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(共20張PPT)
4.2 認識一次函數
第2課時 一次函數與正比例函數的概念
1. 掌握一次函數、正比例函數的概念；（重點）
2. 能根據實際情況列一次函數。（難點）
一個蛤蟆一張嘴，
兩只眼睛四條腿，
撲通一聲跳下水。
兩個蛤嫫兩張嘴，
四只眼睛八條腿，
撲通、撲通跳下水。
如果設蛤蟆的數量為 x，y 分別表示蛤蟆嘴的數量，眼睛的數量，腿的數量，撲通聲，你能列出相應的函數關系式嗎？
在彈性限度內，某彈簧的長度 y (單位：cm)與所掛物體的質量 x (單位：kg)的關系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
(1)隨著所掛物體質量 x 的增加，彈簧長度 y 的增長是“均勻”的嗎？
解：觀察表格，每次所掛物體質量增加 1 kg，彈簧長度都增長 0.5 cm，所以隨著所掛物體質量 x 的增加，彈簧長度 y 的增長是“均勻”的。
在彈性限度內，某彈簧的長度 y (單位：cm)與所掛物體的質量 x (單位：kg)的關系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
(2)寫出 y 與 x 之間的關系式，并說明理由。
解：y＝0.5x＋3.0由前面可知，所掛物體質量每增加 1 kg，彈簧長度增長 0.5 cm，
且當 x＝0 時，y＝3 cm，
∴ y 與 x 之間的關系式為 y＝3＋0.5x。
思考 某輛汽車油箱中原有汽油 40 L，汽車每行駛 50 km 耗油 4 L。
（1）完成下表：
行駛路程 x/km 0 50 100 150 200 250 300
耗油量 y/L
（2）寫出耗油量 y 與汽車行駛路程 x 之間的關系式。
（3）寫出油箱剩余油量 z (單位：L)與汽車行駛 x 之間的關系式。
0
4
8
12
16
20
24
解：由題意，得汽車每行駛1km的耗油量為 L，
∴ 耗油量 y 與汽車行駛路程 x 之間的關系式為 y＝x。
解：z＝40－x。
函數解析式 函數 常量 自變量
y＝3＋0.5x
探究 （1）在前面情境中，我們得到下列關系式，它們有什么共同的特征？
這些函數解析式都包含常數與自變量的乘積的形式！
3 ,0.5
x
y
x
y
y
40 ,－
x
y
k
x
＝
這些函數解析式有什么共同點？
b ＋
（2）請你寫出具有一個這種特點的關系式。
a＝5＋2b
如果兩個變量 x，y 之間的對應關系可以表示成 y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)的形式，那么稱 y 是 x 的一次函數。
注意 對一次函數而言，自變量每增加 1，函數值就增加 k，函數值的變化是“均勻”的。
一次函數的概念：
特別地，當 b = 0 時，稱 y 是 x 的正比例函數。
函數是一次函數
函數是正比例函數
關系式為：y＝kx
( k 為常數，k≠0)
關系式為：y＝kx＋b
(k，b為常數，k≠0)
1．下列函數中，正比例函數是（ ）
A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1 C.y＝x D.y＝
2．下列函數：①y＝2x；②y＝4x－1；③y＝3－x；
④y＝。其中一次函數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
C
D
1.判定一個函數是一次函數的條件：
2.判定一個函數是正比例函數的條件：
① k，b為常數，k≠0；
② x 的次數是 1。
① k，b為常數，k≠0；
③ b = 0。
一次函數
正比例函數
正比例函數是一種特殊的一次函數。
② x 的次數是 1；
例1 寫出下列各題中 y 與 x 之間的關系式，并判斷：y 是否為 x 的一次函數？是否為正比例函數？
（1）汽車以 60 km/h 的速度勻速行駛，行駛路程 y (單位：km)與行駛時間 x (單位：h)之間的關系；
（2）圓的面積 y (單位：cm2)與它的半徑 x (單位：cm)之間的關系；
解：由路程＝速度×時間，得 y＝60x，
y 是 x 的一次函數，也是 x 的正比例函數。
解：由圓的面積公式，得 y＝πx2，
y 不是 x 的正比例函數，也不是 x 的一次函數。
例1 寫出下列各題中 y 與 x 之間的關系式，并判斷：y 是否為 x 的一次函數？是否為正比例函數？
（3）某水池有水 15 m3，現打開進水管進水，進水速度 5 m3/h,經過 x h 這個水池內有水 y m3。
解：這個水池每小時增加水 5 m3，x h 增加水 5 x m3，
因而 y＝15＋5x，y 是 x 的一次函數，但不是 x 的正比例函數。
例2 已知函數 y＝(m－5)＋m＋1。
(1) 若它是一次函數，求 m 的值；
解：∵ y＝(m－5)＋m＋1 是一次函數，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0。
∴ m＝±5 且 m≠5。
∴ m＝－5。
∴ 當 m＝－5 時，函數 y＝(m－5)＋m＋1
是一次函數。
解：∵ y＝(m－5)＋m＋1 是正比例函數，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0。
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1。
這樣的 m 不存在。
∴ y＝(m－5)＋m＋1 不可能是正比例函數。
例2 已知函數 y＝(m－5)＋m＋1。
(2) 它可能是正比例函數嗎？若能，求出 m 的值。
探究 (1)例(1)中，兩個一次函數的一次項系數 k 和常數項 b 分別是多少，它們的實際意義是什么？
解：例(1)中的兩個一次函數分別是 y＝60x 和 y＝15＋5x，
k 表示自變量每增加 1 個單位時因變量的變化量，
b 表示當自變量為 0 時因變量的值。
(2)一般地，k，b 對一次函數 y＝kx＋b 有怎樣的影響？
k 決定函數圖象的升降及陡峭程度，
b 決定函數圖象與 y 軸的交點位置。
y＝60x 的一次項系數 k＝60 ，常數項 b＝0；
y＝15＋5x 的一次項系數 k＝5 ，常數項 b＝15。
例3 在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過 1 s 其速度減少
35 km/h。
（1）假設該汽車以 120 km/h 的速度行駛，試寫出該汽車剎車后的速度 y (單位：km/h)與剎車后所經過的時間 t (單位：s)之間的關系式 y＝kt＋b，并說明 k 和 b 的實際意義。
解：剎車開始時汽車的速度為 120 km/h，
每過 1 s 汽車的速度減少 35 km/h，
于是經過 t s 汽車的速度減少了 35 t km/h，
所以 y 與 t 的關系式是 y＝－35t＋120。
其中，k＝－35表示每秒汽車速度的變化量，
b＝120 表示剎車開始時汽車的速度。
例3 在一次測試中，某汽車緊急剎車后，每過 1 s 其速度減少 35 km/h。
（2）求出（1）中汽車從剎車到停止所需的時間。
解：汽車停止時速度 y＝0，
解方程 0＝－35t＋120，
得 t＝≈3.43。
因此，該汽車從剎車到停止所需的時間大約為 3.43 s。
1．一段導線，在 0 ℃ 時的電阻為 2 歐，溫度每增加 1 ℃，電阻增加 0.008 歐，那么電阻 R （歐）表示為溫度 t （℃）的函數關系為（ ）
A．R＝－1.992t＋2 B．R＝0.008t＋2
C．R＝2.008t＋2 D．R＝2t＋2
B
2．如果 y＝kx＋2k＋x 是關于 x 的正比例函數，則 k 的值為 。
0
3．當 m＝ 時，函數 y＝＋(3－m)是一次函數。
±3
4. 有一塊 10 公頃的成熟麥田，用一臺收割速度為 0.5 公頃每小時的小麥收割機來收割。
(1) 求收割的面積 y (單位：公頃) 與收割時間 x (單位：時) 之間的函數關系式；
(2) 求收割完這塊麥田需用的時間。
解：(1) y＝0.5x；
(2) 把 y＝10 代入 y＝0.5x 中，得 10＝0.5x。
解得 x＝20，即收割完這塊麥田需要 20 小時。
形式：________
特別地，當 b＝0時，_ _______ 是正比例函數
一次函數與正比例函數的概念
根據條件列一次函數、正比例函數
實際情境中 k，b 的意義
y = kx + b (k ≠ 0)
y = kx (k ≠ 0)

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