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平面解析幾何
專題四　拋物線
7.10　拋物線的幾何性質
知識點　　拋物線的幾何性質
焦點 位置 x軸正半軸 x軸負半軸 y軸正半軸 y軸負半軸
圖形
焦點 位置 x軸正半軸 x軸負半軸 y軸正半軸 y軸負半軸
標準 方程 y2＝2px（p＞ 0） y2＝－2px（p ＞0） x2＝2py（p＞ 0） x2＝－2py（p＞ 0）
焦點 坐標
準線 方程
焦點 位置 x軸正半軸 x軸負半軸 y軸正半軸 y軸負半軸
范圍 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
對稱 軸 x軸 y軸
頂點 拋物線和對稱軸的交點：原點O（0，0）
離心 率 拋物線上的點M到焦點的距離與點M到準線的距離之比：e＝1
　注：p＞0，其幾何意義是焦點到準線的距離.
（2）頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線2x－y＝4上.
【考查目標】 本題考查拋物線的標準方程和幾何性質.
【解析】 （2）因為拋物線的焦點在坐標軸上，且又在直線2x－y＝4上，則焦 點是直線2x－y＝4與坐標軸的交點，即（2，0）或（0，－4），所以該拋物線 的標準方程為y2＝8x或x2＝－16y.
【解題技巧】 我們學習的拋物線都是以坐標軸為對稱軸，坐標原點為頂點，焦點 都在坐標軸上，其標準方程是y2＝±2px（p＞0）或x2＝±2py（p＞0），故解 這類題的關鍵是確定拋物線的焦點在哪個半軸上，注意多種情況，然后再確定p 的值，求出拋物線的標準方程.
A. x2＝8y B. x2＝－4y
C. x2＝4y D. x2＝－8y
C
【解析】由題意可知拋物線的焦點F在y軸的正半軸上，設拋物線的標準方程為
C
B. 3 C. 6 D. 12
（3）已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸，且經過點（－2，－ 4），求該拋物線的標準方程.
例2?。?024年安徽省職教高考真題）已知直線l過拋物線y2＝4x的焦點，且與 該拋物線交于A，B兩點.若線段AB的中點C到直線x＝－1的距離等于3，則直 線l的斜率為（　?。?
A. ±1 D. ±2
【考查目標】 本題考查拋物線的定義和標準方程.
【答案】 B
【解題技巧】 涉及圓錐曲線與直線相交成弦的“弦中點”的問題可以使用“代點 作差法”，設直線與圓錐曲線的交點坐標并代入圓錐曲線方程，建立直線的斜率 與弦中點坐標間的關系，再由直線上其他已知點的坐標與弦中點坐標間的關系構 建方程，求出弦中點坐標和斜率.
A. x2＝12y B. x2＝12y或x2＝－12y
C. y2＝8x D. y2＝8x或y2＝－8x
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
B
C
例3　已知點F為拋物線y2＝8x的焦點，過焦點F且傾斜角為45°的直線l與拋物 線交于A，B兩點，求線段AB的長度.
【考查目標】 本題考查直線與拋物線的綜合應用.
【解析】 由題意得焦點F的坐標為（2，0），直線l的斜率k＝tan 45°＝1，所 以直線l的方程為y－0＝x－2，即y＝x－2.設A（x1，y1），B（x2，y2）， 由拋物線的方程可知x1≥0，x2≥0，聯立拋物線方程和直線方程并消去y得x2－ 12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，于是根據拋物線的定義得｜AB｜＝｜AF｜ ＋｜BF｜＝｜x1｜＋2＋｜x2｜＋2＝x1＋x2＋4＝16.
A. x2＝5y B. x2＝10y
C. x2＝15y D. x2＝20y
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
D
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 4∶1
D
A. x＝－1 B. y＝0 C. x＝0 D. y＝－1
B
C
C. 1 D. 2
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
A. 9 B. 18 C. 24 D. 36
D
B
B
A. 3 C. 4 D. 6
A
B
B. 1 C. 2
D
二、填空題
9. 拋物線y2＝－6x的焦點坐標為 ，離心率為 .
10. 過點P（3，6）的直線與拋物線y2＝12x只有一個公共點，則這樣的直線共 有 條.
【解析】由題意可知點P（3，6）在拋物線y2＝12x上，故過點P（3，6）且與 拋物線y2＝12x只有一個公共點時只能是①過點P（3，6）且與拋物線y2＝12x 相切；②過點P（3，6）且平行于拋物線的對稱軸.∴過點P（3，6）且與拋物 線y2＝12x有且只有一個公共點的直線有2條.

1
2
11. 已知拋物線y2＝6x上一點P到準線的距離為d1，到直線l：8x－6y＋28＝0 的距離為d2，則d1＋d2的最小值為 .
4
12. 已知點M（b，3）在拋物線ax2＋y＝0上，且點M與拋物線焦點的距離等于 7，則a＝ .
13. 已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一 點，且滿足｜MO｜＝｜MF｜＝3，則p＝ .
4
三、解答題
14. 已知拋物線y2＝kx經過點（－1，4），求k的值，并寫出拋物線的焦點坐 標、頂點坐標、對稱軸、準線方程和離心率.
解：因為拋物線y2＝kx經過點（－1，4），
所以42＝k·（－1），解得k＝－16.
故拋物線y2＝－16x的焦點坐標為（－4，0），頂點坐標為（0，0），對稱軸為 x軸，準線方程為x＝4，離心率e＝1.
16. 已知拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點為F，M（a，b），N（c，d）為拋 物線上的兩點，若｜MF｜＝3，｜NF｜＝2，且b＝2d，求該拋物線的標準 方程.

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