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　數列
專題三　等比數列
5.3　等比數列
知識點1　等比數列的定義
1. 等比數列的定義
一般地，如果一個數列{an}從第二項起，每一項與它前一項的比都等于同一個非 零常數時，那么這個數列就叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的公比，通常 用字母q來表示.
注：①等比數列的各項都不能為0，即an≠0；
②公比q可以為正數，也可以為負數，但是不能為零，q＝1的數列是常數列；
知識點2　等比數列的通項公式
1. 等比數列的通項公式
an＝a1qn－1，其中a1表示首項，n表示項數，q表示公比.
2. 等比數列通項公式的推廣
an＝amqn－m（n∈N*，m∈N*）.
注：利用等比數列的通項公式可以求出數列中的任意一項.
知識點3　等比數列的性質
1. 等比中項
注：“b2＝ac”是“a，b，c成等比數列”的必要不充分條件.
2. 等比數列的性質
知識點4　等比數列前n項和
注：等比數列前n項和公式共涉及a1，q，n，an，Sn五個基本量，根據其中的 三個基本量可以求出另外兩個基本量，但在等比數列的求和過程中一定要注意公 比q是否等于1.
例1　在數列{an}中，已知首項為2，且an＋1－2an＝0.
（1）求證：數列{an}是等比數列；
（2）求a5的值.
【解析】 （2）∵an＝a1qn－1，∴a5＝a1q4＝2×24＝32.
【考查目標】 本題考查等比數列的定義及根據通項公式求某項的值.
變式訓練1
D
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
【解析】由題意知a1＋a1·q＝3，a1·q2－a1＝3，解得a1＝1，q＝2，∴a4＝a1q3 ＝8.
B
A. 22 B. 21
C. 20 D. 19
【考查目標】 本題考查等比數列的前n項和公式.
【答案】 B
【解題技巧】 在求等比數列的前n項和時，要先求出首項a1和公比q，然后運用 求和公式，或者以相鄰兩項間的關系為突破口進行求解.
變式訓練2
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
A. 6 B. －6 C. 3 D. －3
D
例3　已知等比數列{an}的前3項和S3＝6，前6項和S6＝54.求：
（1）這個數列的通項公式an；
（2）這個數列的第6項a6；
（3）這個數列的前8項和S8.
【考查目標】 本題考查等比數列的前n項和公式和通項公式.
【誤區防范】 對于等比數列的求和問題，要注意討論q＝1和q≠1兩種情況.
變式訓練3
A. 2
D
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
A
A. 2
B
例4　已知三個數成等比數列，它們的和為14，積為64，求這三個數.
【考查目標】 本題考查等比數列的性質.
變式訓練4
已知四個正數，前三個數成等比數列且和為19，后三個數成等差數列且和為12， 求這四個數.
一、選擇題
A. an＝3n B. an＝3n－1
C. an＝2×3n－1 D. an＝2×3n
C
B
A. 34 B. 38 C. 40 D. 45
A. －10 B. 10
C. 16 D. －16
C
C
A. 2，4，8 B. 4，4，4
C. 8，4，2 D. 16，4，1
D
A. 公比為5的等比數列
C. 公比為3的等比數列 D. 首項為5的等比數列
A. 3 B. 4 C. 10 D. 15
C
B
B. 1
A. 5 B. －5 C. －10 D. 10
A. an＝2×3n－1 B. an＝2×（－3）n－1
C. an＝3n－2 D. an＝－3n－2
C
B
B
二、填空題
12. 在等比數列{an}中，若an＝3n，則公比q＝ .
13. 在等比數列{an}中，前n項和為Sn，若公比q＝2，S4＝3，則S8的值 為 .
27
3
51
14. 在等比數列{an}中，若a1＝－4，a4＝32，an＝128，則n＝ .
【解析】a4＝ a1q3＝－4q3＝32，解得q＝－2，an＝－4×（－2）n－1＝
－（－2）n＋1＝128，解得n＝6.
6
三、解答題
（1）數列{an}的通項公式；
（2）數列{an}的前4項和S4.
17. 已知數列{an}的前n項和Sn＝2an－3.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足bn＝log2an，求數列{bn}的前n項和Tn.

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