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(共72張PPT)
　立體幾何
專(zhuān)題一　點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
8.3　直線與直線、直線與平面、平面與平面所成的角
知識(shí)點(diǎn)2　異面直線所成的角
1. 異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.
2. 異面直線的畫(huà)法（襯托平面法）
如圖所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái) 襯托.
3. 判斷兩條直線為異面直線的方法
（1）異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò) 該點(diǎn)的直線是異面直線.
（2）兩條直線既不平行也不相交.
4. 異面直線所成角的定義
已知空間中兩條異面直線a，b，如圖1所示，經(jīng)過(guò)空間中任意—點(diǎn)O，作直線 a1∥a，b1∥b，把直線a1與b1的夾角θ（銳角或直角），叫作異面直線a，b所 成的角，如圖2所示.
在作異面直線a與b所成的角時(shí)，常在其中的一條直線上取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作另 一條直線的平行線，如圖3所示.
知識(shí)點(diǎn)3　異面直線的公垂線
1. 兩條異面直線的公垂線的定義：與兩條異面直線同時(shí)垂直且相交的直線稱為這 兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線有且只有一條.
2. 兩條異面直線的距離的定義：兩條異面直線的公垂線夾在兩條異面直線 之間的部分，稱為這兩條異面直線的公垂線段，公垂線段的長(zhǎng)度稱為兩條異 面直線的距離.
3. 求兩條異面直線距離的方法：
（1）能找到公垂線段，直接計(jì)算；
（2）找不到公垂線段可以采用以下的方法：
方法一，找經(jīng)過(guò)異面直線中的某一條直線的平面與另一條直線平行，求線與面的 距離；
方法二，找經(jīng)過(guò)異面直線中的每一條直線的平行平面，求面與面的距離.
知識(shí)點(diǎn)4　等角定理
等角定理：如果兩條相交直線l1與l2分別平行于另外兩條相交直線l'1與l'2，那么l1 與l2所成的角和l'1與l'2所成的角相等.
等角定理推論：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么
（1）若角的兩邊射線方向完全相同或相反，則兩個(gè)角相等；
（2）若角的兩邊射線方向一邊相同另一邊相反，則兩個(gè)角互補(bǔ).
知識(shí)點(diǎn)5　直線與平面所成的角
1. 平面的垂線：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么 就稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直.這條直線叫作這個(gè)平面的垂線，這個(gè)平 面叫作這條直線的垂面，直線與平面的交點(diǎn)叫作垂足，垂線上任意一點(diǎn)到垂 足之間的線段，叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段.如圖所示，直線l叫作平面α 的垂線，點(diǎn)O叫作垂足.
2. 平面的斜線：如果一條直線和一個(gè)平面相交但不垂直，那么這條直線叫作這個(gè) 平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫作斜足.如圖所示，直線m叫作平面α的斜線， 點(diǎn)B叫作斜足.
3. 射影：經(jīng)過(guò)斜線上除斜足以外的一點(diǎn)向平面作垂線，過(guò)垂足與斜足的直線叫作 斜線在這個(gè)平面上的射影.如圖所示，直線m叫作平面α的斜線，直線AO叫作平 面α的垂線，直線OB叫作斜線m在平面α內(nèi)的射影.
知識(shí)點(diǎn)6　二面角
1. 半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半 平面.
2. 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角.這條直線叫 作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面.如圖所示，兩圖中的二面角可分 別記作二面角α－l－β和二面角B－AC－D.
3. 二面角的平面角
如圖所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足分別在半平面α與 β內(nèi)作OM⊥l，ON⊥l，則射線OM和ON所成的最小正角∠MON叫作二面角 的平面角.
二面角的大小用它的平面角的大小來(lái)度量的，規(guī)定：當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合 時(shí)，二面角為零角；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面構(gòu)成一個(gè)平面時(shí)，二面角為平角；平 面角是直角的二面角叫作直二面角.
4. 二面角的范圍：[0，π].
例1　如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則以下直線中與直線CC1異面 的是（　　）.
A. A1C B. AC1
C. BD1 D. AC
【考查目標(biāo)】 本題考查異面直線的概念及判定方法.
【解析】 由圖可知，直線A1C，AC1，AC都與直線CC1相交，連接CD1和 A1B，由異面直線的判定定理可知CC1與BD1是異面直線.
【答案】 C
【解題技巧】 判定空間中兩條直線是異面直線的方法：利用判定定理或用反證法 來(lái)證明.
A. 只要在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線
B. 只要兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)就是異面直線
C. 一條直線與平面相交，在平面內(nèi)的任意的一條直線都與該直線成異面直線
D. 異面直線一定不是共面直線
D
例2　（2023年安徽省職教高考真題）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下 列直線中與直線BD所成的角為60°的是（　　）.
A. A1B1 B. A1C1 C. A1A D. B1C
【考查目標(biāo)】 本題考查空間幾何體中直線與直線所成的角.
【答案】 D
【解析】 因?yàn)锳1B1∥AB，所以直線A1B1與直線BD所成的角即為∠ABD＝ 45°；因?yàn)锳1C1∥AC，所以直線A1C1與直線BD所成的角即直線AC與直線 BD所成的角，因?yàn)锳C⊥BD，所以直線A1C1與直線BD所成的角為90°；因?yàn)?A1A∥BB1，所以直線A1A與直線BD所成的角即為∠B1BD＝90°；連接 A1D，A1B. 因?yàn)锳1D∥B1C，所以直線B1C與直線BD所成的角即為 ∠A1DB，又△A1DB為等邊三角形，故∠A1DB＝60°.
①利用圖中已有的平行線平移；
②利用特殊點(diǎn)（線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)）作平行線平移；
③補(bǔ)形平移（在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線）.
【解題技巧】 （1）求兩條異面直線所成的角的常用方法是平移法，平移法一般 有三種類(lèi)型：
變式訓(xùn)練2
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
D
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】如題圖，因?yàn)锳1B∥CD1，所以異面直線A1B與AD1所成的角即為直線 AD1與CD1的夾角，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因?yàn)椤鰽CD1為正三角形， 所以直線AD1與CD1的夾角為60°，故異面直線A1B與AD1所成的角是60°.
C
A
例3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BC1，求直線BC1與平面 ABCD所成的角的大小.
【考查目標(biāo)】 本題考查直線與平面所成的角的概念及求法.
【解析】 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵C1C⊥平面ABCD，
∴斜線BC1在平面ABCD內(nèi)的射影為BC，
∴直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC.
∵BC＝CC1，∠C1CB＝90°，∴△C1BC為等腰直角三角形，
∴∠C1BC＝45°，即直線BC1與平面ABCD所成的角的大小為45°.
【解題技巧】 求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影，直線與 射影的夾角即為直線與平面所成的角.
B. 2
D
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
B
例4　下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）.
A. 過(guò)一條直線的兩個(gè)平面所成的角叫作二面角
B. 二面角的大小是根據(jù)它的平面角的大小來(lái)度量的
C. 二面角的范圍是[0，π]
【考查目標(biāo)】 本題考查二面角的概念.
【解析】 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角.其中，這條直 線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面.
【答案】 A
變式訓(xùn)練4
A. 過(guò)棱上一點(diǎn)分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)各畫(huà)一條射線，則兩條射線所構(gòu)成 的角就是二面角的平面角
B. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∠D1AB1是二面角D1－AA1－B1的平面角
C. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A與二面角A1－BD－C的 平面角互余
D. 根據(jù)等角定理知，一個(gè)二面角的平面角可以有無(wú)數(shù)個(gè)，且都相等
D
【解析】過(guò)棱上一點(diǎn)要分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作與棱垂直的射線，兩條射線所構(gòu)成 的角就是二面角的平面角，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)镈1A1⊥AA1，A1B1⊥AA1，二面角 D1－AA1－B1的棱是直線AA1，根據(jù)二面角的平面角的定義，可知∠D1A1B1是 二面角D1－AA1－B1的平面角，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接 A1O，則二面角A1－BD－A的平面角是∠A1OA，二面角A1－BD－C的平面 角是∠A1OC，而∠A1OA＋∠A1OC＝180°，即兩個(gè)二面角的平面角互補(bǔ)，故 C項(xiàng)錯(cuò)誤.
例5　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角C－BD－C1的正切值 為 　　　　.
【考查目標(biāo)】 本題考查二面角的平面角的正切值.
【解題技巧】 （1）求二面角大小的方法：
①定義法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作與棱垂直的射線， 這兩條射線組成的角就是二面角的平面角；
②垂面法：作垂直于二面角的棱的垂面，則該垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交線 所成的角就是二面角的一個(gè)平面角；
③垂線法：在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)取一點(diǎn)作出另一個(gè)半平面的垂線，過(guò)垂足作 棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角.
（2）一般來(lái)說(shuō)，只有相交直線才說(shuō)夾角，而異面直線、線面、面面間都只說(shuō)所 成的角，盡量不要混用.
（3）化歸思想在這里的運(yùn)用：無(wú)論是求異面直線所成的角，還是線面所成的 角，或者是面面所成的角，都要轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角來(lái)進(jìn)行計(jì)算（由復(fù)雜向簡(jiǎn) 單的轉(zhuǎn)化）.
變式訓(xùn)練5
B
A. AC⊥平面BB1D1D
B. BD∥CD1
C. 二面角A－DD1－B的大小是45°
D. 異面直線BD與CD1所成的角的大小是60°
【解析】由正方體的性質(zhì)，知AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD 平面BB1D1D， BB1 平面BB1D1D，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，A項(xiàng)正確；因 為BD∥B1D1，B1D1∩CD1＝D1，所以直線BD與直線CD1是異面直線.連接 B1C，則△B1CD1為等邊三角形，所以異面直線BD與CD1所成的角的大小是 60°，B項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；由正方體的性質(zhì)，易知二面角A－DD1－B的平面 角為∠ADB＝45°，所以二面角A－DD1－B的大小是45°，C項(xiàng)正確.
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
C
例6　如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn).
（1）找出異面直線DD1與AC的公垂線，并求出兩條異面直線的距離；
（2）求異面直線EC與DD1之間的距離.
【考查目標(biāo)】 本題考查異面直線的公垂線的定義和兩條異面直線的距離.
A. 與兩條異面直線同時(shí)垂直的直線是這兩條異面直線的公垂線
B. 與兩條異面直線同時(shí)相交的兩條直線一定是異面直線
C. 兩條異面直線的公垂線有且只有一條
D. 兩條異面直線的公垂線可能有一條也可能有兩條
【解析】與兩條異面直線同時(shí)垂直且相交的直線稱為這兩條異面直線的公垂線， 且兩條異面直線的公垂線有且只有一條，故A，D項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)正確；與兩條異 面直線同時(shí)相交的兩條直線可能相交，也可能異面，B項(xiàng)錯(cuò)誤.
C
A. BB1 B. CC1
C. AA1 D. DD1
【解析】?jī)蓷l異面直線的公垂線夾在兩條異面直線之間的部分，稱為這兩條異面 直線的公垂線段，故D項(xiàng)正確.
D
A. 如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，且角的兩邊射線方向完全相 同或相反，那么這兩個(gè)角相等
B. 如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
C. 平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角是保持不變的，其蘊(yùn)含 的主要數(shù)學(xué)原理是等角定理
D. 如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互余
D
【解析】由等角定理推論：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行；那么 （1）若角的兩邊射線方向完全相同或相反，則兩個(gè)角相等；（2）若角的兩邊射 線方向一邊相同另一邊相反，則兩個(gè)角互補(bǔ).可以知道，A，B項(xiàng)正確，D項(xiàng)不正 確，根據(jù)等角定理知C項(xiàng)正確.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2.B
【解析】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，所以異面直線MN 與CC1所成的角即為直線AA1與MN的夾角∠A1MN；又因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為 AA1，A1B1的中點(diǎn)，所以△A1MN為等腰直角三角形，即∠A1MN＝45°.故直 線MN與直線CC1所成的角等于45°.
A. 相交 B. 平行 C. 異面 D. 以上都有可能
【解析】以正方體為例說(shuō)明，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB1，DC1與平 面ABCD所成的角均為45°，AB1∥DC1；AB1，B1C與平面ABCD所成的角均 為45°，AB1與B1C相交；AB1，D1C與平面ABCD所成的角均為45°，AB1與 D1C異面.
D
C
A. 1
D
A. 兩條異面直線所成角的范圍是[0°，90°]
B. 直線與平面所成的角的范圍是[0°，90°]
C. 斜線與平面所成的角的范圍是（0°，90°）
D. 二面角的大小范圍是[0°，180°]
【解析】根據(jù)兩條異面直線所成角的定義可知，兩條異面直線所成的角不可能是 0°，如果是0°，這兩條直線就平行或重合，與異面矛盾.根據(jù)直線與平面所成 角的定義及二面角的概念可知B，C，D正確.
A
C
D
二、填空題
第9題圖
10. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD1與平面ABCD所成角的余弦 值為 .
第10題圖

11. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AD1C1B與平面ABB1A1所成 的角為 .
第11題圖
45°
12. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BC1的中點(diǎn)，則二面角D －BC1－C的正切值為 .
第12題圖
三、解答題
解：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OC1.
在正方形ABCD中，易知OC⊥BD.
在等腰△BDC1中，OC1⊥BD，
因?yàn)镺C 平面BCD，OC1 平面BC1D，
平面BCD∩平面BC1D＝BD，
所以∠COC1是二面角C－BD－C1的平面角.
又因?yàn)?°＜∠COC1＜90°，
所以∠COC1＝30°，
即二面角C－BD－C1的大小為30°.
14. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求直線A1B與平面BDD1B1所成 角的大小.
解：連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.
在正方形A1B1C1D1中，易知A1C1⊥B1D1，即A1O⊥B1D1.
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1O 平面 A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1O.
又因?yàn)锽B1∩B1D1＝B1，BB1 平面BDD1B1，B1D1 平面BDD1B1，
所以A1O⊥平面BDD1B1，
所以∠A1BO是直線A1B與平面BDD1B1所成的角.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，
又因?yàn)?°＜∠A1BO＜90°，
所以∠A1BO＝30°.
即直線A1B與平面BDD1B1所成角的大小為30°.
解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，DE，
因?yàn)锳C＝BC，所以CE⊥AB.
又因?yàn)镈C⊥平面ABC，所以DC⊥AC，DC⊥BC，
故在等腰三角形DAB中，DE⊥AB.
又因?yàn)镈E 平面DAB，CE 平面CAB，
平面DAB∩平面CAB＝AB，
所以∠DEC為二面D－AB－C的平面角.
因?yàn)镈C⊥平面ABC，CE 平面ABC，
所以DC⊥CE，
又因?yàn)?°＜∠DEC＜90°，
所以∠DEC＝45°，
即二面角D－AB－C的大小是45°.

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