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　數(shù)列
專題二　等差數(shù)列
5.2　等差數(shù)列
知識點1　等差數(shù)列的定義
1. 等差數(shù)列的定義
一般地，當一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù) 時，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用 字母d表示.
2. 等差數(shù)列的定義式：an＋1－an＝d（d為常數(shù)）.
注：①要證明一個數(shù)列為等差數(shù)列，只要證明an＋1－an＝d（d為常數(shù)）即可；
②等差數(shù)列的單調(diào)性：d＞0 遞增數(shù)列，d＝0 常數(shù)列，d＜0 遞減數(shù)列.
知識點2　等差數(shù)列的通項公式
1. 等差數(shù)列的通項公式
an＝a1＋（n－1）d，其中a1表示首項，n表示項數(shù)，d表示公差.
2. 等差數(shù)列通項公式的推廣
an＝am＋（n－m）d（n∈N*，m∈N*）.
注：①利用等差數(shù)列的通項公式可以求數(shù)列中的任意一項；
②在公差d≠0的等差數(shù)列中，an是關(guān)于n（n∈N*）的一次函數(shù)，即an＝dn＋ b.
知識點3　等差數(shù)列的性質(zhì)
1. 等差中項
2. 等差數(shù)列的性質(zhì)
在等差數(shù)列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap ＋aq.
知識點4　等差數(shù)列前n項和
1. 等差數(shù)列前n項和公式
注：①等差數(shù)列前n項和公式共涉及a1，d，n，an，Sn五個基本量，根據(jù)其中 的三個基本量可以求出另外兩個基本量；
②當已知首項a1、末項an以及項數(shù)n時，選用（1）式計算Sn較簡便；
③當已知首項a1、公差d以及項數(shù)n時，選用（2）式計算Sn較簡便.
2. 等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
例1　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－3.
（1）求數(shù)列{an}的第10項；
【解析】 （1）a10＝2×10－3＝17.
（2）判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列.
【解析】 （2）∵an＝2n－3，
∴an＋1－an＝2（n＋1）－3－（2n－3）＝2.
又∵a1＝2×1－3＝－1，
∴數(shù)列{an}是首項為－1，公差為2的等差數(shù)列.
【考查目標】 本題考查根據(jù)通項公式求某項的值及等差數(shù)列的定義.
【解題技巧】 證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的基本方法：利用等差數(shù)列的定義來證 明，即an＋1－an＝d（d為常數(shù)）.
變式訓練1
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
D
（2）已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝－2n＋3（n∈N*）.
①求a6；
解：①a6＝－2×6＋3＝－9.
②數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列？若是，求出首項與公差.
解：②∵an＋1－an＝[－2（n＋1）＋3]－（－2n＋3）＝－2，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
其首項a1＝－2×1＋3＝1，公差d＝－2.
例2　（2019年安徽省職教高考真題）在數(shù)列{an}中，a1＝4，an＋1－an＝2 （n∈N*），則a6＝（　　）.
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【考查目標】 本題考查等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項公式.
【解析】 由a1＝4，an＋1－an＝2（n∈N*），得數(shù)列{an}是首項a1＝4，公差d ＝2的等差數(shù)列，那么a6＝a1＋5d＝4＋5×2＝14.
【答案】 B
【解題技巧】 解答本題的關(guān)鍵：由已知條件判斷出數(shù)列{an}是等差數(shù)列，再利 用等差數(shù)列的通項公式求解即可.
變式訓練2
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】由2an＋1－2an＝4（n∈N*），得an＋1－an＝2，故a4＝a2＋2d＝3＋ 2×2＝7.
C
例3　在等差數(shù)列{an}中，a2＝1，a9＝－13.求：
（1）等差數(shù)列{an}的通項公式；
（2）等差數(shù)列{an}的前10項和S10.
【考查目標】 本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式.
【解題技巧】 ①等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋（n－1）d共涉及a1，d，n，an 四個基本量，由已知條件列方程組求解未知量即可；
②在求解等差數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意等差數(shù)列的性質(zhì)：若m，n，p， q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.
變式訓練3
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
A. 128 B. 92 C. 80 D. 64
D
A. 5 B. －5 C. 3 D. －3
【解析】由S6－S9＝15，得S9－S6＝a7＋a8＋a9＝－15，又因為a7＋a9＝2a8， 所以3a8＝－15，即a8＝－5.
B
例4　（2021年安徽省職教高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝5，且a2 ＝－2，則a4＝（　　）.
A. 6 B. 4
C. 3 D. 2
【考查目標】 本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式.
【解析】 因為S5＝5a1＋10d＝5，且a2＝a1＋d＝－2，所以d＝3，a1＝－5， 所以a4＝a1＋3d＝－5＋3×3＝4.
【答案】 B
【解題技巧】 利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，求出a1，d的值，即可 求出a4的值.
變式訓練4
A. 14 B. 16
C. 18 D. 20
B
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
B
例5　已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－27，當n為何值時，其前n項和 Sn取最小值？最小值是多少？
【考查目標】 本題考查等差數(shù)列的前n項和.
【解題技巧】 ①在等差數(shù)列{an}中，當a1＜0，d＞0時，其前n項和Sn有最小 值；當a1＞0，d＜0時，其前n項和Sn有最大值；
②因為當公差d≠0時，Sn是關(guān)于n（n∈N*）的二次函數(shù)，即Sn＝an2＋bn，所 以在求關(guān)于前n項和Sn的最值時，可借助二次函數(shù)求解.
變式訓練5
A. 5 B. 6 C. 7 D. 6或7
【解析】∵a1＞0，S4＝S9，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴a6＞0，a7＝0，a8＜ 0，∴Sn取最大值時，n為6或7.
D
一、選擇題
A. －9 B. －8
C. －7 D. －2
【解析】 a1＝a3－2d＝－2－6＝－8.
A. 28 B. 48
C. 58 D. 68
B
C
A. 11 B. 8
C. 20 D. 35
【解析】 a5＝S5－S4＝20－12＝8.
A. 20 B. 40
C. 60 D. 80
B
B
A. 180 B. 135
C. 90 D. 45
C
A. 6，9 B. 15，9
C. 15，6 D. 1，3
C
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
A. 1 B. 5
C. 8 D. 12
【解析】由等差數(shù)列的定義可知，a3＋a4＝（a1＋2d）＋（a2＋2d）＝a1＋a2 ＋4d，即 45＝25＋4d，解得d＝5.
B
A. 6 B. 4 C. 3 D. 9
C
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】因為a4，a6分別是方程x2－10x＋24＝0的兩實數(shù)根，所以a4＋a6＝2a5 ＝10，所以a5＝5.
C
二、填空題
11.1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ .
12. 在等差數(shù)列{an}中，若a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10＝ .
13. 在等差數(shù)列{an}中，若a3＝25，a5＝15，則a7＝ .
【解析】由題意可得，a3＋a7＝2a5，即a7＝2a5－a3＝2×15－25＝5.
n2
24
5
14. 已知等差數(shù)列2，4，6，8，…，則該數(shù)列的前n項和Sn＝ .
15. 在等差數(shù)列{an}中，若a1＝3，an＋1＝an＋4（n∈N*），則a4＝ .
【解析】由an＋1＝an＋4（n∈N*），得an＋1－an＝4（n∈N*），所以這個數(shù) 列是首項a1＝3，公差d＝4的等差數(shù)列，故a4＝a1＋3d＝3＋3×4＝15.
n2＋n
15
三、解答題
16. 已知三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于12，它們的平方和等于50，求這 三個數(shù).
17. 已知數(shù)列{an}是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且a6＞0，a7＜0.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列前n項和Sn的最大值；
（3）當Sn＞0時，求n的最大值.
解：（3）令Sn＞0得－2n2＋25n＞0，
18. 某學校禮堂共有20排座位，后一排比前一排多三個座位，最后一排共有77個 座位，則該學校禮堂共有多少個座位？

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