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(共39張PPT)
　平面向量
專題三　平面向量的坐標表示
6.3　平面向量的坐標表示
知識點1　平面向量的坐標表示
1. 平面向量的坐標表示
對于平面直角坐標系中的任一向量a，都存在一對有序實數對（x，y），使得a ＝xi＋yj（其中i，j分別為x軸、y軸正方向上的單位向量），則有序實數對 （x，y）叫作向量a的坐標，記作a＝（x，y）.
2. 用向量的起點和終點坐標求向量的坐標
3. 相等向量的坐標
兩個相等向量的坐標相同，坐標相同的兩個向量相等.
知識點2　向量線性運算的坐標表示
1. 和向量的坐標表示：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝（x1＋ x2，y1＋y2）.
2. 差向量的坐標表示：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a－b＝（x1－ x2，y1－y2）.
3. 數乘向量的坐標表示：設a＝（x1，y1），則λa＝（λx1，λy1），其中λ∈R.
知識點3　向量數量積的坐標表示
1. 求向量的數量積：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則有a·b＝x1x2＋ y1y2.
即兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和.
即向量的模等于其坐標平方和的算術平方根.
4. 向量垂直的充要條件：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a與b都是非零 向量，則有a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
C
【考查目標】 本題考查平面向量的坐標表示、共線向量以及單位向量的求法.
【答案】 D
A. （2，2） B. （1，1）
C. （2，4） D. （1，2）
【考查目標】 本題考查向量坐標的簡單運算.
【答案】 B
【解題技巧】 解答本類題目時，常用“兩個相等向量的坐標相同”這一結論，通 過建立方程或方程組來求解.
例4　已知向量a＝（1，2），b＝（－1，3），c＝（2，－1），且c＝xa－ yb.求實數x，y的值.
【考查目標】 本題考查利用待定系數法求向量線性運算中的未知量.
【解題技巧】 本類題目可以利用待定系數法求解.利用題目中給出的向量c與向 量a，b的線性關系，再結合相等向量建立一個關于x，y的二元一次方程組，進 而求出x，y的值.
A. （4，－3） B. （4，0）
C. （6，－3） D. （6，－2）
【解析】a＋2b＝（2，－4）＋2（2，1）＝（2，－4）＋（4，2）＝
（6，－2）.
D
B
例5　（2023年安徽省職教高考真題）已知向量a＝（1，2），b＝（－2，m）. 若a∥b，則a＋b＝（　　）.
A. （－1，－2） B. （－1，2）
C. （－3，6） D. （3，－6）
【考查目標】 本題考查向量共線的坐標表示和坐標運算.
【解析】 因為a∥b，所以1×m＝2×（－2），得m＝－4，所以a＋b＝（－ 1，－2）.
【答案】 A
【解題技巧】 本題是共線向量充要條件的應用，不僅要掌握向量線性運算的坐標 表示，還要掌握共線向量的坐標表示.
A. 4 B. 1
C. －4 D. －1
【解析】由a∥b可知，1×x－2×（－2）＝0，得x＝－4.
A. 1 B. 2或－2 C. －2 D. 2
C
D
【解析】由題意，得－3＝（1＋x）（1－x），整理得x2＝4，解得x＝－2或x ＝2.當x＝－2時，m＝（1，－1），n＝（3，－3），不符合題意；當x＝2 時，m＝（1，3），n＝（－1，－3），符合題意.
（3）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，2）.求當實數λ為何值時，λa＋b與a －3b平行.
解：因為a＝（1，2），b＝（－3，2），
所以λa＋b＝λ（1，2）＋（－3，2）＝（λ－3，2λ＋2），
a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4）.
因為（λa＋b）∥（a－3b），
所以－4×（λ－3）－10×（2λ＋2）＝0，
例6　已知向量a＝（－1，2），b＝（－3，1），求a·b，｜a｜，｜b｜及＜ a，b＞.
【考查目標】 本題考查向量數量積的坐標表示.
A. 2 B. －2
A. 5 B. －5 C. －6 D. 6
D
A
例7　已知向量a＝（2，－1），b＝（－3，4），且ma＋b與a－b垂直.求實 數m的值.
【考查目標】 本題考查向量線性運算及向量垂直.
【解析】 因為a＝（2，－1），b＝（－3，4），
所以ma＋b＝m（2，－1）＋（－3，4）＝（2m－3，4－m），
a－b＝（2，－1）－（－3，4）＝（5，－5）.
因為ma＋b與a－b垂直，
所以5×（2m－3）＋（－5）×（4－m）＝0，
D
A. （3，2） B. （－3，2）
C. （3，－2） D. （－3，－2）
B
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】①如果兩個單位向量的方向不同，那么它們就不是相等向量，錯 誤；②向量的模可以比較大小，而向量不能比較大小，錯誤；③對于兩個非 零向量，相等的向量一定平行，正確；④對于兩個非零向量a，b，才有 a⊥b a·b＝0，錯誤；⑤只有起點在坐標原點的向量的坐標在數值上才等于 向量的終點坐標，錯誤.
D
A. （－4，－9） B. （－9，－4）
C. （－4，9） D. （4，－9）
B. 2 C. －2
【解析】∵＜a，3b＞＝90°，∴＜a，b＞＝90°，∴a⊥b，∴（－1）× （－2）＋x＝0，解得x＝－2.
A
C
A. 1，3 B. 3，1 C. 1，－5 D. 5，－1
B
A. 6 B. －6
B
B. 0 C. π
【解析】由m＝（－2，1），n＝（4，－2），得n＝－2m，即向量m與n共 線且方向相反，故＜m，n＞＝π.
A. 0 B. 2 C. 3 D. 5
C
A
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【解析】因為a＋b＝0 a∥b，而 a∥b /a＋b＝0，所以“a∥b”是“a＋ b＝0”的必要不充分條件.
D. d＝（1，0）
B
A
A. 2 B. 8 C. －2 D. －8
【解析】∵a＝（1，－1），b－a＝（1，3），∴a·（b－a）＝1×1＋（－ 1）×3＝－2.
A. －1 B. 1 C. 4 D. －4
【解析】由a·b＝－｜a｜｜b｜，得a與b的方向相反，所以a∥b，故2×2＝ －4×（－x），則x＝1.
C
B
A. －12 B. －3 C. －2 D. －1
A. 3a＋b B. 3a－b
C. －a＋3b D. a＋3b
B
B
A. m＋n＝（1，－2） B. m·n＝8
C. ｜n｜＝2｜m｜ D. m∥n
B
二、填空題
16. 已知向量a＝（3，4），b＝（1，2），則｜a－2b｜＝ .
17. 已知向量a＝（x，－3），向量b＝（－1，1），且2a－b與b共線，則x ＝ .
【解析】因為a＝（x，－3），b＝（－1，1），所以2a－b＝（2x＋1，－ 7），又2a－b與b共線，則（2x＋1）×1－（－1）×（－7）＝0，解得x＝3.
1
3
18. 若向量a＝（－2，1），b＝（4，m），當a⊥b時，3a＋2b的坐標 為 .
【解析】由a⊥b，得a·b＝－8＋m＝0，解得m＝8，則3a＋2b＝3（－2， 1）＋2（4，8）＝（2，19）.
19. 若向量a＝（3，－2），b＝（x，6），且a與b的夾角為鈍角，則實數x的 取值范圍是 .（用區間表示）
（2，19）
（－∞，－9）∪（－9，4）
三、解答題
20. 設向量a＝（1，－2），b＝（－2，3），求下列向量的坐標.
（1）a＋b；
解：（1）a＋b＝（1，－2）＋（－2，3）＝（－1，1）.
（2）－3a；
解：（2）－3a＝－3（1，－2）＝（－3，6）.
（3）3a－2b.
解：（3）3a－2b＝3（1，－2）－2（－2，3）＝（3，－6）－（－4，6）＝ （7，－12）.
（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，求另一個頂點D的坐標.
22. 已知向量a＝（2，－3），b＝（3，2），當實數k為何值時：
（1）向量a－2b與ka＋b垂直；
解：由題意，得a－2b＝（2，－3）－2（3，2）＝（－4，－7），
ka＋b＝k（2，－3）＋（3，2）＝（2k＋3，－3k＋2）.
（1）由向量a－2b與ka＋b垂直，得
（a－2b）·（ka＋b）＝0，
即－4（2k＋3）＋（－7）（－3k＋2）＝0，解得k＝2.
（2）向量a－2b與ka＋b平行.

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