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　平面解析幾何
專題三　雙曲線
7.8　雙曲線的幾何性質
1. 范圍：x≤－a或x≥a，即雙曲線的兩支分別位于直線x＝－a的左側與直線 x＝a的右側（如圖所示）.焦點坐標分別為F1（－c，0），F2（c，0），焦 距｜F1F2｜＝2c.
3. 頂點：雙曲線和它的對稱軸的兩個交點叫作雙曲線的頂點.雙曲線有兩個頂 點，即A1（－a，0）和A2（a，0）.雙曲線與y軸沒有交點，但我們仍將B1 （0，－b）與B2（0，b）畫在y軸上（如圖所示）.線段A1A2，B1B2分別叫作雙 曲線的實軸和虛軸，它們的長分別為2a和2b，即｜A1A2｜＝2a，｜B1B2｜＝ 2b，a和b分別表示雙曲線的實半軸長和虛半軸長.
2. 對稱性：雙曲線關于x軸、y軸和坐標原點對稱.x軸與y軸都叫作雙曲線的對 稱軸，坐標原點叫作雙曲線的對稱中心（簡稱中心）.
1. 范圍：y≤－a或y≥a，即雙曲線的兩支分別位于直線y＝－a的下側與直線 y＝a的上側（如圖所示）.焦點坐標分別為F1（0，－c），F2（0，c），焦 距｜F1F2｜＝2c.
2. 對稱性：雙曲線關于x軸、y軸和坐標原點對稱.x軸與y軸都叫作雙曲線的對 稱軸，坐標原點叫作雙曲線的對稱中心（簡稱中心）.
3. 頂點：雙曲線和它的對稱軸的兩個交點叫作雙曲線的頂點.雙曲線有兩個頂 點，即A1（0，－a）和A2（0，a）.雙曲線與x軸沒有交點，但我們仍將B1 （－b，0）與B2（b，0）畫在x軸上（如圖所示）.線段A1A2，B1B2分別叫作雙 曲線的實軸和虛軸，它們的長分別為2a和2b，即｜A1A2｜＝2a，｜B1B2｜＝ 2b，a和b分別表示雙曲線的實半軸長和虛半軸長.
B. y＝±2x
D. y＝±4x
A

【解題技巧】 當根據題意不能判斷出焦點所在的坐標軸時，兩種情況都要考慮. 雙曲線中的隱含條件是c2＝a2＋b2.
D
D
【考查目標】 本題考查雙曲線的離心率和漸近線方程.
【答案】 B
變式訓練3
A. y＝±2x
D
A. 4 B. 3 C. 2
B. 2
C
B
A. 2 B. 3 C. 9 D. 27
B
【考查目標】 本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質.
【答案】 A
【解題技巧】 根據雙曲線離心率的取值范圍，確定參數a，b的大小關系，再根 據雙曲線的漸近線方程和其他已知條件，確定雙曲線的焦點位置及雙曲線的標準 方程形式，準確的求出a，b的值，從而求出雙曲線的標準方程.
D. 2
C
B. 2 C. 4 D. 8
D
B
A. 離心率大小與m的值無關
B. 漸近線方程與m的值無關
C. 實軸長與虛軸長之比與m的值無關
D. 頂點與焦點間的距離與m的值無關
D
A. a B. b C. c
A
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
（－∞，－5）
∪（10，＋∞）

12. 根據已知條件求雙曲線的標準方程.
（1）虛軸長是6，焦距是8的雙曲線的標準方程；
解：（1）由題意得2b＝6，2c＝8，
∴b＝3，b2＝9，c＝4，
∴a2＝c2－b2＝16－9＝7.

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