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函數
專題三　常見函數的性質及函數的應用
3.7　常見函數的性質及函數的應用
知識點1　一次函數
1. 一次函數的一般形式為y ＝kx＋b（k≠0），其函數圖像為直線，定義域和值 域都是R.
2. 單調性：當k＞0 時，在R上為增函數；當k＜0時，在R上為減函數.
特別地：（1）當k＞0，b＞0時，圖像經過第一、二、三象限；反之亦成立.
（2）當k＞0，b＜0時，圖像經過第一、三、四象限；反之亦成立.
（3）當k＜0，b＞0時，圖像經過第一、二、四象限；反之亦成立.
（4）當k＜0，b＜0時，圖像經過第二、三、四象限；反之亦成立.
3. 奇偶性：當b≠0時，一次函數y＝kx＋b（k≠0）為非奇非偶函數；當b＝0 時，一次函數為奇函數.
4. 應用一次函數模型求解問題時，應根據實際情況考慮函數的定義域，特別是求 函數的最大（小）值時，要考慮自變量是否有取整的需要.
4. 用待定系數法求二次函數解析式.設解析式一般采用三種形式：
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）頂點式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0），其中（h，k）是頂點坐標；
（3）兩點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1，x2是圖像與x軸 的交點的橫坐標.
5. 應用二次函數的模型解決實際問題時，要根據實際情況考慮函數的定義域，特 別地，求函數最大值或最小值時，用配方法將函數寫成y＝a（x－h）2＋k （a≠0）的形式，再根據函數的單調性得出問題的解.
知識點4　分段函數
1. 在自變量不同的取值范圍內，有不同的對應法則，需要用不同的解析式來表示 的函數叫作分段函數.分段函數的定義域是自變量的各段不同取值范圍集合的并 集，分段函數的值域是自變量在各段不同取值范圍的函數值集合的并集.
2. 求分段函數的函數值f（x0）時，首先應該判斷x0所屬的取值范圍，然后再把 x0 代入相應的解析式中進行計算f（x0）的值.
3. 在已知分段函數的函數值f（x0）后，求對應的自變量x0的值，首先應該 判斷f（x0）所屬的取值范圍，然后再把 f（x0）代入相應的解析式中進行計 算x0的值.
知識點5　指數函數、對數函數的應用
1. 一般地，形如y＝cax（c為常數且c＞0，a＞0且a≠1）的函數模型叫作指數 模型，當a＞1時，該函數模型叫作指數增長模型；當0＜a＜1時，該函數模型叫 作指數衰減模型.
2. 指數函數與對數函數在日常生活中具有廣泛應用，如人口增長問題、商品定價 問題、復利問題、細菌分裂問題和放射性物質衰變問題等.
例1　已知一次函數f（x）＝（m－2）x＋m2－2m－3的圖像不經過第二象限.
（1）求實數m的取值范圍；
（2）若一次函數f（x）是奇函數，求logm9的值.
【解析】 （2）因為f（x）是奇函數，所以m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝ －1（舍去），
所以logm9＝log39＝2.
【解題技巧】 （1）一次函數圖像不經過第二象限，則b≤0且k＞0.
（2）一次函數是奇函數，則b＝0.
【考查目標】 本題考查一次函數的圖像和奇偶性.
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限
（2）一次函數y＝－x＋m與y＝x＋n的圖像相交于點（a，1），則m＋n ＝ 　 　.
【解析】由題意可得－a＋m＝1，a＋n＝1，兩式相加得m＋n＝2.
A
2
例2　某摩托車的油箱最多可存儲5 L汽油，行駛時油箱內的余油量y（L）與行駛 路程x（km）成一次函數關系，其函數圖像如圖所示，求該摩托車加滿油后能行 駛的最遠距離.
【考查目標】 本題考查一次函數的實際應用.
變式訓練2
某種輕質彈簧最大伸長長度是原長度的1倍，在該彈簧下懸掛重物，彈簧的長度 與所掛重物的質量成一次函數關系.當懸掛一個10 g的重物時，測得該彈簧的長度 為14 cm，當懸掛一個20 g的重物時，測得該彈簧的長度為16 cm（彈簧自身質量 忽略不計），請寫出該彈簧長度y（cm）與懸掛重物x（g）之間的函數解析式， 并寫出自變量x的取值范圍.
A. （－1，2） B. （－2，1）
C. （2，－1） D. （－2，－1）
【考查目標】 本題考查反比例函數的奇偶性.
【答案】 D
【解題技巧】 奇函數的圖像關于原點對稱.
例4　記憶在學習過程中發揮著重要作用.因此，關于記憶規律的研究一直很受關 注.德國心理學家艾賓浩斯以自己為實驗對象，對記憶保持量隨著時間的推移而 變化的規律進行了系統研究，并給出了如圖所示的“遺忘曲線”（近似雙曲線的 一支）.用x代表自變量，表示時間（天），y表示記憶保持量.
（1）試根據圖中提供的信息寫出函數解析式；
（2）當x＝5時，求y的值.
【考查目標】 本題考查反比例函數的實際應用.
【解題技巧】 在實際問題中求出的函數解析式一定要注明定義域.
變式訓練4
甲、乙兩市可以乘動車往來，從甲市到乙市乘坐動車的路程為300 km，動車的最 大時速不超過250 km，劉萱同學準備乘動車從甲市到乙市上學.
（1）請寫出從甲市到乙市的乘車時間t（h）與速度v（km/h）之間的函數關 系式；
（2）劉萱同學乘車的時間至少是多少小時？
例5　（2023年安徽省職教高考真題）若f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的偶函數， 則f（x）在區間[－3，2]上的最小值為（　　）.
A. 0 B. 1 C. 9 D. 19
【考查目標】 本題考查二次函數的性質.
【解析】 由f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的偶函數，得a＝0，則函數f（x）＝ 2x2＋1的圖像開口向上，關于y軸對稱，故f（x）在區間[－3，2]上的最小值為 f（0）＝1.
【答案】 B
【解題技巧】 （1）求有關二次函數的最大值與最小值問題時，最好先配方，再 根據單調性求最大值.（2）二次函數在對稱軸兩側單調性相反.
A. 1 B. 1.5 C. 3 D. 0.3
【解析】由配方法，得f（x）＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1.依題意得f （b）＝b，即b＝2b2－4b＋3，解得b＝1.5或b＝1（舍去）.
B
（2）已知函數f（x）＝2x2＋（1－2a）x＋3滿足f（2）＝f（4），求實數a 的值.
（3）已知函數f（x）＝－x2＋4x－2在區間[1，a]上的最大值為2，求實數a的 取值范圍.
解：由配方法，得f（x）＝－x2＋4x－2＝－（x－2）2＋2，函數圖像的對稱 軸方程為x＝2，且f（2）＝2，
又函數在區間[1，a]上的最大值為2，所以a≥2.
故實數a的取值范圍為[2，＋∞）.
（4）已知函數f（x）＝x2－4ax＋3在區間（－∞，1]上是減函數，求實數a的 取值范圍.
解：f（x）＝x2－4ax＋3＝（x－2a）2－4a2＋3，
依題意得2a≥1，即a≥0.5.
所以實數a的取值范圍是[0.5，＋∞）.
例6　某體育用品商店購進一批滑板，每塊滑板的進價為100元，售價為130元， 每星期可賣出80塊滑板.現商家決定降價促銷，根據市場調查，每降價5元，每星 期可多賣出20塊滑板.
（1）求商家降價前每星期的銷售利潤；
【解析】 銷售利潤是每件商品的利潤與銷售量的乘積.每降價5元，多賣出20塊 滑板，則每降價1元，多賣出4塊滑板.
（1）（130－100）×80＝2 400（元）.
（2）降價后，商家若要使每星期的銷售利潤最大，應將售價定為多少元？最大 的銷售利潤是多少？
【解析】 （2）設銷售利潤為y元，售價為x元，
則銷售量為80＋（130－x）÷5×20＝80＋4（130－x）（件）.
y＝[80＋4（130－x）]·（x－100）＝－4x2＋1 000x－60 000＝－4（x－125）2 ＋2 500，
所以當x＝125時，ymax＝2 500.
即售價定為125元時，每星期的銷售利潤最大，最大的銷售利潤是2 500元.
【考查目標】 本題考查利用二次函數求最大值問題.
變式訓練6
將一段長為20 cm的鐵絲剪成兩段，并且以每段鐵絲的長度為周長做成一個正方 形，要使兩個正方形的面積之和等于17 cm2，那么剪成的兩段鐵絲的長度之比 （短比長）是多少？
解得x＝4或x＝16，
所以剪成的兩段鐵絲的長度之比（短比長）為4∶16＝1∶4.
C. －2 D. 2
【考查目標】 本題考查分段函數以及對數的運算.
【答案】 D
【解題技巧】 求分段函數的函數值f（x0）時，首先應該判斷x0所屬的取值范 圍，然后再把x0代入相應的解析式中進行計算f（x0）的值.
A. －2 C. 1 D. 0
B
C. 2
C
例8　某跨海大橋在一般情況下，大橋上的車流速度v（千米/時）是車流密度x （輛/千米）的函數.當橋上的車流密度達到220輛/千米，將造成堵塞，此時車流 速度為0；當車流密度不超過20輛/千米，車流速度為100千米/時.研究表明：當 20≤x≤220時，車流速度v是車流密度x的一次函數；當0＜x≤220時，求函數 v（x）的解析式.
【考查目標】 本題考查分段函數的應用.
【解題技巧】 分段函數的解題步驟：（1）確定分段函數各段自變量的取值范 圍；（2）根據每段自變量中的等量關系列出函數解析式；（3）列分段函數并標 明自變量范圍.
變式訓練8
在相距400 km的A，B兩個城市之間有國道相連（近似直線），現有甲、乙兩人 開車各自從A，B兩城市同時相向出發到對方的城市，其中甲的平均車速約為 120 km/h，乙的平均車速約為80 km/h.請寫出甲、乙兩車的距離y（km）與行駛 時間x（h）之間的函數關系式.
例9　某城市現有人口100萬人，如果年自然增長率為1.2％，試解答下列問題：
（1）寫出該城市x（x∈N*）年后的人口數y（萬人）與x的函數解析式；
【解析】 （1）y＝100×（1＋1.2％）x＝100×1.012x（x∈N*）.
（2）計算10年以后該城市的人口總數；（參考數據：1.01210≈1.127，精確到 0.1萬人）
【解析】（2）當x＝10時，y＝100×1.01210≈112.7（萬人）.
（3）計算大約多少年以后，該城市人口能達到120萬人.（參考數據：lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005，精確到1年）
【解題技巧】 有關增長率（或減少率）的問題實質上是指數模型y＝c·ax問題， 其解析式一般可設為y＝c（1±b％）x的形式，其中c是基本量，“±”表示增 長或減少，b％表示增長或減少的百分數，x表示增長或減少的次數.
【考查目標】 本題考查指數函數與對數函數的實際應用.
變式訓練9
我國是人口大國，糧食安全要時刻牢記，要把飯碗牢牢地端在自己的手中，才是 最安全的.某大型國有農場為了確保糧食穩產增產，對農田的土壤進行科學改良. 已知2023年水稻產量約為1 000噸，改造后預計在未來10年內水稻產量將每年按8 ％的速度增長.
（1）寫出該農場從2024年開始，水稻產量y（噸）與x（年）之間的函數關 系式；
解：（1）水稻產量y（噸）與x（年）之間的函數關系式為
y＝1 000（1＋8％）x＝1 000×1.08x（1≤x≤10，x∈N）.
（2）計算2028年水稻產量.（可能用到的數據：1.086≈1.587，1.085≈1.469， 1.084≈1.360）
解：（2）2028年水稻產量約為1 000×1.085≈1 000×1.469＝1 469（噸）.
例10　某公司為激勵創新，全年投入的研發資金為100萬元，在此基礎上，每年 投入的研發資金比上一年增長10％，則該公司全年投入的研發獎金開始超過200 萬元至少需要（　　）.（參考數據：lg 1.1≈0.041，lg 2≈0.301）
A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年
【考查目標】 本題考查指數函數和對數函數的實際應用.
【答案】 C
【解題技巧】 根據指數增長（衰減）公式：y＝c（1±b％）x，列出相應的指 數方程或不等式.再利用對數求值.
變式訓練10
某商場2023年的銷售額為25萬元，在實行科學管理、優化營銷策略后，每年的銷 售額預計會按10％的幅度增長，照此發展下去，多少年后該商場的銷售額可以翻 兩番（精確到個位）？（可能用到的數據：lg 2≈0.301，lg 11≈1.041）
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
【解析】因為函數y＝－2x＋b在R上是減函數，所以[－2×（－2）＋b]－
（－2×3b＋b）＝16，解得b＝2.
A
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
【解析】因為二次函數f（x）＝ax2－bx＋2b＋3是定義在[－2a－4，4a]上的 偶函數，所以b＝0，且－2a－4＋4a＝0，解得a＝2，故a＋b＝2.
A. 5 B. －5 C. 2 D. 26
【解析】f（－4）＝f（－2）＝f（0）＝－02＋2＝2.
A
C
A. 1.5 m B. 2 m C. 3.3 m D. 4.3 m
C
A. f（x）＝x2＋1 B. f（x）＝x2＋2x
C. f（x）＝2x＋1 D. f（x）＝ cos x＋2x2
A. y＝0.02xa（x∈N*）
B. y＝1.02xa（x∈N*）
C. y＝（1＋0.02x）a（x∈N*）
D. y＝（1＋1.02x）a（x∈N*）
A
B
A. 21 B. －21 C. 3 D. －3
B
A B C D
B
A. [35，40] B. [35，45]
C. [50，60] D. [65，70]
【解析】由題意可得y＝－20x2＋2 200x≥60 000，則x2－110x＋3 000≤0，解 得50≤x≤60.
C
【解析】當m≥0時，2m－1＝7，解得m＝3；當m＜0時，m2＋3＝7，解得m ＝2（舍去）或m＝－2.綜上所述，m＝－2或3.
（－2，4）
3或－2
12. 已知函數f（x）＝ax5＋bx3＋cx＋6，且f（－2）＝7，則f（2）＝ .
【解析】令g（x）＝ax5＋bx3＋cx，顯然g（x）是R上的奇函數，因為f （x）＝g（x）＋6，f（－2）＝g（－2）＋6＝7，所以g（－2）＝7－6＝ 1，所以g（2）＝－g（－2）＝－1，故f（2）＝g（2）＋6＝－1＋6＝5.
13. 已知二次函數f（x）＝ax2＋（a－5）x＋5在（－∞，2]上是減函數，則a 的最大值是 .
5
1
三、解答題
14. 某飲料的保質期T（天）與儲存溫度n（℃）滿足函數關系T（n）＝akn＋b （a＞0且a≠1）.已知該飲料在0 ℃的保質期為270天，在8 ℃的保質期為180 天，則該飲料在24 ℃的保質期是多少天？
15. 對任意x∈R，函數f（x）＝（m－2）x2＋2（m－2）x－4滿足f（x）＜0 恒成立，求實數m的取值范圍.
解得－2＜m＜2，
所以常數m的取值范圍是（－2，2].
16. 某商場去年的銷售額為200萬元，實行崗位責任制后，今年的銷售額預計增加 20％，若按該增長率，則再經過多少年后該商場的年銷售額將達到400萬元？ （參考數據：log1.22≈3.8，精確至1年）
解：設經過x年后該商場的年銷售額達到400萬元.
由題意，可得200（1＋20％）1＋x＝400，
整理得1.21＋x＝2.
即1＋x＝log1.2 2，
所以1＋x≈3.8，x≈2.8.
故再經過3年后該商場的年銷售額將達到400萬元.
17. 已知函數f（x）＝－x2＋bx－3在[－b，b]上的最小值是－11，求實數b 的值.
解得b＝2或b＝－2（舍去）.
18. 某科技公司生產的一種機器狗，其成本為1.5萬元/只，經市場部門調研發 現，若機器狗以2.5萬元/只出售，每年可售出3萬只；若機器狗以3萬元/只出售， 每年可售出2萬只.如果年銷售數量y（單位：萬只）與售價x（單位：萬元/只） 之間是一次函數關系.
（1）求出y與x之間的函數關系式；
（2）如果生產的機器狗都可以銷售完，在無其他因素影響下，售價定為多少 時，所獲取的年利潤最大？最大利潤是多少？

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