1D1中，與CC1平行的棱有 條，異面的棱 有 條.
【解析】如圖所示，與CC1平行的棱有3條，分別是BB1，AA1，DD1；與CC1異 面的棱有4條，分別是A1B1，AB，A1D1，AD.
3
4
11. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為C1D1和B1C1的中 點，則直線EF與平面BDA1的位置關系是 .
12. 已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β＝l，m β， m∥l，則m與α的位置關系是 .
【解析】因為α∩β＝l，m β，所以m α，l α，再由m∥l結合線面平行的判 定定理，可知m∥α.
EF∥平面BDA1
m∥α
13. 若m，n為空間中兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，給出下列四個 命題：
①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n；
③若m∥α，m β，則α∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.
其中不正確的命題有 .（填序號）
【解析】①若m∥α，n∥α，則m與n平行、相交或異面都有可能；②若 m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n一定成立；③若m∥α，m β，則α與β平行 或相交都有可能；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α與β平行或相交都有可能.
①③④
三、解答題
14. 在三棱錐P－ABC中，點D，E，F分別是棱PA，PB，PC上的點，且PD ＝2DA，PE＝2EB，PF＝2FC，求證：平面DEF∥平面ABC.
15. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，O為AC和BD 的交點，連接AE，CE，BD1.
求證：直線BD1∥平面ACE.
證明：連接OE.
因為O為AC和BD的交點，四邊形ABCD是正方形，
所以O是BD的中點.
又因為E為DD1的中點，
所以在三角形BDD1中，OE∥BD1.
又因為OE 平面ACE，BD1 平面ACE，
所以直線BD1∥平面ACE.
16. 如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面為平行四邊形，E，F分別是AB，CD 的中點，求證：
（1）AF∥EC；
（2）AF∥平面PEC.
證明：（2）因為AF 平面PEC，EC 平面PEC，AF∥EC，
所以AF∥平面PEC.

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