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　平面解析幾何
專題一　直線與圓的方程
7.3　圓的方程
知識點　　圓的方程
1. 圓的定義
圓是平面內到定點的距離為定長的動點的軌跡，定點稱為圓心，定長稱為半徑.
2. 圓的標準方程
在平面直角坐標系中，圓心為C（a，b），半徑為r的圓的標準方程為
（x－a）2＋（y－b）2＝r2.若圓心在坐標原點O（0，0）時，半徑為r，則圓的標準方程為x2＋y2＝r2.
4. 點與圓的位置關系
判斷點與圓的位置關系的常見方法有兩種：
（1）幾何法
比較點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小關系：
①當d＜r時，點在圓內；
②當d＝r時，點在圓上；
③當d＞r時，點在圓外.
（2）根據點的坐標（x0，y0）與圓的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2的關系進 行判斷：
①當（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2時，點在圓外；
②當（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2時，點在圓上；
③當（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2時，點在圓內.
例1　（2021年安徽省職教高考真題）以點C（－5，2）為圓心，5為半徑的圓的 標準方程是（　　）.
A. （x－5）2＋（y＋2）2＝5 B. （x－5）2＋（y＋2）2＝25
C. （x＋5）2＋（y－2）2＝5 D. （x＋5）2＋（y－2）2＝25
【考查目標】 本題考查圓的標準方程.
【解析】 根據圓的標準方程公式，本題a＝－5，b＝2，r＝5，
故所求方程為（x＋5）2＋（y－2）2＝25.
【答案】 D
【解題技巧】 以點（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標準方程為（x－a）2＋ （y－b）2＝r2.
A. （x－1）2＋（y＋1）2＝4 B. （x＋1）2＋（y－1）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋1）2＝2 D. （x＋1）2＋（y－1）2＝2
C
例2　下列關于方程x2＋y2＋4x－3y＋5＝0的說法，正確的是（　　）.
A. 表示一個圓 B. 表示一個點
C. 表示一條直線 D. 不表示任何圖形
【考查目標】 本題考查圓的一般方程.
【解析】 根據圓的一般方程，本題D＝4，E＝－3，F＝5，則D2＋E2－4F＝ 16＋9－20＝5＞0，故該方程表示一個圓.
【答案】 A
【解題技巧】 對于圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D，E，F為常 數）：
（1）若D2＋E2－4F＞0，則方程表示一個圓；
（2）若D2＋E2－4F＝0，則方程表示一個點；
（3）若D2＋E2－4F＜0，則方程不表示任何圖形.
A. （－∞，2）∪（6，＋∞）
B. （－∞，2）
C. （－2，＋∞）
D. （－∞，－6）∪（－2，＋∞）
【解析】由x2＋y2＋mx－4y＋2m＋1＝0表示一個圓，得m2＋（－4）2－4 （2m＋1）＞0，解得m＜2或m＞6.
A
例3　根據已知條件求圓的方程.
（1）求以點（2，－3）為圓心，3為半徑的圓的標準方程；
【解析】 （1）已知a＝2，b＝－3，r＝3，則該圓的標準方程為（x－2）2＋ （y＋3）2＝9.
2）已知點A（3，－2），B（－5，4），求以線段AB為直徑的圓的標準方程；
（3）求經過點A（4，－2），B（－1，3），C（3，3）的圓的一般方程；
（4）已知圓上的兩個點分別為A（1，1），B（－3，5），且圓心在直線2x＋ y＋2＝0上，求該圓的標準方程.
【考查目標】 本題考查圓的標準方程、圓的一般方程.
【解題技巧】 求圓的方程的方法：
（1）根據圓心坐標和半徑大小，直接寫出圓的標準方程；
（2）設圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），建立關于 D，E，F的方程組求解.
A. （x＋2）2＋y2＝5 B. x2＋（y＋1）2＝5
C. （x＋2）2＋（y＋1）2＝5 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝5
C
A. x2＋（y－1）2＝8 B. x2＋（y＋1）2＝8
C. （x－1）2＋y2＝4 D. （x＋1）2＋y2＝4
B
A. 點A在圓上 B. 點A在圓外
C. 點A在圓內但不是圓心 D. 點A在圓內且是圓心
【考查目標】 本題考查點與圓的位置關系.
【答案】 C
【解題技巧】 判斷點與圓的位置關系一般通過比較點到圓心的距離d與半徑r的 大小關系來得到結論：
（1）當d＞r時，點在圓外；
（2）當d＝r時，點在圓上；
（3）當d＜r時，點在圓內.
A. 圓心坐標是（－1，2） B. 圓的半徑是4
C. 點（0，0）在圓內 D. 圓經過點（1，0）
D
A. （2，－4），8
C. （－2，4），8
A. （x＋1）2＋（y＋3）2＝8 B. （x－1）2＋（y＋3）2＝8
C. （x－1）2＋（y－3）2＝8 D. （x＋1）2＋（y－3）2＝8
B
D
A. （x＋1）2＋（y－2）2＝4 B. （x－1）2＋（y－2）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝4 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝4
【解析】由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得圓C1的標準方程為（x＋1）2＋（y－ 2）2＝4，所以圓C1的圓心坐標為（－1，2），半徑r＝2.由題意，得圓C2的圓 心為點（－1，2）關于原點對稱的點，即（1，－2），且圓C2與圓C1的半徑相 等，故圓C2的標準方程是（x－1）2＋（y＋2）2＝4.
C
C. （1，＋∞）
A. [－2，2] B. （－2，2）
C. （－∞，－2]∪[2，＋∞） D. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
B
D
A. 2 B. －4 C. 4 D. －2
【解析】將圓的一般方程x2＋y2＋2x－2y＝0化為標準方程，得（x＋1）2＋ （y－1）2＝2，則圓心坐標是（－1，1）.由圓的性質，得直線y＝kx＋3經過 圓心，則1＝－k＋3，故k＝2.
A
二、填空題
7. 圓x2＋y2－6x＋4y＋9＝0的面積為 .
8. 圓C：x2＋y2－2ax＋4y－1＝0（a＞0）的半徑為3，則圓C的圓心坐標 為 .
【解析】圓C：x2＋y2－2ax＋4y－1＝0（a＞0）的方程可化為（x－a）2＋ （y＋2）2＝a2＋5，由題意得a2＋5＝32，所以a＝2（a＝－2舍去），所以圓心 坐標為（2，－2）.

9. 圓心在直線x－y＝0上，并且經過點A（2，4）和B（4，6）的圓的半徑 為 .

10. 已知點P（4，－2），而點Q是圓（x－2）2＋（y－1）2＝9上的任意一 點，則｜PQ｜的最大值為 .
11. 當a為任意實數時，直線（a－1）x－y＋a－1＝0恒過定點C，則以點C為 圓心，3為半徑的圓的標準方程為 .
（x＋1）2＋y2＝9
三、解答題
12. 已知☉C的圓心為C（2，－1），它的一條直徑AB的兩個端點分別落在x軸 和y軸上，求☉C的標準方程.
13. 圓C的圓心在x軸上，半徑為5，且過點P（6，3），求圓C的標準方程.
14. 根據已知條件求圓的方程.
（1）圓心坐標為（－1，2），半徑為4的圓的標準方程；
解：（1）（x＋1）2＋（y－2）2＝16.
（2）經過A（2，1），B（1，2），C（0，1）三點的圓的一般方程；
（3）經過點A（2，－3），B（－2，－5），且圓心在y軸上的圓的標準方程.
15. 若點P（3，2）在圓C：x2＋y2＋mx－2y＋2m＋6＝0外，求實數m的取值 范圍.

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