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(共42張PPT)
　立體幾何
專題一　點、線、面之間的位置關系
8.4　直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質
知識點1　空間線面、面面垂直的定義
1. 直線與平面垂直的定義
如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面 互相垂直.
2. 平面與平面垂直的定義
兩個平面相交，如果所成的二面角是直角，那么就稱這兩個平面互相垂直.
知識點2　線面垂直的判定定理與性質定理
1. 直線與平面垂直的判定定理
（1）定理1：如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這 個平面垂直，即m α，n α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n l⊥α（線線垂直 線 面垂直），如圖所示.
（2）定理2：如果兩條平行線中有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這 個平面，即m∥n，m⊥α n⊥α，如圖所示.
2. 直線與平面垂直的性質定理
（1）性質1：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與這個平面內的所有 直線都垂直，即l⊥α，m α l⊥m（線面垂直 線線垂直），如圖所示.
（2）性質2：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線互相平行，即 l⊥α，m⊥α l∥m（線面垂直 線線平行），如圖所示.
知識點3　面面垂直的判定定理與性質定理
1. 兩個平面垂直的判定定理
如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即l⊥α， l β β⊥α（線面垂直 面面垂直），如圖所示.
2. 兩平面垂直的性質定理
如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個 平面，即α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m l⊥α（面面垂直 線面垂直），如圖 所示.
例1　下列四個命題中，正確的是（　　）.
A. 若直線l與平面α內無數條直線都垂直，則l⊥α
B. 若過一點作已知直線的垂面，則有且只有一個平面
C. 若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線都垂直于另一個平面
D. 若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β
【考查目標】 本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理.
【答案】 B
【解析】 選項A中，直線l與平面α內無數條直線都垂直，當平面α內的這些直線 互相平行時，此時直線l可能與平面α平行，可能在平面α內，也可能與平面α相 交但不垂直；選項C中，如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們 交線的直線與另一個平面垂直，否則不垂直；選項D中，若平面α內的一條直線 垂直于平面β內的無數條直線，當平面β內的這些直線互相平行時，則平面α內的 該條直線不一定垂直于平面β，所以兩平面不一定垂直.
例2　如圖所示，直線PA垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面，C為圓上異于 A，B的任意一點.求證：
（1）BC⊥平面PAC；
【解析】 （1）因為直線PA⊥平面ABC，且BC 平面ABC，所以BC⊥PA.
因為C為圓上異于A，B的任意一點，AB為直徑，所以BC⊥AC.
又因為PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
（2）PC⊥BC.
【解析】 （2）由（1）可知BC⊥平面PAC，且PC 平面PAC，所以 PC⊥BC.
【考查目標】 本題考查線面垂直的判定定理和性質定理的具體應用.
【解題技巧】 （1）證明直線和平面垂直的常用方法：
①利用線面垂直的判定定理；
②利用直線垂直于平面的傳遞性（m∥n，m⊥α n⊥α）；
③利用面面平行的性質（m⊥α，α∥β m⊥β）；
④利用面面垂直的性質定理.
（2）證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需要借助于線面 垂直的性質.因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想.
A. PA⊥AB B. PA⊥AC
C. BC⊥平面PAB D. AB⊥平面PBC
D
【解析】因為PA⊥平面ABC，且AB 平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面 ABC，且PA∩AB＝A，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC. 又因為∠ABC ＝90°，所以BC⊥AB，且PA∩AB＝A，故A，B，C均正確.而AB⊥平面 PBC錯誤，因為在△PAB中，AB與PB不是垂直關系.
（2）如圖所示，在三棱錐S－ABC中，若AC＝SC，AB＝SB. 求證： SA⊥BC.
證明：取SA的中點D，連接BD，CD.
因為AC＝SC，AB＝SB，
所以BD⊥SA，CD⊥SA.
又因為BD∩CD＝D，BD 平面BCD，CD 平面BCD，
所以SA⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，故SA⊥BC.
例3　（2025屆安徽省“江淮十校”職教高考第二次聯考）如圖所示，四棱錐P －ABCD的底面為正方形，若PA⊥平面ABCD，則下列結論中正確的有 （　　）個.
①PA⊥BD　②BC∥平面PAD　③BD⊥平面PAC　④平面PBD⊥平面PAC
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【考查目標】 本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系的判斷.
【答案】 D
【解析】 因為PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，故①正 確；因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，因為BC 平面PAD，AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD，故②正確；因為四邊形ABCD為正方形，所 以BD⊥AC，又因為BD⊥PA，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面 PAC，所以BD⊥平面PAC，故③正確；因為BD 平面PBD，BD⊥平面 PAC，所以平面PBD⊥平面PAC，故④正確.綜上所述，正確的結論有4個.
【解題技巧】 解這類位置關系的判斷問題，關鍵是熟知有關定理的條件和結論. 如線面平行的判定中要注意一條直線在平面外，一條直線在平面內；線面垂直的 判定中要注意一條直線垂直于平面內的兩條相交直線，“相交直線”是關鍵詞.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
【解析】已知直線l⊥平面α，直線m 平面β，①若α∥β，而l⊥α，則l⊥β，又 因為m β，則l⊥m成立；②若α⊥β，則l∥β或l β，所以l∥m不一定成立； ③若l∥m，則m⊥α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β成立；④l⊥m時，α⊥β 不一定成立.
C
A. 1對 B. 2對 C. 3對 D. 4對
C
【解析】如圖，因為DA⊥平面ABC，所以平面DAC⊥平面ABC，平面DAB⊥ 平面ABC. 又因為DA⊥平面ABC，AB⊥AC，所以直線AB⊥平面DAC，所 以平面DAB⊥平面DAC.
例4　（2022年安徽省職教高考真題）如圖，在三棱錐O－ABC中，OA，OB， OC兩兩垂直，則下列判斷正確的是（　　）.
A. △ABC是等邊三角形
B. △OAB是等腰三角形
C. 平面OAB⊥平面ABC
D. 平面OAB⊥平面OBC
【答案】 D
【解析】 ∵OA，OB，OC不一定相等，∴選項A，B錯誤；∵OA⊥OB且 OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，又OA 平面OAB，∴平面 OAB⊥平面OBC.
【考查目標】 本題考查直線與平面、平面與平面的位置關系.
【解題技巧】 （1）證明面面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判 定定理.
（2）已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的 垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.
（3）面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據.當要作一個平面的一條垂 線時，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可.
（4）化歸思想在這里的運用：要證明面面垂直，就要轉化為線面垂直；而要證 明線面垂直，就要轉化為線線垂直（由復雜的向簡單的轉化）.當然在一些較為 復雜的問題中，有時不是一次性轉化就能完成任務的，而是要進行反復的相互轉 化（將未知轉化為已知），方能使問題最終得到解決.牢記這一轉化思想，許多 復雜的問題都能輕松解決.
變式訓練3
A. AE⊥D1F B. DE⊥D1F
C. AE⊥BC D. DE⊥BC
D
【解析】如圖，易知BC∥AD，BC 平面ADE，則BC∥平面ADE. 在正方體 中，又BC⊥平面ABB1A1，AE 平面ABB1A1，所以BC⊥AE. 因為AE∩DE ＝E，所以BC不可能與DE垂直，否則BC既與平面ADE平行，又與平面ADE 垂直，所以D項錯誤.
A. MN∥平面PAD B. PA∥MN
C. MN⊥平面PCD D. PC⊥MN
A
【解析】取CD中點F，連接MF，NF，因為MF∥AD，NF∥PD，MF∩NF ＝F，AD∩PD＝D，所以平面NMF∥平面PAD，故MN∥平面PAD；取BP 中點Q，連接MQ，則PA∥MQ，因為MN∩MQ＝M，所以MN與PA異面； 僅根據題給條件，無法判斷MN與平面PCD、PC與MN的位置關系.
A. PB⊥AD
B. AC⊥平面PBD
C. AC⊥平面PBC
D. 平面PAC⊥平面PBD
C
【解析】因為PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AD，PB⊥AC，又因為底面 ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又因為PB∩BD＝B，PB 平面PBD，BD 平面PBD，所以AC⊥平面PBD，由AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面 PBD，A，B，D項正確.若AC⊥平面PBC，則平面PBC∥平面PBD，但平面 PBC與平面PBD相交，C項錯誤.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
A. m α B. 直線l與m異面
C. m⊥l D. m β
【解析】在平面α內過點P作直線n⊥l（n，l相交），根據面面垂直的性質定 理可知n⊥β，因為過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直，所以直線 m，n重合，所以m α，m⊥l成立，直線l與m異面不成立，由m⊥β知m β 成立.
B
A. 相交 B. 平行 C. 異面 D. 以上均有可能
【解析】在空間中，若a⊥b，b⊥c，則直線a與c平行、相交、異面均有可 能.
A. 平面OBC B. 平面OAC
C. 平面OAB D. 平面ABC
D
A
A. 直線AB與直線DF垂直 B. 直線AC與平面DEF相交
C. 直線AC與直線DE垂直 D. 直線AC與平面DEF平行
【解析】在△ABC中，因為AE＝2EB，BF＝2FC，且EF與AC在同一平面 內，所以EF不平行于AC，即EF與AC相交，故直線AC與平面DEF相交.
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
C
A. 平面α上有無數條直線與直線l異面垂直
B. 平面α上與直線l垂直的直線互相平行
C. 平面α上任意一條直線都與直線l垂直
D. 平面α上有無數條直線與直線l垂直
【解析】平面α上與直線l垂直的直線可能平行，也可能相交.
A. 若m∥α，n∥α，則m∥n B. 若m⊥α，n∥m，則n⊥α
C. 若m⊥α，m⊥n，則n⊥α D. 若m∥α，n⊥m，則n⊥α
B
B
二、填空題
9. 已知點P為30°的二面角α－l－β的半平面α內一點，且點P到l的距離為6， 則點P到平面β的距離為 .
10. 在空間中，若l⊥α，m α，則l與m的位置關系是 .
3
相交或異面
11. 如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，在四面體A1－ABC的四個面中，直角 三角形的個數是 .
4
【解析】如圖，由正方體的性質可知∠ABC＝∠A1AB＝90°；而由CB⊥平面 A1AB，可得BC⊥A1B；由A1A⊥平面ABC，可得A1A⊥AC，所以四面體A1 －ABC的四個面，每個都是直角三角形.
三、解答題
12. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：直線B1C⊥平面ABC1D1.
證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
易知AB⊥平面BCC1B1，
所以AB⊥B1C.
在正方形BCC1B1中，BC1⊥B1C.
又因為AB和BC1相交且都在平面ABC1D1內，
所以直線B1C⊥平面ABC1D1.
13. 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，連接AC，BD， AC與BD交于O點，且PA＝PC，PB＝PD. 求證：
（1）直線PO⊥平面ABCD；
證明：（1）如圖，在△PAC中，因為PA＝PC，
所以PO⊥AC，同理PO⊥BD.
又因為AC∩BD＝O，且AC 平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以直線PO⊥平面ABCD.
（2）平面PAC⊥平面PBD.
證明：（2）由（1）知，PO⊥AC，因為四邊形ABCD為菱形，
所以BD⊥AC.
又因為PO∩BD＝O，且PO 平面PBD，BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
又因為AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.
14. 如圖所示，在正三棱錐P－ABC中，O為AC的中點.求證：
（1）AC⊥平面POB；
證明：（1）在正三棱錐P－ABC中，易知△PAC是等腰三角形.
又因為O為AC的中點，所以AC⊥PO.
因為△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.
因為PO與OB相交且都在平面POB內，
所以AC⊥平面POB.
（2）平面POB⊥平面ABC.
證明：（2）由（1）知，AC⊥平面POB，且AC在平面ABC內，所以平面 POB⊥平面ABC.

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