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　平面解析幾何
專題四　拋物線
7.9　拋物線的定義與標準方程
知識點1　拋物線的定義
1. 定義：一般地，把平面內到一個定點F和一條不過點F的定直線l的距離相等 的點的軌跡（或集合）叫作拋物線.定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物 線的準線.
2. 幾何表示：｜MF｜＝d（d為拋物線上任意一點M到準線的距離）.
知識點2　拋物線的標準方程
1. 焦點在x軸正半軸上，拋物線的標準方程為y2＝2px（p＞0）；焦點在x軸負 半軸上，拋物線的標準方程為y2＝－2px（p＞0）.
2. 焦點在y軸正半軸上，拋物線的標準方程為x2＝2py（p＞0）；焦點在y軸負 半軸上，拋物線的標準方程為x2＝－2py（p＞0）.
例1　拋物線y2＝6x的焦點坐標是（　　）.
A. （3，0） B. （0，3）
【考查目標】 本題考查拋物線的焦點坐標.
【答案】 C
【解題技巧】 根據拋物線的標準方程確定其焦點坐標的位置，并求出p的值，從 而確定其焦點坐標.
C. （0，－1） D. （－1，0）
C
C
B. y＝2
D. y＝－2
【考查目標】 本題考查拋物線的準線方程.
【答案】 B
【解題技巧】 要先將拋物線方程轉化為標準方程的形式，再根據標準方程求出p 的值，從而得到準線方程.
A. x＝－2 B. x＝－1 C. y＝－2 D. y＝－1
B
例3　（2020年安徽省職教高考真題）已知拋物線的焦點坐標為（4，0），則此 拋物線的標準方程為（　　）.
A. x2＝8y B. x2＝16y
C. y2＝8x D. y2＝16x
【考查目標】 本題考查拋物線的標準方程.
【答案】 D
C. y2＝－8x D. x2＋y2＝8
【解析】根據題意可知，題干所描述的是拋物線的定義：平面內到定點的距離與 到定直線的距離相等的點的軌跡，且點F（－2，0）為焦點，定直線l：x＝2為 準線，所以拋物線的標準方程為y2＝－8x.
C
A. y2＝－4x B. y2＝4x
C. y2＝－8x D. y2＝8x
D
A
例4　（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第七次聯考）已知拋物線y2＝2px （p＞0）上一點M（3，m）到其準線的距離等于4，則m＝（　　）.
【答案】 D
【考查目標】 本題考查拋物線的定義和標準方程.
A. x2＝8y B. x2＝4y
C. x2＝－4y D. x2＝－8y
A
A. 9 D. 8
A
C. x＝－5 D. x＝5
D
A
C
B. y2＝10x
C. y2＝2x D. y2＝－2x
B
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
A. x2＝6y B. x2＝12y
C. x2＝4y D. x2＝8y
A
B
D
A. （－2，4）或（－2，－4）
B
二、填空題
9. 準線方程為x＝4的拋物線的標準方程為 .
10. 已知P為拋物線C：y2＝mx（m＞0）上一點，點P到拋物線C的焦點F的 距離為15，到y軸的距離為12.5，則實數m＝ .
y2＝－16x
10

x2＝±10y
y2
＝4x
15. 已知拋物線y2＝－12x上的點M到拋物線焦點的距離等于5，求點M的坐標.
解：設點M的坐標為（a，b），
∵點M到拋物線y2＝－12x的焦點的距離等于5，
∴該拋物線的準線為x＝3，且點M到準線的距離等于5，于是｜a｜＋3＝5.
又∵a＜0，∴a＝－2.
則b2＝（－12）×（－2）＝24，
17. 已知焦點在y軸上的拋物線經過點A（4，m），B（2，m－1），求該拋物 線的標準方程.
18. 已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，在拋物線C上有一點P （x0，7），過點P作y軸的垂線PQ，垂足為點Q，若｜PF｜＝2｜PQ｜，求 拋物線C的標準方程.
19. 若直線2x＋by＋4＝0經過拋物線y＝2x2的焦點，求實數b的值.

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