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(共52張PPT)
　平面向量
專(zhuān)題一　平面向量的概念及線性運(yùn)算
6.1　平面向量的概念及線性運(yùn)算
重點(diǎn) 難點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)
了解平面向量、有向線段及有關(guān)概念， 了解單位向量、零向量、相等向量、相 反向量和共線向量的含義，理解向量的 加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義， 了解平面向量數(shù)量積的概念、運(yùn)算和性 質(zhì)，了解平面向量數(shù)量積的幾何應(yīng)用， 理解向量的坐標(biāo)表示，了解向量坐標(biāo)的 加法、減法和數(shù)量積運(yùn)算. 平面向量的線性 運(yùn)算，向量坐標(biāo) 的加法、減法和 數(shù)量積運(yùn)算，向 量平行和垂直的 充要條件. 利用坐標(biāo)計(jì)算向量 數(shù)量積、模長(zhǎng).
知識(shí)點(diǎn)1　向量的概念
1. 數(shù)量和向量
只有大小，沒(méi)有方向的量叫作數(shù)量，數(shù)量可以比較大小；既有大小，又有方向的 量叫作向量，向量不能比較大小.
2. 有向線段
把具有確定方向的線段叫作有向線段.
5. 幾種特殊向量
名稱(chēng) 定義 記法 備注
零向量 模為零的向量 ｜0｜＝0，其方向是任意的
單位
向量 模為1的向量 ｜a｜ ＝1 —
平行
向量 方向相同或相反的兩個(gè)非零 向量 a∥b 規(guī)定：零向量和任何一個(gè)向量 都平行
共線
向量 方向相同或相反的兩個(gè)非零 向量 a∥b 平行向量也叫作共線向量
相等
向量 模相等且方向相同的兩個(gè)向 量 a＝b a＝b ｜a｜＝｜b｜且a， b同向
名稱(chēng) 定義 記法 備注
相反
向量 與非零向量a的模相等、方 向相反的向量 －a ｜a｜＝｜－a｜
規(guī)定：零向量的相反向量仍是 零向量
知識(shí)點(diǎn)2　向量的加法運(yùn)算
1. 定義：向量a＋b稱(chēng)為向量a與向量b的和，求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算叫作向量 的加法.
2. 不共線的兩個(gè)非零向量之和
【記憶口訣】 起點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量相加，其和向量是以該起點(diǎn)為起點(diǎn)，以這 兩個(gè)向量為鄰邊所作平行四邊形的第三個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.
3. 共線的兩個(gè)非零向量之和
（1）向量a，b方向相同，如圖所示.
（2）向量a，b方向相反，如圖所示.
4. 向量的加法運(yùn)算律
（1）0＋a＝a＋0＝a；
（2）a＋（－a）＝0；
（3）a＋b＝b＋a；（交換律）
（4）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.（結(jié)合律）
【記憶口訣】 首首相連，尾連尾，方向指向被減量：起點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量相 減，其差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)的向量.
3. 向量的減法公式：a－b＝a＋（－b）.
知識(shí)點(diǎn)4　向量的數(shù)乘運(yùn)算
1. 定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的乘法運(yùn)算叫作數(shù)與向量的乘法運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)向 量，記作λa.
（1）大小：｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，即λa的模是｜a｜的｜λ｜倍.
（2）方向：當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同，此時(shí)（λa）∥a；
當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反，此時(shí)（λa）∥a；
當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，都有0a＝λ0＝0，所以方向是任意的.
2. 運(yùn)算法則：對(duì)于任意向量a，b及任意實(shí)數(shù)λ，μ，都有以下運(yùn)算法則.
（1）1a＝a；
（2）（－1）a＝－a；
（3）（λμ）a＝λ（μa）＝μ（λa）；
（4）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
（5）λ（a＋b）＝λa＋λb.
3. 向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算.向量的線性運(yùn)算的結(jié)果 還是向量.
4. 向量共線的充要條件：當(dāng)a≠0時(shí)，a∥b 存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
5. 線性表示：一般地，λa＋μb叫作向量a，b的一個(gè)線性組合（其中實(shí)數(shù)λ，μ 均為系數(shù)）.如果l＝λa＋μb，那么稱(chēng)向量l可以用向量a，b線性表示.
例1　下列關(guān)于向量的說(shuō)法中，正確的是（　　）.
A. 向量只有大小 B. 向量只有方向
C. 向量是有向線段 D. 向量是既有大小又有方向的量
【考查目標(biāo)】 本題考查向量的定義.
【解析】 在數(shù)學(xué)中，把既有大小又有方向的量，叫作向量.向量可以用有向線段 表示，但不能說(shuō)向量就是有向線段.
【答案】 D
A. 路程 B. 速度 C. 加速度 D. 力
【解析】 速度、加速度、力、位移等都是既有大小又有方向的物理量，而路程 只有大小沒(méi)有方向.
A
（2）一架飛機(jī)從A處向正南方向飛行300 km，另一架飛機(jī)從A處朝北偏東 45°方向飛行300 km，兩架飛機(jī)的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架 飛機(jī)的位移.
解：不相同.位移是向量.雖然這兩個(gè)向量的模相等，但是它們的方向不同，所以 兩架飛機(jī)的位移不相同.如圖所示，兩架飛機(jī)位移的有向線段分別表示為a與b.
例2　下列關(guān)于向量的命題中，正確的是（　　）.
A. 平行向量的方向都相同
B. 平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量
C. 零向量的方向無(wú)法確定，所以它與任意向量都不平行
D. 單位向量的模都相等
【考查目標(biāo)】 本題考查向量的相關(guān)概念.
【解析】 平行向量的方向相同或相反，A項(xiàng)錯(cuò)誤；平行且模相等的兩個(gè)向量也可 能是相反向量，B項(xiàng)錯(cuò)誤；零向量與任何一個(gè)向量平行，C項(xiàng)錯(cuò)誤.
【答案】 D
A. 共線向量是表示兩個(gè)向量的有向線段一定在一條直線上
B. 向量0與非零向量a不是共線向量
C
【考查目標(biāo)】 本題考查向量加法的三角形法則和加法的運(yùn)算律.
【答案】 C
【考查目標(biāo)】 本題考查向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.
【解析】 （方法1）如圖所示，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE， EC，則四邊形ABEC是平行四邊形.
【解題技巧】 根據(jù)三角形的中線構(gòu)造出平行四邊形，再利用平行四邊形法則解決 問(wèn)題，或多次利用三角形法則解決問(wèn)題.
A
【考查目標(biāo)】 本題考查向量的線性運(yùn)算.
【答案】 D
C
例6　計(jì)算：3（a＋2b）－2（a－b）－a＋3b.
【考查目標(biāo)】 本題考查平面向量的線性運(yùn)算.
【解析】 原式＝3a＋6b－2a＋2b－a＋3b＝（3－2－1）a＋（6＋2＋3）b ＝11b.
A. A，B，D三點(diǎn)共線 B. A，B，C三點(diǎn)共線
C. B，C，D三點(diǎn)共線 D. A，C，D三點(diǎn)共線
A
【考查目標(biāo)】 本題考查向量的線性運(yùn)算.
【解題技巧】 涉及平行四邊形的題目，解題時(shí)要利用平行四邊形的性質(zhì)，應(yīng)用 時(shí)也要注意向量的方向與模.
C
A. 2m B. －2n C. －2m D. 2n
A
A. 重力 B. 時(shí)間 C. 加速度 D. 位移
B
B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
A. 0
A. ｜a｜＝｜b｜ B. a＝b
C. a＝－b D. a∥b
【解析】因?yàn)閍，b都是單位向量，所以｜a｜＝｜b｜＝1，A項(xiàng)正確；因?yàn)?a，b的方向沒(méi)有說(shuō)明，所以B，C，D項(xiàng)不一定成立.
B
A
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
A. ｜0｜＝0 B. λ0＝0
C. 0a＝0 D. a＋（－a）＝0
A. 平行四邊形 B. 菱形 C. 梯形 D. 長(zhǎng)方形
B
C
C
B
D
C
D
D
B
A. 2a－b B. a－2b C. 2a＋b D. a＋2b
B. 6a C. －6a
【解析】因?yàn)?x－3（x－2a）＝0，所以x＝6a.
A
B

20. 設(shè)e1和e2為兩個(gè)不共線的向量，則a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2（λ∈R）共線的 充要條件是 .
（2）7（4a－b）＋5（－3a＋2b）；
解：（2）7（4a－b）＋5（－3a＋2b）
＝（28a－15a）＋（－7b＋10b）
＝13a＋3b.
（3）4（a－3b＋2c）－3（－a＋3b－c）.
解：（3）4（a－3b＋2c）－3（－a＋3b－c）
＝（4a＋3a）＋（－12b－9b）＋（8c＋3c）
＝7a－21b＋11c.
22. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，試回答下列問(wèn)題.
解：由平行四邊形的性質(zhì)可知，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相 平分.
23. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝3，求｜a＋b｜及｜a－b｜的最大值和最小值.
解：（1）向量a，b共線時(shí)，
①當(dāng)a，b同向時(shí)，｜a＋b｜取最大值為5＋3＝8，｜a－b｜取最小值為5－3 ＝2；
②當(dāng)a，b反向時(shí)，｜a＋b｜取最小值為5－3＝2，｜a－b｜取最大值為5＋3 ＝8.
（2）向量a，b不共線時(shí)，
｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.
綜上所述，｜a＋b｜和｜a－b｜的最大值均為8，最小值均為2.

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