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第5章 二元一次方程組
你能解決上面的“雞兔同籠”問題嗎？
事實上，利用方程（組）可以很簡單地解決這一問題.方程（組）是刻畫現實世界中等量關系的有效模型，許多現實問題都可歸結為方程問題.
本章將學習二元一次方程組及其解法，并利用二元一次方程組解決一些有趣的現實問題.
5.1 認識二元一次方程組
1.了解二元一次方程（組）及其解的定義。（重點）
2.會列二元一次方程組，并檢驗一組數是不是某個二元一次方程組的解。（難點）
1.什么叫方程？
含有未知數的等式叫做方程。
2.什么叫一元一次方程？
在一個方程中，只含有一個未知數（元），并且未知數的次數是1（次）這樣的方程叫做一元一次方程。
3.什么叫方程的解？
使方程左、右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。
存在含有 2 個未知數的方程嗎？
小明和小穎參加課外種植實踐活動，他們分別栽種了若干株綠植。已知小明栽種的綠植比小穎多 2 株，如果將小穎栽種的綠植給小明 1 株，那么小明的綠植株數是小穎的 2 倍。
(1)這個情境涉及哪些量?這些量之間有怎樣的等量關系?
相關量
等量
關系
小明栽種的綠植株數、小穎栽種的綠植株數。
小明栽種的綠植株數＝小穎栽種的綠植株數＋2
小明栽種的綠植株數＋1＝2(小穎栽種的綠植株數－1)
(2)設小明栽種了 x 株綠植，小穎栽種了 y 株綠植，由此你能得到怎樣的方程?
相關量
等量
關系
小明栽種的綠植株數、小穎栽種的綠植株數。
小明栽種的綠植株數＝小穎栽種的綠植株數＋2
小明栽種的綠植株數＋1＝2(小穎栽種的綠植株數－1)
解：由（1）的等量關系，得
x＝y＋2
x＋1＝2×(y－1)
思考 周末，小亮一家和朋友們到公園徒步鍛煉，他們一共 8 個人，買門票花了 34 元。已知每張成人票 5 元，每張學生票 3 元。
(1)這個情境涉及哪些量?這些量之間有怎樣的等量關系?
成人人數＋學生人數＝8
成人票款＋學生票款＝34
涉及的量有總人數、成人票單價、學生票單價、買門票總花費。
思考 周末，小亮一家和朋友們到公園徒步鍛煉，他們一共 8 個人，買門票花了 34 元。已知每張成人票 5 元，每張學生票 3 元。
(2)設他們中有 x 個成人、y 名學生，由此你能得到怎樣的方程?
成人人數＋學生人數＝8
成人票款＋學生票款＝34
x＋y＝8
5x＋3y＝34
x－ y＝2
x＋1＝2(y －1)
思考 通過前面的情境，得到下列方程，觀察并思考它們有什么共同特征?
x ＋ y ＝8
5x＋3y＝34
與一元一次方程比較有什么區別？
共同特征：含有 2 個未知數；未知數的次數為 1；
整式方程。
含有兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是 1 的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的概念：
?提示：方程的兩邊都是整式。
1.有下列方程：① xy＝1; ② 2x＝3y; ③ ????4＝3y－1；
④ x2＋y＝3; ⑤ x－1????＝2; ⑥ ax2＋2x＋3y＝0(a＝0)，其中，二元一次方程有(　　)　
A．1個　 B．2個　 C．3個 　 D．4個
?
C
?歸納 判斷要點：
①是否為整式方程；②是否含兩個未知數；③未知數次數是否為 1；④化簡后未知數的系數不為 0。
例1 已知 |m－1|x|m|＋y2n－1＝3 是關于 x、y 的二元一次方程，則 m＋n＝_____。
0
解析：|????|=1|?????1|≠02?????1=1 → ????＝?1????=1 → m＋n＝0
?
探究 前面的方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 中，x 所代表的對象相同嗎? y呢?
x，y 所表示的對象分別相同且同時滿足這兩個方程。即同一字母必須代表同一個量。
把它們聯立起來，得????+????=8，5????+3????=34。
?
共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組。
二元一次方程組的概念：
例如，?????????=2????+1=2(?????1)和????+2????=73????+1=2。
?
2.請問下列方程組是二元一次方程組嗎？
（1）3?????2????=9????+5????=0； （2）?????3????+9????=8????+3????=5；
（3）????=2????=1； （4）3????+5????=4?????????=0；
（5）????=1????+????=5。
?
√
√
√
三個未知數
未知數出現在分母中
思考 （1）x＝6, y＝2 滿足方程 x＋y＝8 嗎? x＝5,y＝3 呢?
x＝4,y＝4 呢?
(2) x＝5,y＝3 滿足方程 5x＋3y＝34 嗎? x＝2, y＝8呢?
將 x＝6 , y＝2 代入方程 x＋y＝8 的左邊，
得 x＋y＝6＋2＝8，
左邊的值＝右邊的值。
所以 x＝6, y＝2 滿足方程 x＋y＝8。
你還能找到其他 x,y 的值適合方程 x＋y＝8 嗎?
同理，x＝5,y＝3；x＝4,y＝4 也滿足方程 x＋y＝8。
使一個二元一次方程左、右兩邊的值相等的一組未知數的值，叫作這個二元一次方程的一個解。
例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一個解,
記作????=6，????=2。
?
思考 （3）你能找到一組 x, y 的值，同時滿足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 嗎?
由（1）（2）得，x＝5,y＝3同時滿足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34。
二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程組的解。
例如，????=5，????=3就是二元一次方程組????+????=8，5????+3????=34的解。
?
例2 若????=?2，????=3是關于 x、y 的方程 x－ky＝1 的解，則 k 的值為 。
?
－1
針對練習 3. 二元一次方程組????+2????=10，????=2????的解是 ( )
A. ????=4????=3 B. ????=3????=6 C. ????=2????=4 D. ????=4????=2
?
?歸納 一般地，二元一次方程有無數個解，而二元一次方程組只有一個解。
C
例3 加工某種產品需經兩道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1 200 件。現有 7 位工人參加這兩道工序，應怎樣安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件數相等？請列出符合題意的二元一次方程組。
解：設安排第一道工序為 x 人，第二道工序為 y 人。根據題意，得 ????+????=7，900????=1200????。
?
1．下列不屬于二元一次方程組的是( )
D
2.籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝 1 場得 2 分，負 1 場得 1 分，某隊在 10 場比賽中得到 16 分．若設該隊勝的場數為 x，負的場數為 y，則可列方程組為( )
A. B. C. D.
A
4．已知甲、乙兩數的和是 12，甲數是乙數的 3 倍。若設甲數為 x，乙數為 y，則根據題意可列方程組為 。
3.若 是關于 x、y 的二元一次方程 ax＋y＝3的解，則 a＝__。
1
????+????=12，????=3????
?
5.某商店準備購進 A，B 兩種類型的電子產品共 10 件，總價為5800 元，其中 A 型電子產品的單價為 550 元，B 型電子產品的單價為 700 元。設該商店準備購進 A 型電子產品 x 件，B 型電子產品 y 件。
(1)根據題意列出相應的方程組；
(2)????=8，????=2是方程組的解嗎？請說明理由。
?
解：（1）????+????=10，550????+700????=5800。
（2）是。理由如下：
當 ????=8，????=2時，
x＋y＝10，550x＋700y＝5800，
∴ ????=8，????=2是方程組的解。
?
二元一次方程組的定義
認識二元一次方程組
二元一次方程組的解

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