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第四章 一次函數(shù)
生活中存在著許許多多變化的量，你了解這些變量之間的關(guān)系嗎 如水龍頭漏水量與漏水時(shí)間，彈簧的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量，步行時(shí)所走的路程與所用的時(shí)間……了解這些關(guān)系，可以幫助我們更好地認(rèn)識(shí)世界。
函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的常用模型，其中最為簡(jiǎn)單的是一次函數(shù)。什么是一次函數(shù) 它對(duì)應(yīng)的圖象有什么特征 用一次函數(shù)可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的哪些問題 ……你想了解這些嗎 一起來(lái)看一看!
4.1 函數(shù)
1.掌握函數(shù)的概念以及表示方法。（重點(diǎn)）
2.會(huì)求函數(shù)的值，并確定自變量的取值范圍。（難點(diǎn)）
你坐過(guò)摩天輪嗎？想一想，如果你坐在摩天輪上，隨著時(shí)間的變化，你離地面的高度是如何變化的？
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112
3
h / m
t / min
下圖反映了摩天輪上某一點(diǎn)離地面的高度 h (單位：m)與旋轉(zhuǎn)時(shí)間 t (單位：min) 之間的關(guān)系。
t / min 0 1 2 3 4 5 …
h / m …
(1)根據(jù)圖填表：
(2)對(duì)于給定的時(shí)間 t ，相應(yīng)的高度 h 確定嗎？
11
37
45
37
3
10
確定；唯一一個(gè)
思考 1.圓柱形物體常常像下圖那樣堆放。隨著層數(shù)的增加，物體的總數(shù)是如何變化的？
（1）填寫下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
（2）對(duì)于給定任一層數(shù) n ，相應(yīng)的物體總數(shù) y 確定嗎？有幾個(gè) y 值和它對(duì)應(yīng)？
層數(shù) n
物體總數(shù) y
答:唯一一個(gè) y 值。
物體總數(shù) y 隨著層數(shù) n 的變化而變化
思考 2.一定質(zhì)量的氣體在體積不變時(shí)，若溫度降低到－273.15℃，則氣體的壓強(qiáng)為零。因此，物理學(xué)把－273.15℃作為熱力學(xué)溫度的零度。熱力學(xué)溫度 T (單位：K)與攝氏溫度 t (單位：℃)之間有如下數(shù)量關(guān)系：T ＝ t ＋273.15,T≥0。
解：當(dāng) t ＝－43 時(shí)，T ＝－43＋273.15＝230.15（K）；
（1）當(dāng) t 分別為 －43℃， －27℃，0℃，18℃ 時(shí)，相應(yīng)的熱力學(xué)溫度 T 是多少？
當(dāng) t ＝－27 時(shí)，T ＝－27＋273.15＝246.15（K）；
當(dāng) t ＝0 時(shí)，T ＝0＋273.15＝273.15（K）；
當(dāng) t ＝18 時(shí)，T ＝18＋273.15＝291.15（K）。
（2）給定任一個(gè)大于－273.15 ℃的攝氏溫度 t 值，相應(yīng)的熱力學(xué)溫度T 確定嗎？有幾個(gè) T 值和它對(duì)應(yīng)？
思考 2.一定質(zhì)量的氣體在體積不變時(shí)，若溫度降低到－273.15℃，則氣體的壓強(qiáng)為零。因此，物理學(xué)把－273.15℃作為熱力學(xué)溫度的零度。熱力學(xué)溫度 T (單位：K)與攝氏溫度 t (單位：℃)之間有如下數(shù)量關(guān)系：T ＝ t ＋273.15,T≥0。
唯一一個(gè) T 值
確定
探究 上面三個(gè)問題都研究了兩個(gè)變量之間的關(guān)系，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)
①時(shí)間 t 、相應(yīng)的高度 h ；
②層數(shù) n 、物體總數(shù) y ；
③攝氏溫度 t 、熱力學(xué)溫度 T 。
三個(gè)實(shí)際問題 相同點(diǎn) 不同點(diǎn)
問題1
問題2
問題3 T ＝ t ＋273.15,T≥0
t ≥0
n 取正整數(shù)
t ≥－273.15
都有兩個(gè)變量，給定其中某一個(gè)變量的值，相應(yīng)地就確定了另一個(gè)變量的值。
自變量取值不同
三個(gè)實(shí)際問題 相同點(diǎn) 不同點(diǎn)
問題1 都有兩個(gè)變 量，給定其 中某一個(gè)變 量的值，相 應(yīng)地就確定 了另一個(gè)變 量的值。
問題2
問題3 T ＝ t ＋273.15,T≥0
圖象法
表格法
關(guān)系式法
表示方法不同
一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 x 和 y ，并且對(duì)于變量 x 的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱 y 是 x 的函數(shù)，其中 x 是自變量。
注意： 函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系.
列表法
圖象法
關(guān)系式法(解析式法、表達(dá)式法)
表示函數(shù)的一般方法
例1 下列關(guān)于變量 x ，y 的關(guān)系式：① y ＝ 2x + 3； ② y＝x2 + 3；③ y＝2|x|；④ y2－3x＝10，其中表示 y 是 x 的函數(shù)關(guān)系的是 。
①②③
解析：①當(dāng) x ＝1 時(shí)，y＝5；當(dāng) x＝2 時(shí)，y＝7......
對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，則 y 是 x 的函數(shù)；同理②③。
④ 當(dāng) x＝1 時(shí)， y2＝13，y＝±。對(duì)于 x 的每一個(gè)確定的值，y 不唯一，則 y 不是 x 的函數(shù)。
1. 填表并回答問題：
(1) 對(duì)于 x 的每一個(gè)值，y 都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)嗎？答： 。
(2) y 是 x 的函數(shù)嗎？為什么？
x 1 4 9 16
y＝±2x
2 和－2
8 和－8
18 和－18
32 和－32
不是
答：不是，因?yàn)?y 的值不是唯一的。
關(guān)鍵詞：兩個(gè)變量，給一個(gè) x，得一個(gè) y。
易錯(cuò)點(diǎn)：
順序不要反。
思考 上述問題中，自變量能取哪些值
t / min 0 1 2 3 4 5 …
h / m 3 10 37 45 37 11 …
層數(shù) n 1 2 3 4 5 …
物體總數(shù) y 1 3 6 10 15 …
（3）在氣體與壓強(qiáng)的問題中：
當(dāng) t ＝－43時(shí)，T ＝－43＋273.15＝230.15（K）。
（1）在摩天輪問題中：
（2）在圓柱形物體的堆放問題中：
你發(fā)現(xiàn)了
什么？
對(duì)于自變量在可取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值 a , 函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)對(duì)應(yīng)值稱為當(dāng)自變量等于 a 時(shí)的函數(shù)值。
即：如果y是x的函數(shù)，當(dāng) x＝a 時(shí)，y＝b，那么 b 叫做當(dāng) x＝a時(shí)的函數(shù)值。
注意：函數(shù)值是一個(gè)數(shù)，它是自變量確定時(shí)對(duì)應(yīng)的因變量的值。
例2 汽車的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (單位：L) 隨行駛里程 x (單位：km) 的增加而減少，平均耗油量為 0.1 L/km。
（1）寫出表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的式子。
解：(1) 函數(shù)關(guān)系式為：y＝50－0.1x
油箱中的剩油量、汽車耗油量與油箱中原有油量之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
叫做函數(shù)的解析式
0.1x 表示的意義是什么？
(2) 由 x≥0 及 50－0.1x≥0　
得　0≤ x ≤500
∴自變量的取值范圍是 0≤ x ≤500。
汽車行駛里程，油箱中的油量均不能為負(fù)數(shù)！
歸納 確定自變量的取值范圍時(shí)，不僅要考慮使函數(shù)解析式有意義，而且還要注意各變量所代表的實(shí)際意義。
(2) 指出自變量 x 的取值范圍；
(3)汽車行駛 200 km 時(shí)，油箱中還有多少油？
(3) 當(dāng) x＝200 時(shí)，函數(shù) y 的值為
y＝50－0.1×200＝30。
因此，當(dāng)汽車行駛 200 km 時(shí)，油箱中還有油 30 L。
2.下列兩個(gè)變量之間不存在函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A.圓的面積 S 和半徑 r
B.某地一天的溫度 T 與時(shí)間 t
C.某班學(xué)生的身高 y 與這個(gè)班學(xué)生的學(xué)號(hào) x
D.一個(gè)正數(shù)的平方根 b 與這個(gè)正數(shù) a
1.下列各式中，y 不是 x 的函數(shù)的是( )
A.y＝x B.y＝x2＋1 C.y＝|x| D.y＝±x
D
D
3.在 y＝3x＋1 中，如果 x 是自變量， 是 x 的函數(shù)。
4.函數(shù) y＝中自變量 x 的取值范圍是 。
5.已知y＝＋2x－1，當(dāng) x＝1 時(shí)，函數(shù)值y＝ 。
y
x ≥ 1
2
6.已知 w＝x＋1，y＝,那么 y 是不是 x 的函數(shù)？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式。
解：y 是 x 的函數(shù)。
∵ w＝x＋1，y＝,
∴ y＝，
對(duì)于變量 x 的每一個(gè)值，變量 y 都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，
所以 y 是 x 的函數(shù)。
定義：自變量、因變量、常量
函數(shù)
自變量的取值范圍
函數(shù)值
函數(shù)的關(guān)系式：三種表示方法

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