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平面解析幾何
專題二　橢圓
7.6　橢圓的幾何性質
知識點　　橢圓的幾何性質
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程
范圍 ｜x｜≤a，｜y｜≤b ｜x｜≤b，｜y｜≤a
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
頂點坐標 A1（－a，0），A2（a， 0）
B1（0，－b），B2（0， b） A1（0，－a），A2（0，a）
B1（－b，0），B2（b，0）
軸長 長軸長｜A1A2｜＝2a，短軸長｜B1B2｜＝2b
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
焦點坐標 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝2c
對稱性 對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：（0，0）
離心率
a，b，c之間 的關系 a2＝b2＋c2
例1　若橢圓的長軸長為16，短軸長為10，其焦點在x軸上，則橢圓的標準方程為 （　　）.
【考查目標】 本題考查橢圓的軸長及標準方程.
【答案】 B
【解題技巧】 在橢圓中，長軸長的一半是a，短軸長的一半是b.
D. 無法確定
C
A
【考查目標】 本題考查橢圓的離心率.
【答案】 A
C
（1）橢圓C的標準方程；
（2）｜MF1｜·｜MF2｜的值；
【解析】 （2）由橢圓定義可知，｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝10，｜F1F2｜＝ 2c＝8，
由余弦定理得｜F1F2｜2＝｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜·｜MF2｜· cos 60°，
即64＝｜MF1｜2＋｜MF2｜2－｜MF1｜·｜MF2｜，變形得64＝（｜MF1｜ ＋｜MF2｜）2－3｜MF1｜·｜MF2｜，
則｜MF1｜·｜MF2｜＝12.
（3）△F1MF2的面積.
【考查目標】 本題考查橢圓的定義、標準方程和幾何性質.
【解題技巧】 解題的關鍵是先利用橢圓的焦點坐標以及離心率，求出a，c的 值，然后求解b，即可得到橢圓方程.其次利用余弦定理，結合橢圓的定義，求 出｜MF1｜·｜MF2｜的值，然后再求三角形的面積.
B
A. 16 B. 10 C. 8 D. 4
【解析】由題意，可知m＋16＝20，即m＝4，則該橢圓的焦點在y軸上，所以 該橢圓的長軸長為4×2＝8.
C
A. 10或1 B. 9或2 C. 8或2 D. 7或1
C
C
D
A. 3 B. 6 C. 4 D. 8
B
B
二、填空題
1
6
9. 橢圓4x2＋y2＝1的頂點坐標為 .
（4，10）∪
（10，16）
12. 設橢圓的中心為坐標原點，左、右焦點分別為F1，F2，過焦點F2的一條直線 與該橢圓交于A，B兩點，得邊長為8的等邊三角形ABF1，則該橢圓的標準方程 為 .
16
三、解答題
16. 求有兩個頂點在直線3x－y＋6＝0上的橢圓的標準方程.
17. 根據已知條件求橢圓的標準方程.
（1）焦點在x軸上，焦距為8，短軸長為6的橢圓的標準方程；
解：設所求直線與橢圓相交于點A（x1，y1），B（x2，y2），
解：由題意可知，當點P在短軸端點時，∠F1PF2是鈍角即可滿足題意.
由橢圓的定義可知，m＋n＝2a＝4　①，
在△PF1F2中，因為｜F1F2｜＝2c＝2，∠F1PF2＝45°，由余弦定理，得
m2＋n2－2mn cos 45°＝｜F1F2｜2，

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