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　平面向量
專題二　平面向量的數量積
6.2　平面向量的數量積
2. 數量積的定義
兩個向量a，b的模與它們夾角的余弦值之積叫作向量a與b的數量積，記作 a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞.
由數量積的定義，得
（1）兩個向量的數量積是一個數量，不再是一個向量.
（2）零向量與任一向量的數量積都是0，即0·a＝0.
4. 數量積的運算規律
（1）a·b＝b·a；
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
注：向量的數量積不滿足結合律，即a·（b·c）≠（a·b）·c.實際上該式左邊 是與a共線的向量，右邊是與c共線的向量；而兩個向量相等，必須滿足方向相 同且模相等.
A. 8 D. 4
D
例2　（2023年安徽省職教高考真題）已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·（a＋b） ＝0，則向量a與b的夾角為（　　）.
【考查目標】 本題考查向量數量積的性質和運算.
【答案】 C
變式訓練2
（1）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，向量a與b的夾角為150°.求（2a－b）·b 的值.
（2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝3，求向量a與b的夾角.
例3　（2022年安徽省職教高考真題）若向量a，b均為單位向量，且它們的夾角 為60°，則｜a＋2b｜＝（　　）.
【考查目標】 本題考查向量的數量積及模的運算.
【答案】 C
C. 8 D. 4
B
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①③④
A. 180° B. 90° C. 45° D. 0°
【解析】因為a·b＝0，所以a⊥b，即a與b的夾角為90°.
C
B
A. 7 C. 1
A. －4 B. －6
A
C
A. 5 B. 2
C
A. ｜a｜＝｜b｜ B. ｜a｜＞｜b｜
C. a∥b D. a⊥b
A. 1 B. －1 C. 9 D. －9
D
D
D
A. 8 B. －8 C. 16 D. －16
A
B
A
14. 已知｜a｜＝3，b＝2a，則a·b＝ .
【解析】由b＝2a，得a·b＝a·2a＝2a2＝2×9＝18.
18
三、解答題
15. （1）已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，＜a，b＞＝60°，求a·b.
解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝3×2× cos 60°＝3.
16. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（2a－b）·（a＋3b）＝－60，求：
（1）＜a，b＞；
解：∵（2a－b）·（a＋3b）＝2｜a｜2＋6a·b－a·b－3｜b｜2＝2×32＋ 5a·b－3×42＝5a·b－30＝－60，
∴a·b＝－6.
（2）｜a＋2b｜.

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