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6.1.2 向量的加法
人教B版（2019）必修第一冊
第六章 平面向量初步
學習目標
掌握向量的加法運算
01
理解向量加法的三角形法則和平行四邊形
02
理解向量的加法交換律和結合律
03
情境與問題
如圖所示，假設某人上午從點 A 到達了點 B，下午從點 B 到達了點 C．
探索新知
(1) 分別用向量表示出該人上午的位移、下午的位移以及這一天的位移；
(2) 這一天的位移與上午的位移、下午的位移有什么聯系？試從大小和方向兩個角度加以闡述．
A
B
C
上午：
下午：
一天：
位移 可以看成位移 與 的和．
探索新知
向量加法的三角形法則
向量的和：一般地，平面上任意給定兩個向量 a，b，在該平面內任取一點A，作 ＝a， ＝b，作出向量 ，則向量 稱為向量　　　　　(也稱 為向量 a 與 b 的和向量).
a 與 b 的和
a＋b
向量 a 與 b 的和向量記作　　　　，因此
探索新知
向量加法的三角形法則：
(1) 當 a 與 b 不共線時：求它們的和可用圖 ① 表示. 因為此時 a， b，a＋b 正好能構成一個三角形，因此上述求兩向量和的作圖方法稱為向量加法的三角形法則；
a
b
a
b
ab
圖 ①
A
B
C
記憶口訣：首尾順次相接，首指向尾為和向量.
探索新知
(2) 當向量 a，b 共線時，求它們的和可用如圖所示.
A
B
C
a
b
a+b
b
a
a+b
b
a
A
B
C
a
b
（1）
（2）
方向相同
方向相反
a＋b
＝
＝
a＋b
＝
＝
注意：對于任一向量 a，有 a＋0＝0＋a＝a.
探索新知
向量和的三角表示
(1) 因為三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，由向量加法的三角形法則知，當 不共線時，恒有 |
(2) 當 同向共線時， 同向，
綜上，有向量和的三角不等式 .
(3) 當 反向共線時，
若 則 與 同向，
若 則 與 同向，
典型例題
例 1 已知 |a|＝3，|b|＝4，求 | a＋b | 的最大值和最小值，并說明取得最大值和最小值時 a 與 b 的關系.
解：由 | a＋b |≤|a|＋|b| 可知，| a＋b |的最大值為
|a|＋|b|＝3 4 ＝7，
當且僅當 a 與 b 方向相同時取得最大值．
由 | a＋b |≥| |a|－|b| | 可知，| a＋b | 的最小值為
| |a|－|b| |＝4－3＝1，
當且僅當 a 與 b 方向相反時取得最小值．
情境與問題
從物理學中我們已經知道，力既有大小也有方向，因此力是向量.
探索新知
A
B
C
當在光滑的水平面上沿兩個不同的方向拉動一個靜止的物體時，如圖所示，物體會沿著力 或 所在的方向運動嗎？如果不會，物體的運動方向將是怎樣的？
我們知道，物理學中力的合成遵循平行四邊形法則. 因此，情境中的物體不會沿著 或 所在的方向運動；其會沿著以 AB，AC 為鄰邊的平行四邊形的對角線運動．
探索新知
如圖所示，平面上任意給定兩個不共線的向量 a，b，在該平面內任取一點 A，作 ＝a，＝b，以 AB、AC 為鄰邊作一個平行四邊形 ABDC，作出向量 ，因為 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ .
a
b
a
ab
b
A
B
C
D
一般地，向量的加法也滿足類似的法則，這就是說，當兩個向量不共線時，可以通過作平行四邊形的方法來得到它們的和：
這種求兩向量和的作圖方法稱為向量加法的平行四邊形法則.
探索新知
思考：數的加法滿足交換律，向量的加法是否也滿足交換律呢？
滿足交換律
A
O
B
C
探索新知
從前面已經知道，兩個向量的和還是一個向量，因此我們可以用得到和向量與另外一個向量相加．而且我們也已經知道，如同數與數的加法一樣，向量相加滿足交換律，那么向量相加是否滿足結合律呢？也就是說，三個向量相加時，最后的結果是否與求和的順序有關呢？
滿足結合律．
三個向量相加時，最后的結果與求和的順序無關．因為向量的加法運算滿足交換律和結合律，所以有限個向量相加的結果是唯一的，我們可以任意調換其中向量的位置，也可以任意決定相加的順序．
探索新知
如圖所示，(1) 中給出了三個向量 a、b、c；(2) 中先作出了向量 a＋b，然后作出了向量 (a＋b)＋c；(3) 中首先作出了向量 b＋c，然后作出了向量 a＋(b＋c).
a
a
b
b
c
c
a+b
b+c
(a+b)+c
a+(b+c)
(2)
(3)
a
b
c
(1)
不難看出， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
即向量的加法運算滿足結合律.
探索新知
因為向量的加法運算滿足交換律和結合律，所以有限個向量相加的結果是唯一的，我們可以任意調換其中向量的位置，也可以任意決定相加的順序.例如
(a＋b)＋(c＋b)＝a＋[(b＋c)＋d]
＝[(d＋c)＋a]＋b
因此，以上運算我們都可用 a＋b＋c＋b 表示.
探索新知
為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的始點為始點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如下所示.
a
b
c
d
e
a+b+c+d+e
a
b
e
c
d
問題　圖中向量的和，與向量相加的順序有關嗎？為什么？
無關.
原因在于向量的加法運算滿足交換律，因此可以任意調整有關順序．事實上，由于向量的加法滿足交換律和結合律，所以有限個向量相加的結果是唯一的.
典型例題
例 2 化簡下列各式：
(1) + + ；(2) + + + + .
解：(1) + + = (+ ) + + ；
+ + + + = + +( + + )
= + +
= (+ ) +
= +
= = 0.
探索新知
探索與研究
在求作兩個向量的和時，可以選擇不同的始點. 想一想，選擇不同的始點作出的向量和都相等嗎？你可能認識，作出的向量和顯然都是相等的. 當然，這里你的“顯然”是對的，你能根據右圖說明這個結論的正確性嗎？
如圖所示，∵ ，∴ 四邊形 為平行四邊形，
∴ AA′ BB′，同理 BB′ CC′，∴ AA′ CC′，
∴ 四邊形 AA′C′C 為平行四邊形，∴ AC A′C′.
又 與 方向相同，∴ ＝，即結論成立.
當堂檢測
當堂檢測
C
當堂檢測
ABCD
當堂檢測
C
當堂檢測
km
當堂檢測
本節課學習了哪些知識點呢？
1. 向量加法的三角形法則；
2. 向量加法的平行四邊形法則；
3. 向量的交換律、結合律.
感謝觀看
祝同學新學期新氣象

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