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　數列
專題一　數列的概念
5.1　數列的概念
重點
理解數列的有關概念及通項公式的含義，根據數列的前n項寫出數列的一個 通項公式，根據數列的通項公式寫出數列中的任何一項；掌握等差數列的定 義、通項公式、性質及前n項和公式，并能熟練運用它們，解決一些實際問 題；掌握等比數列的定義、通項公式、性質及前n項和公式，并能熟練運 用它們，解決一些實際問題.
難點 易錯點
等差數列的定義、通項公式、性質、前n項和公式的應用；等比數列的定 義、通項公式、性質、前n項和公式的應用. 忽略等差數列公差為0和等比數列公比為1的情況.
知識點1　數列的定義和分類
1. 數列的定義
按照一定次序排成的一列數叫作數列.數列中的每一個數叫作這個數列的項，各 項自左至右依次叫作這個數列的第一項（或首項），第二項，第三項，……，第 n項，其中反映各項在數列中位置的數字1，2，3，…，n，分別叫作對應項的項 數.數列的一般形式為a1，a2，a3，…，an（n∈N*），簡記作{an}.
①有窮數列：項數有限的數列叫作有窮數列.
②無窮數列：項數無限的數列叫作無窮數列.
另外，所有項均為同一個數的數列叫作常數列.
2. 數列的分類
數列按項數的多少，可以分為有窮數列和無窮數列.
知識點2　數列的通項公式和遞推公式
1. 數列的通項公式
一般地，當一個數列的第n項an與項數n之間的關系可以用一個式子來表示時， 這個式子就叫作這個數列的通項公式.
注：①數列的通項公式在形式上不唯一，如數列1，－1，1，－1，…，其通項公 式可以寫成an＝（－1）n－1或an＝（－1）n＋1，還可以寫成an＝－ cos nπ；
②不是所有的數列都有通項公式.
2. 數列的遞推公式
（1）如果已知數列的首項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任意 一項an與它的前一項an－1（或前幾項）間的關系都可以用一個式子來表示，那么 這個公式就是這個數列的遞推公式.
注：一般地，把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n 項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
【考查目標】 本題考查根據數列的通項公式，寫出數列的前幾項.
【解題技巧】 已知數列的通項公式求數列的前幾項時，只需要將通項公式中的n 換成該項的項數，并計算即可求解.
變式訓練1
設數列{an}的通項公式是an＝n2－2n.
（1）判斷35是否為該數列的項，如果是，它是數列的第幾項？
解：（1）設35是數列{an}的第n項，將35代入數列的通項公式an＝n2－2n中， 得n2－2n＝35，解得n＝7或n＝－5.又因為n∈N*，所以n＝7，
所以35是數列{an}中的項，并且它是數列的第7項.
（2）判斷24是否為該數列的項，如果是，它是數列的第幾項？
解：（2）設24是數列{an}的第n項，將24代入數列的通項公式an＝n2－2n，得 n2－2n＝24，解得n＝6或n＝－4.又因為n∈N*，所以n＝6，
所以24是數列{an}中的項，并且它是數列的第6項.
例2　根據下列各無窮數列的前4項，寫出數列的一個通項公式.
（2）2，22，222，2 222，…；
【考查目標】 本題考查根據數列的前幾項，寫出數列的一個通項公式.
【解題技巧】 求數列的通項公式的關鍵是找an與n的對應關系式，要根據已知條 件，挖掘隱藏條件，通過觀察、類比、歸納和猜想，找出其變化規律.
注：由數列的前幾項探求數列的通項公式時，答案不一定是唯一的.
變式訓練2
例3　已知數列{an}的通項公式為an＝n2－6n－7.
（1）求a5的值；
【解析】 （1）a5＝52－6×5－7＝－12.
（2）判斷9是否是這個數列的項；
【解析】 （2）令n2－6n－7＝9得n2－6n－16＝0，解得n＝8或n＝－2（舍 去），所以9是這個數列的第8項.
（3）這個數列從第幾項起都是正數？
【解析】 （3）若an＞0，則n2－6n－7＞0，解得n＜－1或n＞7，
因為n∈N*，所以這個數列從第8項起都是正數.
【考查目標】 本題考查數列的相關概念.
【解題技巧】 第（1）題是利用數列的通項公式求數列中的項，將n的值代入通 項公式即可求解；第（2）題可以通過分析關于項數n的方程是否有正整數解來 進行判斷；第（3）題是通過求解符合題意的不等式得出n的取值范圍.
變式訓練3
已知數列{an}的通項公式為an＝－n2－n＋20.
（1）求a9的值；
解：（1）∵an＝－n2－n＋20，
∴a9＝－92－9＋20＝－70.
（2）判斷該數列有多少個正數項.
解：（2）令an＞0得－n2－n＋20＞0，
∴n2＋n－20＜0，解得－5＜n＜4.
又∵n∈N*，∴n＝1，2，3，
∴該數列有3個正數項.
例4　已知數列{an}的首項a1＝2，an＋1＝an＋3（n∈N*），求a2，a3，a4，a5.
【考查目標】 本題考查數列的遞推公式.
【解析】 由a1＝2，an＋1＝an＋3（n∈N*），得
當n＝1時，a2＝a1＋3＝2＋3＝5；
當n＝2時，a3＝a2＋3＝5＋3＝8；
當n＝3時，a4＝a3＋3＝8＋3＝11；
當n＝4時，a5＝a4＋3＝11＋3＝14.
【解題技巧】 利用數列相鄰兩項之間的關系，由前一項遞推出后一項，從而確定 每一項.
變式訓練4
已知數列{an}的首項a1＝3，an＋1＝3an－1（n∈N*），求a2，a3，a4，a5.
解：由a1＝3，an＋1＝3an－1（n∈N*），得
當n＝1時，a2＝3a1－1＝8；
當n＝2時，a3＝3a2－1＝23；
當n＝3時，a4＝3a3－1＝68；
當n＝4時，a5＝3a4－1＝203.
A. 數列2，4，6，8與數列8，6，4，2是相同的數列
B. 同一個數可以在數列中重復出現
C. 數列2，4，6，8與數列2，4，6，8，…是相同的數列
D. 數列2，4，6，8可以表示為{2，4，6，8}
【解析】數列2，4，6，8與數列8，6，4，2不是相同的數列，A項錯誤；同 一個數可以在數列中重復出現，B項正確；數列2，4，6，8與數列2，4， 6，8，…不是相同的數列，C項錯誤；數列2，4，6，8不可以表示為{2， 4，6，8}，D項錯誤.
B
A. 23 B. 22 C. 21 D. 20
A. 31 B. 55 C. 70 D. 110
【解析】當n＝10時，a10＝10×（10＋1）＝110.
A. 16 B. 17 C. 32 D. 33
B
D
D
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】由已知條件得n2－4n－12＞0，得n＞6或n＜－2（舍去），因此該數 列從第7項起為正數.
B
C
①1，2，3，4，…；②2，－2，2，－2，…；③6，6，6，6；④9，8，7，6，5.
A. 這四個數列都是無窮數列 B. 這四個數列都是常數列
C. 這四個數列都是有窮數列 D. 數列③是常數列
【解析】在題給的四個數列中，數列①②是無窮數列，數列③④是有窮數列， A，C項錯誤；數列③是常數列，B項錯誤，D項正確.
A. 第4項 B. 第5項 C. 第6項 D. 第7項
D
B
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】由Sn＝n2＋n，得S1＝a1＝2，S2＝a1＋a2＝22＋2＝6，所以a2＝S2－ S1＝4.
C
B
C
二、填空題
12. 已知數列{an}的通項公式為an＝2n－1，則a8＝ .
【解析】因為an＝2n－1，所以a8＝2×8－1＝15.
13. 數列6，66，666，6 666，…的一個通項公式是 .
14. 已知數列{an}的通項公式為an＝－2n＋10，則該數列從第 項開始 為負數.
15. 已知數列{an}的通項公式為an＝n（n－1），則a2＋a5的值為 .
16. 在數列{an}中，a1＝2，a2＝5，且an＋2＝an＋1－an，則a5＝ .
【解析】令n＝1，得a3＝a2－a1＝3；令n＝2，得a4＝a3－a2＝－2；令n＝3， 得a5＝a4－a3＝－5.
15
6
22
－5
三、解答題
17. 已知數列{an}的通項公式為an＝n2－10n－11.
（1）寫出這個數列的第8項和第20項的值；
解：（1）∵an＝n2－10n－11，
∴a8＝82－10×8－11＝－27，
a20＝202－10×20－11＝189.
（2）該數列的哪幾項為負數？
解：（2）令an＜0，則n2－10n－11＜0，
∴（n－11）（n＋1）＜0，
∴－1＜n＜11.
又∵n∈N*，
∴n的最小值是1，最大值是10，
∴該數列的前10項為負數.
（3）該數列的最小項是第幾項？其值是多少？
18. 已知數列{an}的首項a1＝2，an＋1＝2an＋1（n∈N*），求a2，a3，a4，a5.
解：由a1＝2，an＋1＝2an＋1（n∈N*），得
當n＝1時，a2＝2a1＋1＝5；
當n＝2時，a3＝2a2＋1＝11；
當n＝3時，a4＝2a3＋1＝23；
當n＝4時，a5＝2a4＋1＝47.

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