資源簡介

(共45張PPT)
　平面解析幾何
專題一　直線與圓的方程
7.2　直線的方程及位置關系
知識點1　直線的傾斜角與斜率
1. 直線的傾斜角
當直線l與x軸相交時，直線l向上的方向和x軸正方向所成的最小正角叫作直線 l的傾斜角.
特別地，當直線l與x軸平行或重合時，規定傾斜角α＝0.直線l的傾斜角α的取值 范圍是0≤α＜π.
2. 直線的斜率
知識點2　直線的方程
1. 直線的點斜式方程
設點P（x，y）為直線l上異于點P0（x0，y0）的任意一點，它與點P0（x0， y0）連線的斜率為k，則把方程y－y0＝k（x－x0）叫作直線l的點斜式方程，簡 稱點斜式.
當斜率k＝0時，直線l的方程為y＝y0，此時直線l平行于x軸（或與x軸重合）.
知識點3　兩條直線的位置關系
設兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不全為零），l2：A2x＋B2y＋C2＝0 （A2，B2不全為零）都不與坐標軸平行：
（4）當A1A2＋B1B2＝0時，兩條直線垂直.
1. 兩條直線平行
設直線l1，l2的斜率都存在，直線l1，l2的斜截式方程分別為y＝k1x＋b1，y＝ k2x＋b2.
兩個方程的系數關系 k1≠k2 k1＝k2
b1≠b2 b1＝b2
兩條直線的位置關系 相交 平行 重合
當直線l1和l2的斜率只有一個存在時，l1和l2相交.
當直線l1和l2的斜率都不存在，且在x軸上的截距不相等時，l1∥l2.
（1）兩條直線的交點坐標就是兩條直線的方程組成的方程組的解.
①方程組有唯一解 l1，l2相交，方程組的解即交點坐標.
②方程組有無數解 l1，l2重合.
③方程組無解 l1，l2平行.
2. 兩條直線相交
當直線l1和l2的夾角為直角時，l1⊥l2.
①若直線l1，l2的斜率都存在，且l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，k1k2＝－ 1，則l1⊥l2.
②若一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，則這兩條直線垂直.
注：規定兩條直線平行或重合時的夾角為0.
知識點4　點到直線的距離與兩條平行線間的距離
1. 點到直線的距離
當點P在直線l外時，稱點P到直線l的垂線段的長度為點P到直線l的距離.
2. 兩條平行直線間的距離
先在其中一條直線上取一個坐標數值比較簡單的點，然后利用點到直線的距離公 式，求出這個點到另一條直線的距離，即為兩條平行直線間的距離.
例1　已知直線l過A（－4，3），B（－2，1）兩點，則直線l的斜率為 （　　）.
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
【考查目標】 本題考查直線斜率的計算.
【答案】 A
【解題技巧】 已知直線上兩點的坐標時，直接根據兩點的縱坐標之差與橫坐標之 差的比來計算直線的斜率.
B
C. 1
【考查目標】 本題考查直線斜率的計算.
【答案】 B
【解題技巧】 直線l的傾斜角的正切值就是直線l的斜率.
B
A. x＋2y＋1＝0 B. x＋2y＝0
C. x－2y＋4＝0 D. x－2y＝0
【考查目標】 本題考查直線的點斜式方程.
【答案】 B
【解題技巧】 根據直線的點斜式方程y－y0＝k（x－x0）求直線的方程時要注 意符號問題.
A. （－1，1） B. （1，1）
C. （1，－1） D. （－1，－1）
【解析】由x－ay＋a＋1＝0，得x＋1－a（y－1）＝0，故直線l恒過點
（－1，1）.
A
例4　在y軸上的截距為－2，且傾斜角為60°的直線的斜截式方程是（　　）.
【考查目標】 本題考查直線的斜截式方程.
【答案】 C
【解題技巧】 先根據傾斜角求出直線的斜率，然后根據截距用斜截式求直 線方程.
A. x－y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y＋3＝0 D. x＋y－3＝0
【解析】由斜率公式可得直線的斜率k＝tan 45°＝1，故該直線方程為y＝（x －3）×1，寫成一般式為x－y－3＝0.
A
例5　（2021年安徽省職教高考真題）若直線l經過點M（1，1），且與直線x－ 2y＋6＝0平行，則直線l的方程為（　　）.
A. 2x＋y－3＝0 B. 2x－y－1＝0
C. x－2y＝0 D. x－2y＋1＝0
【考查目標】 本題考查兩條直線的位置關系（平行）及直線方程的求法.
【答案】 D
【解題技巧】 兩條斜率存在的直線平行，不僅要滿足兩條直線的斜率相等，還要 滿足兩條直線在y軸上的截距不相等.
變式訓練5
A. 9 B. －9
C. 4 D. －4
D
例6　（2020年安徽省職教高考真題）若直線l與直線y＝－2x垂直，則直線l的 斜率是（　　）.
C. 2 D. －2
【考查目標】 本題考查兩條直線垂直.
【答案】 A
【解題技巧】 （1）當兩條直線互相垂直且兩條直線的斜率都存在時，兩條直線 的斜率的乘積為－1；（2）斜率不存在的直線與斜率為零的直線相互垂直.
變式訓練6
C. －2 D. 2
B
例7　求過直線x－2y＋4＝0與直線－x＋4y－6＝0的交點，且平行于直線x＋y －3＝0的直線方程.
【考查目標】 本題考查兩條直線的交點坐標與兩條直線平行.
【解題技巧】 先聯立已知的兩條直線方程，求出交點坐標，再由兩直線平行時的 斜率關系求出所求直線的斜率，最后用點斜式求出所求直線方程.
A. 2x＋y＋5＝0 B. x＋2y＋5＝0
C. x＋2y－5＝0 D. 2x＋y－5＝0
D
例8　（2024年安徽省職教高考真題）點（3，1）到直線y＝x－4的距離為 （　　）.
B. 2 D. 6
【考查目標】 本題考查點到直線的距離公式.
【答案】 A
【解題技巧】 直線方程一定要化成一般式方程，然后直接將點的坐標代入點到直 線的距離公式求解即可.
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
A
例9　求兩條平行直線3x＋4y＋2＝0與3x＋4y－5＝0之間的距離.
【考查目標】 本題考查兩條平行直線間的距離.
【解題技巧】 兩條平行直線間的距離就是其中一條直線上的任意一點到另一條直 線的距離.
B. 5 D. 4
B
A. 所有直線都有斜率
B. 所有直線都有傾斜角
C. 平行于x軸的直線的傾斜角為180°
D. 平行于y軸的直線的斜率為0
B
A. x＝5
C. y＝－1
B
A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 0
【解析】由題意可知，直線x－y＋m＝0與直線x－my－1＝0平行，所以兩條 直線的斜率相等，故m＝1.
B
A. a＝－b B. a＝b
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
A
A
A. 4x－3y＋8＝0 B. 3x－4y＋6＝0
C. x－y＋2＝0 D. 4x－3y－6＝0
A
C
二、填空題
8. 已知△ABC的三個頂點A（2，4），B（－2，2），C（4，－2），則△ABC 的BC邊上的高所在的直線的一般式方程為 .
9. 點A（－2，3）到直線y＋2＝0的距離為 .
3x－2y＋2＝0
5
10. 直線x＋y＋1＝0與直線x－y＋3＝0的交點坐標為 .
（－2，1）
11. 已知直線mx－y＋2m－1＝0在兩坐標軸上的截距相等，則m＝ .
12. 若三點A（5，6），B（4，7），C（－a，8）在一條直線上，則a的值 為 .
－3
三、解答題
13. 已知△ABC的三個頂點為A（2，2），B（3，－5），C（5，3）.求：
（1）AC邊所在的直線的一般式方程；
（2）BC邊上的中線所在的直線的一般式方程.
14. 求經過直線l1：3x－2y－4＝0與l2：x＋2y－4＝0的交點，且在兩坐標軸上 的截距相等的直線的一般式方程.
因為所求直線在兩坐標軸上的截距相等，分為兩種情況：①斜率為－1，
由點斜式方程，得y－1＝－（x－2），
即x＋y－3＝0.
15. 已知點A（－2，5），B（6，－1），求線段AB的垂直平分線的一般式 方程.
17. 已知點A（2，6），B（3，－4），直線l：x＝0，在直線l上找一點P，使 得｜PA｜＋｜PB｜最小，求直線PA的方程及此時｜PA｜＋｜PB｜的值.

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