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　立體幾何
專題二　空間幾何體
8.5　空間幾何體及其表面積和體積
知識點1　空間幾何體的定義和特征
1. 多面體
（1）多面體
由若干個平面多邊形圍成的封閉的幾何體稱為多面體.
圍成多面體的各個多邊形稱為多面體的面，相鄰的兩個面的公共邊稱為多面體的 棱，棱與棱的公共點叫作多面體的頂點.
（2）棱柱
①概念：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個面的交線都互 相平行的多面體叫作棱柱.
棱柱的兩個互相平行的面稱為棱柱的底面；其余各面稱為棱柱的側面；相鄰兩個 側面的公共邊稱為棱柱的側棱；側棱與底面的交點叫作棱柱的頂點；不在同一平 面上的兩個頂點的連線叫作棱柱的對角線；兩個底面間的距離稱為棱柱的高.
②直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱稱為直棱柱.
③斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱.
④正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.
⑤正棱柱的主要性質：
a.兩個底面是平行且全等的正多邊形；
b.側面都是全等的矩形；
c.側棱互相平行并垂直于底面，各側棱都相等，側棱與高相等.
（3）棱錐
①概念：有一個面是多邊形，其余各面是三角形，且這些三角形有一個公共點， 我們稱這樣的多面體為棱錐.
這個多邊形稱為棱錐的底面（簡稱底）；其余各面稱為棱錐的側面；各側面的公 共點稱為棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊稱為棱錐的側棱；頂點到底面的距離稱 為棱錐的高.
②正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面內的投影是底面中心的棱錐稱為正棱 錐，正棱錐側面三角形的高稱為棱錐的斜高.
③正棱錐的性質：
a.各條側棱相等，斜高相等，側面是全等的等腰三角形；
b.頂點到底面中心的連線垂直于底面，是正棱錐的高；
c.正棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影構成一個直角三角形，正棱錐的高、 側棱和側棱在底面的投影構成一個直角三角形.
2. 旋轉體
（1）旋轉體
一般地，一條平面曲線繞著它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面稱為旋 轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體稱為旋轉體.這條定直線稱為旋轉體的軸，這 條曲線稱為旋轉體的母線.
（2）圓柱
以矩形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余各邊繞軸旋轉所形成的封閉幾何體稱為 圓柱.
旋轉軸稱為圓柱的軸.垂直于軸的邊旋轉形成的圓面稱為圓柱的底面.平行于軸的 邊稱為圓柱的母線，母線旋轉而成的曲面稱為圓柱的側面.兩個底面圓心之間的 距離叫作圓柱的高.
圓柱的性質：
①兩個底面是半徑相等且平行的圓，平行于底面的橫截面是與底面相同的圓；
②母線平行且相等，都等于圓柱的高；
③過軸的截面（軸截面）是矩形，且該矩形的相鄰的兩條邊長分別為圓柱的高和 底面的直徑.
（3）圓錐
以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸，其余各邊繞軸旋轉形成的封閉的幾何 體稱為圓錐.
這條軸稱為圓錐的軸.另一條直角邊旋轉所形成的圓面稱為圓錐的底面.斜邊旋轉 而形成的曲面稱為圓錐的側面，這條斜邊叫作圓錐的母線.母線與軸的交點稱為 頂點.頂點到底面圓心的距離稱為圓錐的高.
圓錐的性質：
①平行于底面的截面都是圓；
②高垂直于底面圓，且過圓心；
③軸截面為等腰三角形，高為圓錐的高，腰是圓錐的母線，底邊是底面圓的 直徑.
注：①截面：用平面截一個幾何體所得到的面.
②軸截面：經過旋轉軸的截面.
知識點2　柱、錐和球的表面積與體積
幾何體 側面積公式 表面積（全面積） 公式 體積公式
圓柱 S側＝ch＝2πrh S全＝S側＋2S底 V＝S底h＝πr2h
圓錐 S全＝S側＋S底
棱柱 S側＝ch S全＝S側＋2S底 V＝S底h
正棱錐 S全＝S側＋S底
球 — S表＝4πR2
其中，c表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）底面的周長，r表示圓柱（或圓錐） 底面圓的半徑，h表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）的高，l表示圓錐的母線，h' 表示正棱錐的斜高，R表示球的半徑，S全或S表表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱 錐、球）的全（或表）面積，S底表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）的底面積，S 側表示圓柱（或圓錐、棱柱、棱錐）的側面積，V表示體積.
例1　（2020年安徽省職教高考真題）下列幾何體中，為旋轉體的是（　　）.
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
【考查目標】 本題考查旋轉體的概念和對常見旋轉體的識別.
【解析】 圓柱、圓錐和球為常見的旋轉體.理解多面體和旋轉體的區別即可做出 選擇.
【答案】 C
A. 一個圓柱 B. 一個圓錐
C. 一個圓臺 D. 兩個圓錐的組合體
D
例2　給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.
其中正確命題的個數是（　　）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【考查目標】 本題考查空間幾何體的定義和特征.
【答案】 A
【解析】 對于①，在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線不一 定是圓柱的母線，故①錯；對于②，有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的 幾何體不一定是棱錐，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是 有一個公共頂點的三角形”，故②錯誤；對于③，棱臺的上、下底面互相平行且 是相似圖形，各側棱的延長線交于一點，正棱臺的側棱長一定相等，故③錯.
A. 平行四邊形 B. 矩形
C. 三角形 D. 正方形
【解析】沿圓柱的一條母線將圓柱側面展開在一個平面上所得的圖形稱為圓柱的 側面展開圖，它是一個矩形.
A. ①② B. ①④
C. ②③ D. ③④
B
B
【解析】直棱柱的定義是側棱與底面垂直，所以側棱長和高相等，故命題①正 確；有兩個側面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，命題②說法不正確；底面為正多 邊形的棱柱不一定是正棱柱，還要滿足側棱與底面垂直，故命題③不正確；根據 正棱柱的定義知，正棱柱的所有側面都是全等的矩形，故命題④正確.
例3　（2022年安徽省職教高考真題）如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為 1，E，F分別為A'B'，C'D'的中點，則三棱柱BB'E－CC'F的體積為（　　）.
【考查目標】 本題考查棱柱的體積計算.
【答案】 C
【解題技巧】 ①了解棱柱、直棱柱、正棱柱的區別與聯系，厘清它們之間 的關系.
②掌握正棱柱的性質：底面是正多邊形；側棱與底面垂直，即側棱與高相等.
③如果幾何體是不規則的幾何體，但能分解成幾個規則的幾何體，要分別求表面 積和體積，在求表面積時注意里面被相互遮擋的面（也就是從表面看不到的面） 的面積要減掉.
變式訓練3
A. 100 B. 84 C. 80 D. 64
C
例4　（2017年安徽省職教高考真題）如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱 長為1，則三棱錐A1－BCD的體積為（　　）.
【考查目標】 本題考查三棱錐體積公式的應用.
【答案】 C
【解題技巧】 ①了解棱錐、正棱錐與正多面體的概念，清楚正三棱錐和正四面體 的區別和聯系.
②正棱錐的性質：各側棱長都相等，各側面都是全等的等腰三角形；正棱錐的 高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形；正棱錐的高、側棱和側棱 在底面上的射影也組成一個直角三角形.根據正棱錐的性質，結合已知量求出未 知量，是求解正棱錐的側面積、表面積和體積的關鍵.
③求正棱錐的側面積時，關鍵要知道斜高和底面邊長；求棱錐的體積時，關鍵要 知道底面面積和高.
變式訓練4
D
D
例5　（2025屆安徽省“江淮十校”職教高考第三次聯考）已知一圓柱的側面展 開圖是面積為4π的矩形，則該圓柱軸截面的面積為（　　）.
A. 2π B. 4π C. 2 D. 4
【考查目標】 本題考查圓柱的有關計算.
【解析】 由題意可知該圓柱的高h與底面半徑r滿足2πrh＝4π，即rh＝2，故該 圓柱的軸截面的面積是2rh＝2×2＝4.
【答案】 D
【解題技巧】 解決圓柱的有關計算要弄清楚以下問題：（1）圓柱的側面展開圖 是矩形，且其相鄰的兩邊長分別為底面周長和圓柱的高；（2）圓柱的軸截面也 是矩形，且其相鄰的兩邊長分別為底面的直徑和圓柱的高；（3）柱體的體積公 式：底面積×高.
變式訓練5
A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π
【解析】因為一個圓柱的軸截面是一個邊長為2的正方形，所以該圓柱的底面半 徑r＝1，h＝2，所以圓柱的側面積為S側＝2πrh＝2π×1×2＝4π，底面積S底＝ πr2＝π，所以它的表面積為S表＝S側＋2S底＝6π.
C
例6　（2024年安徽省職教高考真題）某糧囤由圓柱體和圓錐形的頂組成，它的 直觀圖如圖所示.已知圓柱的底面直徑為8 m，高為4 m，圓錐的母線PB與底面圓 的直徑AB成45°角，則此糧囤的容積（單位：m3）為（　　）.
B. 96π C. 128π
【考查目標】 本題考查圓柱和圓錐的體積公式的應用.
【答案】 A
【解題技巧】 （1）熟記圓柱、圓錐的體積計算公式；（2）圓錐的母線、高、底 面半徑三者構成一個直角三角形；（3）圓錐的母線、和底面直徑構成一個等腰 三角形（也是圓錐的軸截面三角形），底角即為母線與底面所成的角.
變式訓練6
D
A. 3π B. π
C
解：如圖，因為圓錐的軸截面是頂角為120°的等腰三角形，
例7　已知一個球的表面積是16π.求該球的體積.
【考查目標】 本題考查球的表面積和體積公式的應用.
【解析】 由球的表面積是16π，知S表＝4πR2＝16π，解得R＝2.
B. 2π D. 6π
【考查目標】 本題考查球的表面積和圓柱的表面積的計算.
【答案】 D
【解題技巧】 ①求球的體積和表面積時，必須知道球的半徑R或通過條件求出半 徑R，然后代入體積公式或表面積公式求解.
②半徑和球心是球的最關鍵要素，把握住了這兩點，計算球的表面積和體積的相 關題目就易如反掌了.
③球的截面問題：有關球的截面問題，常畫出球的截面圓，將問題轉化為平面中 圓的問題.解題時要注意借助于球的半徑R，截面圓的半徑r，球心到截面圓的距 離d構成直角三角形，根據R2＝r2＋d2求解.
④長方體的外接球問題：長方體的八個頂點都在球面上，稱該球為長方體的外接 球.根據球的定義可知，長方體的體對角線是外接球的直徑.
⑤正方體的內切球問題：正方體的六個面都與球面相切，稱該球為正方體的內切 球.根據球的定義可知，正方體的棱長是內切球的直徑.
A. 7π B. 8π
C
A. 2 D. 3
A. 27π B. 36π C. 45π D. 54π
B
D
A. 72 B. 72π C. 18 D. 18π
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
A
A
A. 底面是正方形的四棱錐是正四棱錐
B. 側棱都相等且底面四邊形的四邊都相等的四棱錐是正四棱錐
C. 正棱柱的側面是全等的矩形
D. 直棱柱都是正棱柱
【解析】正棱錐定義：底面是正多邊形且頂點在底面的投影是底面正多邊形的中 心；正棱柱的定義：底面是正多邊形的直棱柱.因此A，B，D項錯誤，C項正確.
C
C. 24a3π
D
B
A. 128，96 B. 112，96
C. 128，72 D. 112，72
【解析】由題知該正四棱柱的表面積為4×4×6＋2×42＝128，體積為42×6＝ 96.
A
第5題圖
B
　　　　
第6題圖
A
A. 2π
C
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 4∶1 D. 1∶4
B
二、填空題
9. 已知圓錐的高是9，母線與底面所成的角為60°，則圓錐的體積為 .
10. 已知一個底面邊長為2的正三棱柱，側棱長為3，則它的體積為 .
81π
11. 已知球的半徑為5，它的一個球截面的圓心與球心之間的距離為4，則該球截 面的面積為 .
9π

14. 把一塊邊長為10 cm的正方形鐵片按如圖1所示的陰影部分裁出，得到四 個底為8 cm，高為5 cm的全等的等腰三角形并加工成一個如圖2所示的正四 棱錐形容器.
（1）求所得的正四棱錐容器的側面與底面所成角的余弦值；
解：（1）如圖所示，OE⊥底面ABCD，取BC的中點F，連接OF，EF.
∵△EBC為等腰三角形，
∴EF⊥BC，OF⊥BC，
∴∠EFO為側面與底面所成二面角的平面角.
∵EF＝5 cm，BC＝8 cm，∴OF＝4 cm，
（2）求正四棱錐的容積V.

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