資源簡介

(共36張PPT)
　三角函數
專題一　任意角的三角函數
4.1　任意角和弧度制
重點
掌握象限角、終邊相同的角的概念及表示方法，掌握弧度制與角度制的換算關系，掌握弧長公式和扇形的面積公式，掌握任意角的三角函數的定義，掌握特殊角的三角函數值，掌握同角三角函數的基本關系，掌握三角函數的誘導公式，掌握正弦函數、余弦函數的圖像和性質，掌握兩角和與差的正弦、余弦 和正切公式，掌握二倍角公式，掌握正弦型函數的圖像和性質，掌握輔助角公式，掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式.
難點 易錯點
靈活運用三角函數的誘導公式，靈活運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式，熟練運用輔助角公式，運用正弦定理、余弦定理和 三角形的面積公式解決實際問題. 判斷任意角的正弦函數、余弦函數、正切函數在各個象限內的符號，正確使用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.
知識點1　任意角的分類
1. 任意角按照射線的旋轉方向可以分為正角、負角和零角.
正角：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫作正角.
負角：一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角叫作負角.
零角：當一條射線沒有做任何旋轉，也認為形成了一個角，這個角叫作零角.
2. 任意角按照終邊的位置可以分為象限角和界限角.
（1）象限角：將角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，此時角 的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角.
（2）界限角：如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象 限，稱為界限角.
知識點2　終邊相同的角
1. 研究終邊相同的角的前提是角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負 半軸重合.一般地，所有與角α終邊相同的角，包括角α在內，可以組成一個集合 S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即所有與角α終邊相同的角都可以表示成角α與 360°的整數倍的和.
2. 終邊在直線y＝kx上的角：直線y＝kx被原點O分成兩條射線，取一條射線上 的一個特殊角記為α，加上180°的整數倍，即{β｜β＝α＋k·180°，k∈Z}.
5. 特殊角的弧度與角度之間的轉換
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135°
弧度 0
角度 150° 180° 210° 225° 240° 270° 360°
弧度 π 2π
知識點4　弧長公式和扇形的面積公式
　設扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為n°或α（rad）.
例1　下列說法正確的是（　?。?
A. 若角α的終邊在第一象限，則角α是正角
B. 第二象限角一定大于第一象限角
C. 第一象限角是銳角
D. 鈍角是第二象限角
【考查目標】 本題考查正角、象限角的概念.
【答案】 D
【解析】 第一象限角不一定是正角，A項錯誤；度數是120°的角是第二象限 角，度數為390°的角是第一象限角，但390°＞120°，B項錯誤；度數為390° 的角是第一象限角，但它不是銳角，C項錯誤；第二象限角組成的集合可表示為 S＝{α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z}，當k＝0時，角α為鈍 角，D項正確.
【解題技巧】 象限角是根據角的終邊位置來確定的，與角的大小、角的正 負無關.
A. 若角α是銳角，角β是鈍角，則0°＜α＋β＜180°
B. 若角α與角β的終邊關于x軸對稱，則 α＋β＝0
C. 界限角的終邊一定在坐標軸上
D. 若兩個角的終邊相同，則這兩個角的差是3π的整數倍
【解析】因為0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，所以90°＜α＋β＜270° ，A項 錯誤；因為角α與角β的終邊關于x軸對稱，所以β＝－α＋2kπ（k∈Z），所以α ＋β＝2kπ（k∈Z），B項錯誤；若兩個角的終邊相同，則這兩個角的差是π的偶 數倍，D項錯誤.
C
A. {α｜α＝135°＋k·360°，k∈Z}
B. {α｜α＝－45°＋k·180°，k∈Z}
C. {α｜α＝－45°＋kπ，k∈Z}
D. {α｜α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
B
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】第二象限角α如圖所示，故角α＋π為第四象限角.
D
例2?。?023年安徽省職教高考真題）角2 023°的終邊在（　?。?
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【考查目標】 本題考查終邊相同的角和象限角的判斷.
【解析】 因為與角2 023°終邊相同的角組成的集合為{β｜β＝2 023°＋ 360°·k，k∈Z}，當k＝－5時，β＝223°，又角223°為第三象限角，故角2 023°為第三象限角，即角2 023°的終邊在第三象限.
【答案】 C
【解題技巧】 與角α終邊相同的角組成的集合為S＝{β｜β＝α＋k·360°， k∈Z}；求某個范圍內與角α終邊相同的角時，一般運用賦值法.
A. 150° B. 210° C. 30° D. 330°
【解析】令－690°＝k·360°＋α（k∈Z），則 α＝－690°－k·360° （k∈Z）.令k＝－2，得α＝30°.
A. －590° B. 50° C. 130° D. 950°
【解析】與230°角終邊相同的角為230°＋k·360°（k∈Z），由計算可知，只 有D選項的950°＝230°＋2×360°可化為上述形式，所以與230°角終邊相同 的角為950°.
C
D
（2）5；
（3）1 125°.
【考查目標】 本題考查角度與弧度的轉化.
A. －75° B. 75° C. －65° D. －85°
A
C
A. π
【答案】 （1）A
B. π C. 2π D. 4π
【考查目標】 本題考查扇形的面積公式和弧長公式.
【答案】 （2）B
B. π
A. 8 cm B. 6 cm
C. 4 cm D. 2 cm
A
C
A. 1 B. 2 D. 4
A
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】由題意可知，－α是第四象限角.
A. 17° B. 107° C. 197° D. 287°
【解析】與－73°角終邊相同的角α可表示為α＝－73°＋k·360° （k∈Z）， 由題意得k＝1，所以α＝287°.
D
D
A. －60° B. －30°
D
B
A. π C. 2π
A
{α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，
k∈Z}
一、三
8. 如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形就稱為“等邊扇形”，則半徑 為2的“等邊扇形”的面積為 .
2
三、解答題
9. 在0°～360°范圍內找出與下列各角終邊相同的角.
（1）－110°；
解：（1）與－110°角終邊相同的所有角組成的集合是{β｜β＝－110°＋ k·360°，k∈Z}，
當k＝1時，β＝1×360°－110°＝250°，故在0°～360°范圍內，與－110° 角終邊相同的角是250°角.
（2）645°.
解：（2）與645°角終邊相同的所有角組成的集合是{β｜β＝645°＋k·360°， k∈Z}，
當k＝－1時，β＝－1×360°＋645°＝285°，故在0°～360°范圍內，與 645°角終邊相同的角是285°角.
11. 把下列各角寫成β＝α＋k×360°（k∈Z）（0°≤α＜360°）或β＝γ＋2kπ （k∈Z）（0≤γ＜2π）的形式，并指出是第幾象限角.
（1） －2 025°；
解：（1）因為－2 025°＝135°－6×360°，
所以－2 025°角是第二象限角.
12. 某機械采用齒輪傳動，由主動輪A帶著從動輪B轉動（如圖），主動輪有81 個齒，從動輪有27個齒，如果主動輪每分鐘轉210轉，從動輪的直徑為20 cm ，求 從動輪圓周上一點每秒鐘轉過的弧長.（注：計算結果保留π）
解：因為主動輪有81個齒，從動輪有27個齒，所以主動輪的轉速∶從動輪轉速＝ 1∶3，
所以從動輪每分鐘轉210×3＝630（轉）.
設從動輪每分鐘轉的弧度數為α，則｜α｜＝630×2π＝1 260π，
故從動輪圓周上一點每分鐘轉過的弧長＝｜α｜r＝1 260π×10＝12 600π（cm）.
故從動輪圓周上一點每秒鐘轉過的弧長＝12 600π÷60＝210π（cm）.
解：延長AD交BC的延長線于點O，如圖所示.
則AO＝36，OC＝15，

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