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　三角函數
專題三　三角函數的圖像和性質
4.7　正弦函數、余弦函數的圖像和性質
注：一般地，對于函數y＝f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義 域內任意一個值時，都有f（x＋T）＝f（x），則稱函數y＝f（x）為周期函 數.如果周期函數y＝f（x）的所有周期中存在一個最小的正數T0，那么這個最 小的正數T0就稱為y＝f（x）的最小正周期.如正弦函數.
2. 余弦函數的性質
（1）定義域：實數集R.
（2）值域：[－1，1].
（3）周期性：余弦函數y＝ cos x，x∈R的最小正周期為2π，周期T＝2kπ （k∈Z且k≠0）.
（4）奇偶性：余弦函數y＝ cos x，x∈R是偶函數.
（5）單調性：余弦函數y＝ cos x，x∈R在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上是減函 數，在[π＋2kπ，2π＋2kπ]（k∈Z）上是增函數.
（6）最值：當x＝2kπ（k∈Z）時，y取最大值，ymax＝1；當x＝π＋2kπ （k∈Z）時，y取最小值，ymin＝－1.
例1　作函數y＝2－ sin x，x∈R的簡圖，并求該函數的最大值、最小值、最小 正周期以及函數取最大值、最小值時x的集合.
【考查目標】 本題考查正弦函數的圖像和性質的應用.
【解析】 列表如下，圖略.
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
y＝2－ sin x 2 1 2 3 2
變式訓練1
求函數y＝2 sin x，x∈R的最大值、最小值，及函數取得最大值、最小值時自變 量x的集合.
【考查目標】 本題考查正弦函數最值的應用和誘導公式.
【解題技巧】 求形如“y＝a＋b sin x”“y＝a＋b cos x”函數的最值，要按照 b＞0和b＜0進行分類討論求解.
A. 1 B. －3 C. －1 D. 1或－1
【解析】由題意可知，a≠0，當 cos x＝1時，f（x）＝－a＋2；當 cos x＝－1 時，f（x）＝a＋2.當a＞0時，a＋2＝3，此時a＝1，函數f（x）的最小值 是－a＋2＝－1＋2＝1；當a＜0時，－a＋2＝3，此時a＝－1，函數f（x）的 最小值是a＋2＝－1＋2＝1.故函數f（x）的最小值是1.
A
【解析】由f（0）＝2，得－m cos 0－m＝2，即m＝－1，則f（x）＝ cos x＋ 1.又因為y＝ cos x的值域為[－1，1]，所以f（x）的最小值是0.
A. 1 B. －1 C. 3 D. 0
D
【解析】 （1）要使函數有意義，必須使｜ sin x｜≠0，∴ sin x≠0，∴函數的 定義域為{x｜x≠kπ，k∈Z}.
【考查目標】 本題考查三角函數的定義域.
要使函數有意義，必須使 cos x＋1≠0，即 cos x≠－1，結合圖像（如圖），
函數的定義域是{x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}.
（2） sin 250°與 sin 260°.
【解析】 （2）∵180°＜250°＜260°＜270°，且正弦函數y＝ sin x在區間 [180°，270°]上是減函數，∴ sin 250°＞ sin 260°.
【考查目標】 本題考查利用三角函數的單調性比較大小.
【解題技巧】 （1）利用余弦函數y＝ cos x在區間[0，π]上是減函數判斷它們的 大小；
（2）利用正弦函數y＝ sin x在區間[180°，270°]上是減函數判斷它們的大小.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】y＝ cos x（2－ cos x）－ sin 2x＝2 cos x－ cos 2x－ sin 2x＝2 cos x－ 1，因為 cos x∈[－1，1]，所以該函數的最大值是1.
A
D
C. π
C
D
B. （－π＋kπ，kπ）（k∈Z）
C
＜
三、解答題
8. 已知函數y＝A sin x＋B（x∈R）的最大值為5，最小值為3，求A，B的值.
解：①當A＞0時，A＋B＝5，－A＋B＝3，解得A＝1，B＝4；
②當A＜0時，A＋B＝3，－A＋B＝5，解得A＝－1，B＝4.
綜上所述，A的值為1或－1，B的值為4.
解得2≤m≤4，故實數m的取值范圍是[2，4].

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