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(共34張PPT)
　平面解析幾何
專題一　直線與圓的方程
7.4　直線與圓的位置關系及應用
知識點1　直線與圓的位置關系
1. 直線與圓的位置關系有三種，即相離、相交、相切.
2. 判斷直線與圓的位置關系有兩種常用的方法：
（1）代數法：聯立直線方程與圓的方程，消去一個未知量，得到一個一元二次 方程，計算判別式Δ＝b2－4ac.
①當Δ＞0時，直線與圓相交；
②當Δ＝0時，直線與圓相切；
③當Δ＜0時，直線與圓相離.
（2）幾何法：比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系.
①當d＞r時，直線與圓相離；
②當d＝r時，直線與圓相切；
③當d＜r時，直線與圓相交.
知識點2　弦長公式
計算圓被直線截得的弦長有兩種常用的方法：
知識點3　圓的切線
1. 求解此類問題首先要確定點與圓的位置關系，即比較圓心到點的距離與半徑的 大小關系，確定點在圓內、圓上還是圓外.若點在圓內，則過該點的圓的切線不 存在；若點在圓上，則過該點的圓的切線有且僅有一條；若點在圓外，則過該點 的圓的切線有兩條，它們關于過該點與圓心的直線對稱.
2. 求解切線方程時要注意切線斜率不存在的情況，防止漏解.
3. 理解并掌握：圓心到切線的距離等于半徑，過切點的半徑所在的直線與 切線垂直.
例1　（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第七次聯考）直線x sin α＋y cos α－ 2＝0與圓x2＋y2＝2的位置關系為（　　）.
A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 無法確定
【考查目標】 本題考查直線與圓的位置關系及同角三角函數的基本關系式.
【答案】 C
【解題技巧】 直線與圓的位置關系通常用幾何法，即用圓心到直線的距離與圓的 半徑進行比較，從而得出直線與圓的位置關系.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A. 0 B. 1 C. 2 D. 無法確定
B
B
【解析】由x2＋y2－2x＝0得（x－1）2＋y2＝1，所以該圓的圓心坐標為（1， 0），半徑r＝1.因為圓心（1，0）到直線x＝2的距離d＝1＝r，所以直線與圓 相切，因此直線與圓只有一個公共點.
A. －1＜b＜3 B. －1≤b≤3
C. －3＜b＜1 D. －3≤b≤1
A
例2　（2023屆安徽省“江淮十校”職教高考第一次聯考）過圓（x－1）2＋（y －2）2＝2上一點（2，3）作圓的切線，則切線方程為（　　）.
A. x＋y－5＝0 B. x＋y＋1＝0
C. x－y－5＝0 D. x－y＋1＝0
【考查目標】 本題考查圓的切線方程.
【答案】 A
【解題技巧】 求過圓上一點與圓相切的直線方程時，要知道切線的性質定理：圓 的切線垂直于過切點的半徑.先求過圓心和切點的直線的斜率，再由垂直關系求 出切線的斜率，然后由點斜式求出切線的方程.
A. 1條 B. 2條 C. 0條 D. 無數條
A
例3　已知點P（3，6）是圓C：x2＋（y－1）2＝6外一點，過點P作圓C的一 條切線PA，切點為A，則切線長｜PA｜為（　　）.
A. 5 D. 6
【考查目標】 本題考查過圓外一點作圓的切線，求切線長.
【答案】 B
變式訓練3
過x軸上一點P作圓C：（x－15）2＋y2＝25的切線PA，切點為A，若｜PA｜ ＝12，求點P的坐標.
例4　求圓x2＋y2－4x＋4y＋7＝0被直線x－y－5＝0截得的弦長.
【考查目標】 本題考查圓被直線截得的弦長.
變式訓練4
求圓（x－2）2＋（y＋3）2＝25被直線x－y－6＝0截得的弦長.
解：將直線方程寫成斜截式得y＝x－6，
將其代入圓的方程并整理可得x2－5x－6＝0，
A. 0 B. 1 C. 2 D. 無法確定
A. －2 B. 2
A
A
A. 3 B. －3
C. 2 D. －2
D
A. 相離 B. 相切 C. 相交 D. 無法確定
A
A. 1 C. 2
B. 3 D. 5
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
C
A
C
二、填空題
8. 已知圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線3x－4y＋m＝0的距離為2，則m ＝ .
9. 經過點M（2，1）且被圓（x－3）2＋（y－2）2＝8截得的弦最長的直線的方 程是 .
10. 過圓內一異于圓心的點作直線與圓相交，所得的弦中最長弦是直徑，最短弦 是與最長弦垂直的弦.已知圓C：（x－1）2＋（y＋2）2＝25，點P（1，1）是 圓C內一點，過點P作直線與圓C交于A，B兩點，弦AB的最小長度是 .
15或－5
x－y－1＝0
8
11. 已知直線l：3x＋4y＋m＝0與圓C：（x－2）2＋y2＝12交于A，B兩點， 若△CAB為等邊三角形，則實數m的值為 .
－21或9
三、解答題
12. 已知圓的方程為x2＋y2＝1，直線l的方程為y＝x＋b，求當b為何值時，直 線l與圓相交、相切或相離.
13. 求圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0被直線x＋y＋3＝0截得的弦長.
14. 求經過點P（3，1）且與圓C：（x－1）2＋（y＋1）2＝8相切的直線l的 方程.
解：由圓C：x2＋（y＋2）2＝16知圓心C（0，－2），半徑r＝4.
解得k＝2或k＝－2.
16. 已知圓C：x2＋y2－2x－8＝0內有一點P（3，1），過點P作直線l交圓C 于A，B兩點.
（1）當線段AB最長時，求直線l的方程；
（2）當線段AB被點P平分時，求直線l的方程；
（3）當直線l的傾斜角為135°時，求線段AB的長.
解：（3）因為直線l的傾斜角為135°，
所以kl＝tan 135°＝－1，
則直線l的方程為y－1＝－（x－3），
即y＝－x＋4.
將直線l的方程代入圓的方程，整理后得
x2－5x＋4＝0.

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